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【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题8 反比例函数
一、中考中反比例函数图像与性质
1．关于x的反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．其图象经过点（1，-2）
B．其图象位于第二、四象限
C．若其图象经过（a，a-1），则a=-1
D．其图象所在的每一个象限内，y随着x的增大而减小
2． 已知点A （x1， y1)， B （x2， y2)在反比例函数 的图象上。若 则（　　)。
A．y1＜y2＜0 B．y2＜y1＜0 C．0＜y1＜y2 D．0＜y2＜y1
3．关于反比例函数下列说法中错误的是（　　）
A．它的图象分布在一、三象限
B．若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上
C．当x>0时，y的值随x的增大而减小
D．当x>-1时，y<-3
4．已知点A（5-t，y1）和点B（t+1，y2）都是反比例函数的图像上的两点，下列说法正确的是（　　）
A．当-1y2
C．当1y2
5． 反比例函数的图象上有，两点。下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
6．已知函数 (k1， k2均为常数)的图象都经过点(-2， - 1)，当 时，x的取值范围是(　　)
A．x<-2 B．x<-2或x>2
C．x>2 D．x<-2或07．若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣2 B．m＜0 C．m＞﹣2 D．m＞0
8．在平面直角坐标系xOy中，若点A(1，y1)， B(-2，y2)在反比例函数 的图象上，则 的值为(　　)
A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定等于0 D．不能确定
9．已知反比函数的两点A（2m+1，y1），B（4-m，y2），若.则m的取值范围为　 　.
10．已知反比例函数 点M(x1，y1)和N(x2，y2)是反比例函数图象上的两点，若对于 都有 则a的取值范围是(　　)
A．a<0或2C．23或a<0
二、中考中反比例函数系数K的几何意义
11．如图，反比例函数与矩形ABCO的边BC，AB分别交于D，E两点，连接OE，OD，DE.若S△ODE=8，CD：OA=1：3，则k的值是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在反比例函数0）的图象上，P是矩形OABC内的一点，连结PO，PA，PB，PC，若图中阴影部分的面积为10，则k为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
13．如图，在中，，点B在x轴上，点C，点D分别为的中点，连接，点E为上任意一点，连接，反比例函数的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
14． 如图，矩形OABC的边OA、OC分别落在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，若反比例函数 的图象经过OB的中点 D且与边BC交于点 E，连接DE、OE，若△ODE 的面积为3，则k的值为　 　。
15．如图是函数y1＝与y2＝的图象，点A、B分别在y1、y2上，AB∥x轴，点C在x轴上，S△ABC＝4，则k2－k1＝　 　．
16．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点轴交轴于点，连结OA.若矩形OBAC的周长为8，对角线OA的长为，则的值为　 　．
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数 的图象经过顶点 D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF. 若点E为AC的中点， 的面积为2，则k的值为　 　.
18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的取值范围是　 　．
19．如图，过反比例函数 图象上一点A作AD垂直于x轴，垂足为D，交反比例函数 的图象于点B，连接OA 交y2于点 C，连接CD，若△OCD的面积为6，则k=　 　。
20． 如图，在以O为坐标原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，将反比例函数 的图象向下平移n个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点A，且图象与BC边交于点 D，则 的值是　 　.
三、中考中反比例函数的实际应用
21．如图，把一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将它悬挂．在中点的左侧与中点的距离为处挂一个重的物体，同时在中点的右侧某处挂一个弹簧秤并向下拉，使木杆处于水平状态，根据杠杆原理，当挂弹簧秤处距离中点时，弹簧秤的读数应为（　　）
A． B． C． D．
22．科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？
23．为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验.
【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转.上臂AB，下臂BC长均为25cm.双臂对称张开时，AC始终保持水平，即AC∥MN.
【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径 r与转动速度ν的乘积为定值，即k=vr，k为常数.(图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，ν为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计)
【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度ν部分数据如下表：
旋转半径r(cm) 30 40 50
动速度v(cm/s) 200 150 120
（1）请根据以上信息，求k的值(单位：(
（2）为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过300cm/s，则旋转半径r至少为多少 cm
（3）某动作设计需要机械双臂的转动速度ν为160cm/s，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r.求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角∠BAD的正弦值.
24．某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数随时间（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分．
（1）求的值及曲线的函数表达式．
（2）若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由．
25．在现代智能仓储系统中，一款名为“SwifiBot”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据：
载重W（kg） … 10 12 15 20 30 …
v（m/s） … 6 5 4 3 2 …
（1）把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如（10，6），（12，5）..已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测与W之间的函数关系，并求出函数关系式；
（3）某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵反比例函数解析式为，把代入解析式得，
∴图象不经过点，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴图象位于第一，三象限，故此选项不符合题意；
C、∵图象经过点，
∴，整理得，解得或，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴在图象的每一个象限内，随着的增大而减小，故此选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质逐项判断解答即可.
2．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数 的比例系数 ，
∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】先根据比例系数的符号得到图象位于一、三象限， 一、三象限， 在每个象限内， 随 的增大而减小，据此解答即可.
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴它的图象分布在一、三象限，选项A说法正确；
若点在它的图象上，则满足，可得，因此点也满足函数解析式，故选项B说法正确；
∵，
∴当时，的值随的增大而减小，选项C说法正确；
对于选项D，当时，，当时，，
因此当时，不是所有都满足，选项D说法错误．
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数函数的图象和性质逐项判断解答即可．
4．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：由条件可知反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
A、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故A不正确，不符合题意；
B、当时，，，此时点A在第二象限，点B在第四象限，，故B正确，符合题意；
C、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故C不正确，不符合题意；
D、当时，，，此时点A在第四象限，点B在第二象限，，故D不正确，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据双曲线位于二、四象限，且每个象限内，y随x的增大而增大，据此解答即可．
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：选项A：当t<0时，-t>0，因此(正数)，(正数).若t=-1，则y1-y2=1-1-0，不满足>0，若t=-2，则y1-y2=0.5-0.25=0.25>0，选项A不恒成立，错误；
选项B：，分母t2>0，分子-t+1的符号决定整体符号：当t<1时，分子>0，整体>0；当t>1时，分子<0，整体<0，选项B不恒成立，错误；
选项C：，当t<-1时，t+1<0，因此(分母t2>0)，选项C恒成立，正确；
选项D：，当t>1时，分子-t+1<0，整体<0，选项D不恒成立，错误；
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数定义，直接代入点坐标计算；针对每个选项中的t范围，分析y1和y2的符号及大小关系；通过通分、因式分解等方法简化表达式，判断代数式的符号.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：函数，的图象都经过点，
，，
正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
两函数的另一交点为，如图所示，
由图象可知，当或时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的上方，即，
当时，的取值范围是或．
故答案为：D .
【分析】先把代入解析式求出和，再根据对称性得到两函数的另一交点坐标，然后借助函数图象，得到反比例函数的图象位于正比例函数图象的上方时的自变量的取值范围解答即可．
7．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；反比例函数的性质
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点 在反比例函数
的图象上，
的值一定是正数，
故选： A.
【分析】根据图象上点的坐标特征求得 得到 即可判断.
9．【答案】 或.
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】解：反比例函数中，，根据反比例函数的性质，函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小.
分两种情况讨论：
情况1：点在不同象限
若，则在第一象限，在第三象限，可得不等式组
解得，即该情况解集为；
情况2：点在同一象限
若，结合反比例函数增减性，得，且两点横坐标同号，即，
解得，
解得，
所以.
综上，的取值范围是 或 .
故答案为： 或 .
【分析】先判断反比例函数图象位置和增减性，然后分为两点在一个象限或两个象限两种情况求出m的取值范围解答即可.
10．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；反比例函数的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：设，
当，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而减小．
∵对任意，都有，
∴小于的最小值，的最小值为，
又∵，可得，
∵，
∴．
当时，左边，不等式恒成立，符合条件，
当时，两边同乘，得，
又∵，
∴；
情况2：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而增大，
∵对任意，都有，
∴小于的最小值，代入，得，
∵，
∴，
∵，两边同乘，得，与矛盾，
∴此情况无解．
综上，的取值范围是或．
故答案为：A .
【分析】分为>0或3-a<0两种情况，根据都有，列不等式求出的取值范围即可．
11．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设点A（0，a），C（c，0），则B（c，a），D(c，a)，
∵点D，E在反比例函数y＝上，
∴k＝ac，E(c，a)，
∴OA＝a，OC＝c，AE＝c，BD＝a a＝a，
BE＝c c＝c，CD＝a，
∵S△ODE＝OA OC OA AE BD BE OC CD
＝ac a c a c c a＝ac，
∴ac＝8，
即ac＝18，
∴k＝ac＝6．
故答案为：B．
【分析】设点A（0，a），C（c，0），则B（c，a），根据点D，E在反比例函数y＝上，CD：OA＝1：3推出D(c，a)，E(c，a)，k＝ac，再根据S△ODE＝S长方形OABC S△AOE S△BDE S△COD求出ac的值，即可求出k的值．
12．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设点的坐标为，
∵点在反比例函数上，
∴，
由题意可得矩形的面积为，阴影部分面积为矩形面积的一半，
∴，
∴，
∴．
故答案为：20.
【分析】 设点的坐标为，根据矩形面积与反比例函数的几何意义得到k=ab，根据题意得到阴影部分面积为矩形面积的一半解答即可．
13．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵点C，点D分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，.
∴，
∴和的高之比为．
∵，
∴．
连接，
∵点D分别是的中点，，
∴，
∴，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线的性质得可知和的高之比为，可以得到，然后连接，可知，即可得到，求出k的值解题．
14．【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：设B(a，b)，则
∵比例函数 的图象经过OB的中点 D且与边BC交于点E，四边形OABC为矩形
∴
∴ab=4k
∵△ODE的面积为3
∴△BOE的面积为6
∴
解得：|k|=4
由图象可得，k<0
∴k=-4
故答案为：-4
【分析】设B(a，b)，则，根据反比例函数k的几何意义可得，则ab=4k，由题意可得△BOE的面积为6，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设直线AB与y轴交于点D，连接AO，BO，则，
由反比例函数比例系数k的几何意义可知 ，
即 .
故答案为：8.
【分析】设直线AB与y轴交于点D，连接AO，BO，则，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义得到 ，然后代入计算即可.
16．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；勾股定理
【解析】【解答】解：设点A的坐标为，根据题意：
∵矩形OBAC的周长为8，得：，
∴
对角线OA的长度为，得：
将平方得：
结合，代入得：
10+2k=16
∴k=3
故答案为：3.
【分析】利用反比例函数解析式，设点A坐标为，根据矩形周长公式和勾股定理，建立关于a和k的方程组，通过代数变形(如平方展开)消元，最终求出k的值.
17．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：设D（m，），
∵四边形ABCD是矩形，
∴E点的纵坐标为：，
∴点E的横坐标为：2m，
即点E（2m，），
∴点B的横坐标为：3m，
∴点F的横坐标为：3m，
∴点F的坐标为（3m，），
∴CF=，
∵的面积为2，
∴的面积为4，
∴，
解得：k=6
故答案为：6.
【分析】设D（m，），根据矩形的性质，可得出点E（2m，），进而得出点F的坐标为（3m，），再根据 点E为AC的中点，可得出的面积为4，进而根据三角形的面积计算公式，可得出，解方程即可得出k的值。
18．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：如图，
∵在和图像上，
∴，，解得：，.
∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为.
点P是线段上一点，设，
∵在图像上，
∴，
，
，
，且，
当时，S有最大值，且最大值是2，
当或时，S有最小值，且最小值是，
∴S的取值范围为．
故答案为：．
【分析】根据在和即可得b、k的值，进而得解析式，设，结合在图像上，得，根据三角形面积公式得，当时，S有最大值，且最大值是2，当或时，S有最小值，且最小值是，综合即可得答案.
19．【答案】24
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥OD于点E，
由条件可得S△OCE＝×6＝3，
又∵△OCD的面积为6，
∴S△OCE＝S△DCE，
∴OE＝ED，
∴CE垂直平分OD，
∴CO＝CD，
∵AD⊥OD，CE⊥OD，
∴AD∥CE，
∴，
∴AC＝CO，
∴S△AOD＝2S△OCD＝12，
∵点A在y1＝，
∴k＝2S△AOD＝24，
故答案为：24．
【分析】过点C作CE⊥OD于点E，根据k的几何意义结合已知可得S△OCE＝S△DCE，进而证明AC＝CO，得出S△AOD＝2S△OCD＝12，进而根据k的几何意义，即可求解．
20．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A(a，0)，B(a，b)
则对角线交点的坐标为，反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为
∴，解得：
∴反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为
设D(c，d)，则
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】设A(a，0)，B(a，b)，根据矩形性质可得对角线交点的坐标为，根据函数图象平移性质可得反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为，再将点，(a，0)代入解析式可得反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为，设D(c，d)，则，，根据点的坐标可得，再根据边自检的关系即可求出答案.
21．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由杠杆原理可知，两物体与支点的距离与其重量成反比，
则弹簧秤的读数应为，
故答案为：B．
【分析】由杠杆原理可知，两物体与支点的距离与其重量成反比，根据比例式即可求解．
22．【答案】（1）反比例函数图像经过点（1，200）
反比例函数表达式为
又当时，
一次函数图象经过点，（6，110）
即
一次函数表达式为
（2）当时，对于反比例函数
对于一次函数
月利润不高于100万元时共经历4个月
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】(1)由点（1，200）求解反比例函数表达式，进而求得横坐标为4的点坐标（4，50），再结合（6，110）利用待定系数法求解一次函数表达式；
(2)需要找到月利润≤100万元的时间段，结合两个函数的表达式，解不等式并计算对应的月份范围.
23．【答案】（1）解：k= wr=200×30=6000 (cm2/s).
（2）解：当v=300时，
因为反比例函数 在0所以当v≤300时， r≥20.即旋转半径r至少为20cm.
（3）解：当v=160时， 即
如图，过点 B 作BE⊥AD 于点 E，作BF⊥AC于点 F，
因为AB=BC，所以
因为四边形AEBF为矩形，所以
所以
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；矩形的判定与性质；求正切值
【解析】【分析】（1）将表格中的一组数据运用乘法求出k的值；
（2）将v=300代入解析式，求出r的值，然后根据反比例函数的增减性解答即可；
（3）令v=160，求出r的值，过点 B 作BE⊥AD 于点 E，作BF⊥AC于点 F，根据三线合一求出AF长，再根据矩形的性质求出BE长，利用正弦的定义解答即可.
24．【答案】（1）解：∵，
∴当时，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
设曲线的函数表达式为，
则：，
∴
（2）解：能，理由如下：
当时，对于，
解得：；
对于，解得：，
，
∴老师能在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；猜想与证明
【解析】【分析】（1）把代入 算出对应的x的值就是m的值，然后根据n=m+10求出n，从而求出点坐标，然后利用待定系数法求出曲线CD的函数表达式即可；
（2）把y=32分别代入 与（2）所求的反比例函数解析式求出自变量的值，求出两个自变量的差值与18进行比较即可得出结论．
（1）解：∵，
∴当时，，解得：，
∴，
∴，
∴，
设曲线的函数表达式为，
则：，
∴；
（2）能，理由如下：
当时，对于，解得：；
对于，解得：，
，
∴老师能在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题；
25．【答案】（1）解：如图；
（2）解：v与W成反比例函数关系
设v =，(10，6)代入得：k=60
∴v=
(12，5)(15， 4)(20， 3)(30， 2)代入上式，均符合，
∴v=.
（3）解：
答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】（1）根据题意，连线作图即可；
（2）根据（1）可知，图象为反比例函数，进而用待定系数法求解析式即可；
（3）根据题意可求出v的值，即可求出 的最值.
1 / 1【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题8 反比例函数
一、中考中反比例函数图像与性质
1．关于x的反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．其图象经过点（1，-2）
B．其图象位于第二、四象限
C．若其图象经过（a，a-1），则a=-1
D．其图象所在的每一个象限内，y随着x的增大而减小
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵反比例函数解析式为，把代入解析式得，
∴图象不经过点，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴图象位于第一，三象限，故此选项不符合题意；
C、∵图象经过点，
∴，整理得，解得或，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴在图象的每一个象限内，随着的增大而减小，故此选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质逐项判断解答即可.
2． 已知点A （x1， y1)， B （x2， y2)在反比例函数 的图象上。若 则（　　)。
A．y1＜y2＜0 B．y2＜y1＜0 C．0＜y1＜y2 D．0＜y2＜y1
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数 的比例系数 ，
∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】先根据比例系数的符号得到图象位于一、三象限， 一、三象限， 在每个象限内， 随 的增大而减小，据此解答即可.
3．关于反比例函数下列说法中错误的是（　　）
A．它的图象分布在一、三象限
B．若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上
C．当x>0时，y的值随x的增大而减小
D．当x>-1时，y<-3
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴它的图象分布在一、三象限，选项A说法正确；
若点在它的图象上，则满足，可得，因此点也满足函数解析式，故选项B说法正确；
∵，
∴当时，的值随的增大而减小，选项C说法正确；
对于选项D，当时，，当时，，
因此当时，不是所有都满足，选项D说法错误．
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数函数的图象和性质逐项判断解答即可．
4．已知点A（5-t，y1）和点B（t+1，y2）都是反比例函数的图像上的两点，下列说法正确的是（　　）
A．当-1y2
C．当1y2
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：由条件可知反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
A、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故A不正确，不符合题意；
B、当时，，，此时点A在第二象限，点B在第四象限，，故B正确，符合题意；
C、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故C不正确，不符合题意；
D、当时，，，此时点A在第四象限，点B在第二象限，，故D不正确，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据双曲线位于二、四象限，且每个象限内，y随x的增大而增大，据此解答即可．
5． 反比例函数的图象上有，两点。下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：选项A：当t<0时，-t>0，因此(正数)，(正数).若t=-1，则y1-y2=1-1-0，不满足>0，若t=-2，则y1-y2=0.5-0.25=0.25>0，选项A不恒成立，错误；
选项B：，分母t2>0，分子-t+1的符号决定整体符号：当t<1时，分子>0，整体>0；当t>1时，分子<0，整体<0，选项B不恒成立，错误；
选项C：，当t<-1时，t+1<0，因此(分母t2>0)，选项C恒成立，正确；
选项D：，当t>1时，分子-t+1<0，整体<0，选项D不恒成立，错误；
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数定义，直接代入点坐标计算；针对每个选项中的t范围，分析y1和y2的符号及大小关系；通过通分、因式分解等方法简化表达式，判断代数式的符号.
6．已知函数 (k1， k2均为常数)的图象都经过点(-2， - 1)，当 时，x的取值范围是(　　)
A．x<-2 B．x<-2或x>2
C．x>2 D．x<-2或0【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：函数，的图象都经过点，
，，
正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
两函数的另一交点为，如图所示，
由图象可知，当或时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的上方，即，
当时，的取值范围是或．
故答案为：D .
【分析】先把代入解析式求出和，再根据对称性得到两函数的另一交点坐标，然后借助函数图象，得到反比例函数的图象位于正比例函数图象的上方时的自变量的取值范围解答即可．
7．若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣2 B．m＜0 C．m＞﹣2 D．m＞0
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；反比例函数的性质
8．在平面直角坐标系xOy中，若点A(1，y1)， B(-2，y2)在反比例函数 的图象上，则 的值为(　　)
A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定等于0 D．不能确定
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点 在反比例函数
的图象上，
的值一定是正数，
故选： A.
【分析】根据图象上点的坐标特征求得 得到 即可判断.
9．已知反比函数的两点A（2m+1，y1），B（4-m，y2），若.则m的取值范围为　 　.
【答案】 或.
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】解：反比例函数中，，根据反比例函数的性质，函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小.
分两种情况讨论：
情况1：点在不同象限
若，则在第一象限，在第三象限，可得不等式组
解得，即该情况解集为；
情况2：点在同一象限
若，结合反比例函数增减性，得，且两点横坐标同号，即，
解得，
解得，
所以.
综上，的取值范围是 或 .
故答案为： 或 .
【分析】先判断反比例函数图象位置和增减性，然后分为两点在一个象限或两个象限两种情况求出m的取值范围解答即可.
10．已知反比例函数 点M(x1，y1)和N(x2，y2)是反比例函数图象上的两点，若对于 都有 则a的取值范围是(　　)
A．a<0或2C．23或a<0
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；反比例函数的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：设，
当，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而减小．
∵对任意，都有，
∴小于的最小值，的最小值为，
又∵，可得，
∵，
∴．
当时，左边，不等式恒成立，符合条件，
当时，两边同乘，得，
又∵，
∴；
情况2：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而增大，
∵对任意，都有，
∴小于的最小值，代入，得，
∵，
∴，
∵，两边同乘，得，与矛盾，
∴此情况无解．
综上，的取值范围是或．
故答案为：A .
【分析】分为>0或3-a<0两种情况，根据都有，列不等式求出的取值范围即可．
二、中考中反比例函数系数K的几何意义
11．如图，反比例函数与矩形ABCO的边BC，AB分别交于D，E两点，连接OE，OD，DE.若S△ODE=8，CD：OA=1：3，则k的值是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设点A（0，a），C（c，0），则B（c，a），D(c，a)，
∵点D，E在反比例函数y＝上，
∴k＝ac，E(c，a)，
∴OA＝a，OC＝c，AE＝c，BD＝a a＝a，
BE＝c c＝c，CD＝a，
∵S△ODE＝OA OC OA AE BD BE OC CD
＝ac a c a c c a＝ac，
∴ac＝8，
即ac＝18，
∴k＝ac＝6．
故答案为：B．
【分析】设点A（0，a），C（c，0），则B（c，a），根据点D，E在反比例函数y＝上，CD：OA＝1：3推出D(c，a)，E(c，a)，k＝ac，再根据S△ODE＝S长方形OABC S△AOE S△BDE S△COD求出ac的值，即可求出k的值．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在反比例函数0）的图象上，P是矩形OABC内的一点，连结PO，PA，PB，PC，若图中阴影部分的面积为10，则k为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设点的坐标为，
∵点在反比例函数上，
∴，
由题意可得矩形的面积为，阴影部分面积为矩形面积的一半，
∴，
∴，
∴．
故答案为：20.
【分析】 设点的坐标为，根据矩形面积与反比例函数的几何意义得到k=ab，根据题意得到阴影部分面积为矩形面积的一半解答即可．
13．如图，在中，，点B在x轴上，点C，点D分别为的中点，连接，点E为上任意一点，连接，反比例函数的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵点C，点D分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，.
∴，
∴和的高之比为．
∵，
∴．
连接，
∵点D分别是的中点，，
∴，
∴，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线的性质得可知和的高之比为，可以得到，然后连接，可知，即可得到，求出k的值解题．
14． 如图，矩形OABC的边OA、OC分别落在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，若反比例函数 的图象经过OB的中点 D且与边BC交于点 E，连接DE、OE，若△ODE 的面积为3，则k的值为　 　。
【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：设B(a，b)，则
∵比例函数 的图象经过OB的中点 D且与边BC交于点E，四边形OABC为矩形
∴
∴ab=4k
∵△ODE的面积为3
∴△BOE的面积为6
∴
解得：|k|=4
由图象可得，k<0
∴k=-4
故答案为：-4
【分析】设B(a，b)，则，根据反比例函数k的几何意义可得，则ab=4k，由题意可得△BOE的面积为6，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
15．如图是函数y1＝与y2＝的图象，点A、B分别在y1、y2上，AB∥x轴，点C在x轴上，S△ABC＝4，则k2－k1＝　 　．
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设直线AB与y轴交于点D，连接AO，BO，则，
由反比例函数比例系数k的几何意义可知 ，
即 .
故答案为：8.
【分析】设直线AB与y轴交于点D，连接AO，BO，则，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义得到 ，然后代入计算即可.
16．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点轴交轴于点，连结OA.若矩形OBAC的周长为8，对角线OA的长为，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；勾股定理
【解析】【解答】解：设点A的坐标为，根据题意：
∵矩形OBAC的周长为8，得：，
∴
对角线OA的长度为，得：
将平方得：
结合，代入得：
10+2k=16
∴k=3
故答案为：3.
【分析】利用反比例函数解析式，设点A坐标为，根据矩形周长公式和勾股定理，建立关于a和k的方程组，通过代数变形(如平方展开)消元，最终求出k的值.
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数 的图象经过顶点 D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF. 若点E为AC的中点， 的面积为2，则k的值为　 　.
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：设D（m，），
∵四边形ABCD是矩形，
∴E点的纵坐标为：，
∴点E的横坐标为：2m，
即点E（2m，），
∴点B的横坐标为：3m，
∴点F的横坐标为：3m，
∴点F的坐标为（3m，），
∴CF=，
∵的面积为2，
∴的面积为4，
∴，
解得：k=6
故答案为：6.
【分析】设D（m，），根据矩形的性质，可得出点E（2m，），进而得出点F的坐标为（3m，），再根据 点E为AC的中点，可得出的面积为4，进而根据三角形的面积计算公式，可得出，解方程即可得出k的值。
18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：如图，
∵在和图像上，
∴，，解得：，.
∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为.
点P是线段上一点，设，
∵在图像上，
∴，
，
，
，且，
当时，S有最大值，且最大值是2，
当或时，S有最小值，且最小值是，
∴S的取值范围为．
故答案为：．
【分析】根据在和即可得b、k的值，进而得解析式，设，结合在图像上，得，根据三角形面积公式得，当时，S有最大值，且最大值是2，当或时，S有最小值，且最小值是，综合即可得答案.
19．如图，过反比例函数 图象上一点A作AD垂直于x轴，垂足为D，交反比例函数 的图象于点B，连接OA 交y2于点 C，连接CD，若△OCD的面积为6，则k=　 　。
【答案】24
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥OD于点E，
由条件可得S△OCE＝×6＝3，
又∵△OCD的面积为6，
∴S△OCE＝S△DCE，
∴OE＝ED，
∴CE垂直平分OD，
∴CO＝CD，
∵AD⊥OD，CE⊥OD，
∴AD∥CE，
∴，
∴AC＝CO，
∴S△AOD＝2S△OCD＝12，
∵点A在y1＝，
∴k＝2S△AOD＝24，
故答案为：24．
【分析】过点C作CE⊥OD于点E，根据k的几何意义结合已知可得S△OCE＝S△DCE，进而证明AC＝CO，得出S△AOD＝2S△OCD＝12，进而根据k的几何意义，即可求解．
20． 如图，在以O为坐标原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，将反比例函数 的图象向下平移n个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点A，且图象与BC边交于点 D，则 的值是　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A(a，0)，B(a，b)
则对角线交点的坐标为，反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为
∴，解得：
∴反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为
设D(c，d)，则
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】设A(a，0)，B(a，b)，根据矩形性质可得对角线交点的坐标为，根据函数图象平移性质可得反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为，再将点，(a，0)代入解析式可得反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为，设D(c，d)，则，，根据点的坐标可得，再根据边自检的关系即可求出答案.
三、中考中反比例函数的实际应用
21．如图，把一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将它悬挂．在中点的左侧与中点的距离为处挂一个重的物体，同时在中点的右侧某处挂一个弹簧秤并向下拉，使木杆处于水平状态，根据杠杆原理，当挂弹簧秤处距离中点时，弹簧秤的读数应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由杠杆原理可知，两物体与支点的距离与其重量成反比，
则弹簧秤的读数应为，
故答案为：B．
【分析】由杠杆原理可知，两物体与支点的距离与其重量成反比，根据比例式即可求解．
22．科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？
【答案】（1）反比例函数图像经过点（1，200）
反比例函数表达式为
又当时，
一次函数图象经过点，（6，110）
即
一次函数表达式为
（2）当时，对于反比例函数
对于一次函数
月利润不高于100万元时共经历4个月
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】(1)由点（1，200）求解反比例函数表达式，进而求得横坐标为4的点坐标（4，50），再结合（6，110）利用待定系数法求解一次函数表达式；
(2)需要找到月利润≤100万元的时间段，结合两个函数的表达式，解不等式并计算对应的月份范围.
23．为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验.
【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转.上臂AB，下臂BC长均为25cm.双臂对称张开时，AC始终保持水平，即AC∥MN.
【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径 r与转动速度ν的乘积为定值，即k=vr，k为常数.(图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，ν为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计)
【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度ν部分数据如下表：
旋转半径r(cm) 30 40 50
动速度v(cm/s) 200 150 120
（1）请根据以上信息，求k的值(单位：(
（2）为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过300cm/s，则旋转半径r至少为多少 cm
（3）某动作设计需要机械双臂的转动速度ν为160cm/s，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r.求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角∠BAD的正弦值.
【答案】（1）解：k= wr=200×30=6000 (cm2/s).
（2）解：当v=300时，
因为反比例函数 在0所以当v≤300时， r≥20.即旋转半径r至少为20cm.
（3）解：当v=160时， 即
如图，过点 B 作BE⊥AD 于点 E，作BF⊥AC于点 F，
因为AB=BC，所以
因为四边形AEBF为矩形，所以
所以
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；矩形的判定与性质；求正切值
【解析】【分析】（1）将表格中的一组数据运用乘法求出k的值；
（2）将v=300代入解析式，求出r的值，然后根据反比例函数的增减性解答即可；
（3）令v=160，求出r的值，过点 B 作BE⊥AD 于点 E，作BF⊥AC于点 F，根据三线合一求出AF长，再根据矩形的性质求出BE长，利用正弦的定义解答即可.
24．某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数随时间（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分．
（1）求的值及曲线的函数表达式．
（2）若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴当时，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
设曲线的函数表达式为，
则：，
∴
（2）解：能，理由如下：
当时，对于，
解得：；
对于，解得：，
，
∴老师能在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；猜想与证明
【解析】【分析】（1）把代入 算出对应的x的值就是m的值，然后根据n=m+10求出n，从而求出点坐标，然后利用待定系数法求出曲线CD的函数表达式即可；
（2）把y=32分别代入 与（2）所求的反比例函数解析式求出自变量的值，求出两个自变量的差值与18进行比较即可得出结论．
（1）解：∵，
∴当时，，解得：，
∴，
∴，
∴，
设曲线的函数表达式为，
则：，
∴；
（2）能，理由如下：
当时，对于，解得：；
对于，解得：，
，
∴老师能在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题；
25．在现代智能仓储系统中，一款名为“SwifiBot”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据：
载重W（kg） … 10 12 15 20 30 …
v（m/s） … 6 5 4 3 2 …
（1）把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如（10，6），（12，5）..已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测与W之间的函数关系，并求出函数关系式；
（3）某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量。
【答案】（1）解：如图；
（2）解：v与W成反比例函数关系
设v =，(10，6)代入得：k=60
∴v=
(12，5)(15， 4)(20， 3)(30， 2)代入上式，均符合，
∴v=.
（3）解：
答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】（1）根据题意，连线作图即可；
（2）根据（1）可知，图象为反比例函数，进而用待定系数法求解析式即可；
（3）根据题意可求出v的值，即可求出 的最值.
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