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专题4.8平行四边形与多边形—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1． 如图， 在四边形ABCD中， AD∥BC， 对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应添加的条件是（　　)
A．AB=CD B．AO=CO C．∠ADB=∠CBD D．AC=BD
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】
解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误；
B、∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴AD=BC，
∴四边形为平行四边形．故B正确．
C、由无法判定为平行四边形，故C错误；
D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误；
故答案为：B.
【分析】
本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质， 根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可．
2． 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，；
∴OE是ACD的中位线，
∴OE=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴ OE=AB，
故答案为：C.
【分析】由三角形中位线的性质得OE=CD，进而由平行四边形的性质得OE=AB，解答即可.
3．如图，在 ABCD中，点E， F， G， H分别在边AB， BC， CD， DA上， FH∥AB， EG∥BC，交点O在△ABD的内部，记 AEOH， EBFO， OFCG， OGDH的面积分别为a， b， c，d.若△OBD的面积为k，则下列选项中，可用含k的代数式表示的是(　　)
A．a+c B．a-c C．b+d D．b-d
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，
由题意得，，，
，
，
，
，
∴，
整理得，即，
∴．
可用含的代数式表示的是．
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质结合，根据割补法列式计算即可求解．
4．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2，BD=4.以点C为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点E，再分别以点B，E为圆心，大于的长为半径向下作弧，两弧交于点M，作直线CM交AB于点F.记BF长为x，AB长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B．x-y C．x2+y2 D．x+y
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过D作DH⊥BA交BA的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAH=∠CBF，
由题意知：CF⊥AB
∴∠AHD=∠BFC=90°
∴△ADH≌△BCF(AAS)
∴AH=BF=x，DH=CF，
∴BH=AB+AH=x+y，AF=AB-BF=y-x，
∵DH2=BD2-BH2，CF2=AC2-AF2，
∴BD2-BH2=AC2-AF2，
∴42-(x+y)2=22-(y-x)2，
∴xy=3
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是xy.
故选：A.
【分析】过D作DH⊥BA交BA的延长线于H，由平行四边形的性质推出AD=BC，AD//BC，得到∠DAH=∠CBF，而∠AHD=∠BFC=90°，判定△ADH≌△BCF(AAS)，推出AH=BF=x，DH=CF，由勾股定理得到42-(x+y)2=22-(y-x)2，求出xy=3，即可得到答案.
5．八角窗棂是中国传统建筑中一种极具特色的装饰元素，象征着天地间的和谐，寓意四面八方的吉祥．如图1是某景区的一个正八边形窗棂，其独特的几何美感为景区增添了艺术魅力，图2是该正八边形窗棂的平面示意图，连接、交于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：多边形是正八边形，
，，
，
，
故选：A．
【分析】本题考查正多边形的内角计算、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题需先求出正八边形的内角度数，再逐步推导相关角的度数。先利用正多边形内角和公式（）求出正八边形的内角度数，结合正八边形的边长相等得到等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出和的度数，最后在中，根据三角形内角和定理减去两个底角的度数，求出的度数。
6．如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴∠ABD==108°，∠DBC=∠BAC，
∵∠α+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ACB=∠BAC=180°-108°=72°，
∴∠α=180°-∠ACB-∠BAC=180°-72°-72°=36°，
故答案为：C.
【分析】 根据题目描述，五个完全相同的等腰三角形组合构成了内外两个正五边形，通过计算正五边形的内角可知∠ABD为108度，运用三角形内角和为180度的性质，可以推导出∠ACB和∠BAC均为72度（180°-108°），最终即可求得∠α的具体数.
7．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，延长MN至点P，连接PC，∠P+∠BCP=180°，要使四边形MBCP为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案：
甲：添加BM=PC；乙：添加；丙：添加MP=BC．则正确的方案（　　）
A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对
C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵∠P+∠BCP=180°，
∴MP//BC，
甲：添加BM=PC后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形MBCP为平行四边形；
乙：添加BM//PC后，满足两组对边分别平行，能证明四边形MBCP为平行四边形；
丙：添加MP=BC后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形MBCP为平行四边形；
综上可知，只有乙、丙才对.
故答案为：B.
【分析】首先根据同旁内角互补，两直线平行推出MP∥BC，利用平行四边形的判定方法“两组对边分别平行得四边形是平行四边形”及“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”逐项分析判断即可.
8．如图， ABCD中，DE∥BG，AF∥CH，E，G分别在AF，CH上，连结FH，∠AFB=120°，若△AFB≌△HEF，△AED与△HEF的面积相等，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设，则，，
，
，，
如图，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，
，
，
，
在中，，
，
．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
，
，
整理得：，
解得：，
由，则．
故答案为：D.
【分析】设，根据全等三角形的对应边相等可得，，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，在中，根据正弦的定义求出HK长，再根据三角形的面积公式求出△HEF的面积，利用平行四边形的判定和性质，利用AAS得到，即可得到，在中，利用正弦的额定义求出DG长，即可求出△ADE的面积．再根据列方程，求出k的值解答即阿珂．
9．如图，△ABC 的周长为 a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1， 再以△AB1C1 各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBnCn 的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 点 分别为 的中点， ，
的周长 ，
同理， 的周长 ，
则 的周长 ，
故答案为：A
【分析】根据三角形中位线定理得到△A1B1C1的周长，△A2B2C2的周长，总结规律，根据规律解答即可.
10．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图所示，作轴于点，
，，
，
，
，重合，
，
则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为；
同理可得：，，，
则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为；
同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是；
同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是；
第6个平行四边形的对称中心的坐标是，
即，，.
故答案为：D．
【分析】由题意，先求出前几个点的坐标，并找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，然后把n=6代入所得规律计算即可求解．
二、填空题
11．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，有下列条件：①OA=OC；②AD//BC；③∠BAC=∠ACD；④AB=CD，从中选择两个条件：　 　（填序号），使得四边形ABCD是平行四边形。
【答案】②③（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：②③，
证明：
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；
①②，
证明：
在△ADO和△CBO中，
∴ △ADO≌△CBO(AAS)，
∴AD=BC，
∴ 四边形ABCD 是平行四边形；
①③，
证明：在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，
∴AB=CD，
∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；
③④，
证明：∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴ 四边形ABCD 是平行四边形.
故答案为：②③或①②或①③或③④.
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可.
12．如图，一束激光射入水面，在点A处发生折射，折射光线在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为　 　．
【答案】74
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
【分析】本题主要对三角形外角的性质，平行四边形的判定，平行线的性质进行考查．根据三角形的外角性质：三角形外外角等于与其不相邻的两个内角之和，求出，又因为折射光线，所以四边形是平行四边形，因此有．
13．在四边形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有　 　组.
【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，
故答案为：3.
【分析】根据平行四边形的判断定理可作出判断.
14．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB=8，BC=6，则EF的长是　 　.
【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解 ∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是 的中位线.
∵BF平分
故答案为：1.
【分析】利用中位线定理，得到 根据平行线的性质，可得 再利用角平分线的定义得到 由此得到DF=DB，进而求出DF的长，即可求得 EF的长度.
15．如图，两条直线l1， l2分别经过正六边形ABCDEF 的顶点B 、C，且l1//l2．当∠2=95°时，则∠1=　 　°.
【答案】35
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，
正六边形内角和为：，
，
，，
，
，
故答案为：35.
【分析】先求出正六边形的每个内角的度数，然后根据平行线的性质解答即可．
16．已知：从边形的一个顶点出发共有6条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为49．则的值为　 　．
【答案】
【知识点】多边形的对角线；正多边形的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：从边形的一个顶点出发共有6条对角线，则，解得；
从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形，，解得；
正边形的边长为7，周长为49，则，解得，
∴，
故答案为：．
【分析】从边形的一个顶点出发，能引出条对角线，把多边形分成个三角形．据此求出m，n和t的值，代入计算即可．
17．用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于　 　．
【答案】337.5
【知识点】平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：标记如下角度，对照图(1)和图(2)知∠1=90°，2∠2=90°，3y°+∠3=360°，3x°+∠3=360°
故∠1=45°，x°=y°，
由图(1)知x°+y°+∠1+∠2=360°，即x°+x°+45°+90°=360°
得x=y=112.5
故x+2y=337.5
故填：337.5
【分析】由图知∠1=90°，根据密铺的定义可列出关于x，y的方程，求解方程即可得x+2y的值.
18．实验课上，小华在研究苯和石墨的分子结构时，发现这两种物质的分子均为正多边形结构，且其内角和为，则这个正多边形的每个外角为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为，
则，
解得
∴这个正多边形为六边形，
∵正多边形的每个外角都相等，
∴这个正多边形的每个外角为．
故答案为：．
【分析】先求出多边形的边数，然后根据多边形的外角和为360°解答即可．
19．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC上动点.将四边形MNCD沿直线MN折叠，点D的对应点D'恰好落在边AB上，C的对应点为C'，连接DN、DD'，其中DD'交MN于点P.若AB=6，AD=10，∠ADC=2∠NDD'=60°，则MP的长度为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，在上截取，连接，
由折叠性质可知，垂直平分，
∴，，，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
过作，交延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【分析】连接，在上截取，连接，根据折叠可知垂直平分，即可得到，，，，利用等边对等角和三角形的内角和定理可得，根据平行四边形的性质得，，，，即可得到是等边三角形，然后根据AAS得到，即可得到，，求出，过作，交延长线于点，根据勾股定理求出D'F的长，设，利用勾股定理解答即可．
三、解答题
20．如图，在锐角 中，D，E分别是AB，BC的中点，点M，F分别为AC上的点，且.
证明：四边形DMFE 为平行四边形。
【答案】证明： ∵DM=DA，
∴∠A=∠DMA，
∵∠A=∠AFE，
∴∠DMA=∠AFE，
∴DM∥EF，
∵D， E分别是AB， BC的中点，
∴DE∥AC，
∴DE∥MF，
∴四边形DMFE为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据DM=DA得出∠A=∠DMA，结合已知可得∠DMA=∠AFE即可证明DM∥EF，根据三角形中位线的性质得出DE∥MF，即可得证.
21．如图，在四边形中，P是对角线的中点，E，F是的中点，，求证：．
【答案】证明：在中，P，F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】先由等角对等边可得PE＝PF，再由三角形的中位线定理证明AB＝2PF、CD＝2PE，再等量代换即可．
22．阅读以下文字，回答问题
题目：如图，在中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连结．求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，， ∴． ① 又∵O为的中点， ∴． ② 在中，， ③ ∴． ④ ……
在上述部分解答过程中，有一处错误，请指出其中的错误，并写出正确的解答过程．
【答案】解：步骤②错误．正确的解答过程如下： 证明：∵，，
∴．
在中，．
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”知，要判定四边形是平行四边形，则可证明即可，因为四边形ABCD是平行四边形，则OB＝OD可直接证明，但OE＝OF不能直接得出，需要专门进行证明，所以步骤②错误；由于平行四边形ABCD中，AD＝CB，且AD//BC，所以可通过证明得出CE＝AF，再利用对角线互相平分即：OA＝OC即可。
23．如图，等边三角形的边长是4，D，E分别为的中点，延长至点F，使连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）证明：分别为的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形
（2）解；如图所示，过点D作于H，
∵为的中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】本题重点考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形特性以及三角形中位线定理的应用。掌握这些知识点是解题的关键。
（1）首先根据三角形中位线定理可得：，再通过证明，最终依据平行四边形的判定条件得出结论。
（2）过点D作辅助线，根据中点性质得到。由角度关系得出，进而求得，再通过勾股定理计算得，最后根据平行四边形面积公式完成计算。
（1）证明：分别为的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解；如图所示，过点D作于H，
∵为的中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
24．如图，在四边形中，，，，点，分别是，中点，连结，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵点是中点，
∴BC=2CE，
∵BC=2AD，
四边形是平行四边形
（2）解：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵点，分别是，中点，
∴
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据中点结合已知条件，推出，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）连接BD，由二直线平行，同旁内角互补求出∠BAD=90°，然后利用勾股定理求出BD的长，最后根据三角形的中位线等于第三边的一半得出，从而即可得出答案.
（1）解：∵点是中点，
∴，
，
四边形是平行四边形；
（2）连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵点，分别是，中点，
∴．
25．如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、．
（1）若，求的度数；
（2）已知，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形的性质得出，，根据两直线平行内错角相等得，根据等腰三角形得性质得出，再计算角度，解答即可；
（2）根据等腰三角形的三线合一得性质得出，再利用ASA证明，根据全等三角形的性质得出，再根据平行四边形的判定即可解答．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
26．如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，连接，并求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形
（2）解：如图，连接AC，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】
(1)、根据平行四边形的性质得到，，再计算线段的和差得到，再根据可判定四边形是平行四边形，解答即可；
（2）、连接AC，根据平行四边形的性质得到，再计算出，根据勾股定理计算可得AC，解答即可.
27．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，点E，点F分别是AC、BC的中点，连结EF、BE，过点A作AD∥BE交FE的延长线于点D.
（1）求证：四边形ABED为平行四边形.
（2）若，求线段AD的长.
【答案】（1）证明：∵点E，点F分别是AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，
∴DE∥AB，
∵AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形
（2）解：∵EF是△ABC的中位线，且EF=1，
∴AB=2EF=2．
在Rt△ABC中，，代入AB=2，得，解得AC=6．
∵E是AC中点，
∴．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得.
∵四边形ABED是平行四边形，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）先利用三角形中位线定理证明EF∥AB，从而得到DE∥AB，再结合已知的AD∥BE，根据平行四边形的判定定理即可证明；
（2）先由中位线性质求出AB=2，再根据 若 求出AC=6，进而得到AE=3，在Rt△ABE中用勾股定理算出，最后利用平行四边形对边相等的性质，得出．
28．如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，．
①线段长？
②四边形的面积？
【答案】（1）证明：连接交于．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
（2）解：①在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
②过点作于，
∵，，，，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）连接交于．根据平行四边形的性质可得，，然后根据线段的和差得到，即可证明结论；
（2）①在中根据勾股定理求出，进而根据线段的和差和等量代换解答即可；
②过点作于，根据面积公式得△ABF的面积公式求出BH长，再根据SSS证明，得到，进而求出四边形BEDF的面积．
29．如图，在平行四边形中，已知．
（1）实践与操作：作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接交于点，若，，求的长（未完成作图的，可用草图作解答）．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图，连接，交于点O，
∵，平分，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由角平分线的作法可知：在上截取，连接，画出图形即可；
（2）连接，交于点O，由等腰三角形的性质“等腰三角形的三线合一”可得，，由平行四边形的对边互相平行得AD∥BC，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等”可得，则，由等角对等边得，再由等腰三角形的三线合一可得，在中，用勾股定理求得AO的值，然后根据平行四边形的对角线互相平分得AE=2AO可求解．
（1）解：如图所示：
（2）解：如图，连接，交于点O，
∵，平分，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴．
30．小李和小王一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，已知BE平分，用直尺和圆规在AB上找一点，使得DF平分．
小李：条件“BE平分”多余，如图2，以点为圆心，AD长为半径作圆弧交AB于点，连结DF，则DF平分．
小王：利用条件“BE平分”，不用圆规也能找到点，使DF平分．
（1）请给出小李作法中DF平分的证明．
（2）仅用无刻度直尺在图3中作出DF平分．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】（1）证明：在中，AB//CD
∴∠CDF=∠AFD
即DF平分
（2）解：如图，DF就是∠ADC的角平分线.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，DQ=BQ，点Q是平行四边形ABCD的对称中心，
∴QE=FQ，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴∠EDF=∠EBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠ABC，
∴∠EDF=∠ADC，
∴DF是∠ADC的角平分线.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；角平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠CDF=∠AFD，由等边对等角得∠ADF=∠AFD，由等量代换得∠CDF=∠ADF，从而根据角平分线的定义可得结论；
（2）连接AC、BD，相交于点Q，则点Q就是平行四边形ABCD的对称中心，连接EQ并延长交AB于点F，再连接DF，DF就是∠ADC的角平分线；由平行四边形的对角线互相平分得DQ=BQ，由平行四边形的对称性可得EQ=FQ，由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得四边形DEBF是平行四边形，由平行四边形的对角相等得∠ADC=∠ABC，∠EDF=∠EBF，由角平分线的定义得∠FBE=∠ABC，故∠EDF=∠ADC，从而根据角平分的定义可得结论.
31．问题情境
（1）如图①，△ABC中，DE∥BC 分别交AB，AC 于D，E 两点，过点 E 作EF∥AB 交BC 于点 F.请按图示数据填空：
四边形 DBFE 的面积S=　 　，△EFC 的面积 　 　，△ADE 的面积. 　 　。
（2）探究发现
在(1)中，若 BF=a，FC=b，DE 与BC 间的距离为h，请证明：
（3）拓展迁移
如图②， DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG，△DBE，△GFC 的面积分别为2，5，3，试利用(2)中的结论求△ABC 的面积.
【答案】（1）6；9；1
（2）解：
而
（3）解：如答图，过点G 作GH∥AB 交BC 于点H，则四边形DBHG 为平行四边形.
∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH.
∵ 四边形 DEFG 为平行四边形，
∴ DG=EF.
∴ BH=EF.
∴ BE=HF.
∴ △DBE≌△GHF.
∴ △GHC的面积为5+3=8.
由(2)得， DBHG 的面积为
的面积为2+8+8=18
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（1）∵ DE∥BC 、 EF∥AB ，
∴ 四边形DBFE是平行四边形，
∴S=2×3=6，S1=，DE=BF=2，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
设A点到DE的距离为h，则有
，即，解得h=1，
∴ △ADE 的面积 .
故答案为：6、9、1.
【分析】（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形DBFE是平行四边形，这样可以按照平行四边形的面积、三角形的面积计算公式计算出S和S1，然后利用相似三角形的判断和性质得出△ADE∽△ABC，进而利用对应比和相似比得出h的值，最后即可计算出S2；
（2）首先利用相似三角形的判定和性质，得出“面积比等于相似比的平方”，即，然后分别用a、b、h表示出S、S1和S2，最后变形即可得出证明结果；
（3）先利用平行四边形的判定和性质，得出对应角度相等、对应边相等；然后根据SSS证明出 △DBE≌△GHF，此时即可计算出△GHC的面积，根据（2）得出 DBHG的面积，这样， △ABC的面积即可计算得出.
1 / 1专题4.8平行四边形与多边形—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1． 如图， 在四边形ABCD中， AD∥BC， 对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应添加的条件是（　　)
A．AB=CD B．AO=CO C．∠ADB=∠CBD D．AC=BD
2． 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABCD中，点E， F， G， H分别在边AB， BC， CD， DA上， FH∥AB， EG∥BC，交点O在△ABD的内部，记 AEOH， EBFO， OFCG， OGDH的面积分别为a， b， c，d.若△OBD的面积为k，则下列选项中，可用含k的代数式表示的是(　　)
A．a+c B．a-c C．b+d D．b-d
4．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2，BD=4.以点C为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点E，再分别以点B，E为圆心，大于的长为半径向下作弧，两弧交于点M，作直线CM交AB于点F.记BF长为x，AB长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B．x-y C．x2+y2 D．x+y
5．八角窗棂是中国传统建筑中一种极具特色的装饰元素，象征着天地间的和谐，寓意四面八方的吉祥．如图1是某景区的一个正八边形窗棂，其独特的几何美感为景区增添了艺术魅力，图2是该正八边形窗棂的平面示意图，连接、交于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，延长MN至点P，连接PC，∠P+∠BCP=180°，要使四边形MBCP为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案：
甲：添加BM=PC；乙：添加；丙：添加MP=BC．则正确的方案（　　）
A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对
C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对
8．如图， ABCD中，DE∥BG，AF∥CH，E，G分别在AF，CH上，连结FH，∠AFB=120°，若△AFB≌△HEF，△AED与△HEF的面积相等，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC 的周长为 a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1， 再以△AB1C1 各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBnCn 的周长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，有下列条件：①OA=OC；②AD//BC；③∠BAC=∠ACD；④AB=CD，从中选择两个条件：　 　（填序号），使得四边形ABCD是平行四边形。
12．如图，一束激光射入水面，在点A处发生折射，折射光线在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为　 　．
13．在四边形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有　 　组.
14．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB=8，BC=6，则EF的长是　 　.
15．如图，两条直线l1， l2分别经过正六边形ABCDEF 的顶点B 、C，且l1//l2．当∠2=95°时，则∠1=　 　°.
16．已知：从边形的一个顶点出发共有6条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为49．则的值为　 　．
17．用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于　 　．
18．实验课上，小华在研究苯和石墨的分子结构时，发现这两种物质的分子均为正多边形结构，且其内角和为，则这个正多边形的每个外角为　 　．
19．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC上动点.将四边形MNCD沿直线MN折叠，点D的对应点D'恰好落在边AB上，C的对应点为C'，连接DN、DD'，其中DD'交MN于点P.若AB=6，AD=10，∠ADC=2∠NDD'=60°，则MP的长度为　 　.
三、解答题
20．如图，在锐角 中，D，E分别是AB，BC的中点，点M，F分别为AC上的点，且.
证明：四边形DMFE 为平行四边形。
21．如图，在四边形中，P是对角线的中点，E，F是的中点，，求证：．
22．阅读以下文字，回答问题
题目：如图，在中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连结．求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，， ∴． ① 又∵O为的中点， ∴． ② 在中，， ③ ∴． ④ ……
在上述部分解答过程中，有一处错误，请指出其中的错误，并写出正确的解答过程．
23．如图，等边三角形的边长是4，D，E分别为的中点，延长至点F，使连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求四边形的面积．
24．如图，在四边形中，，，，点，分别是，中点，连结，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
25．如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、．
（1）若，求的度数；
（2）已知，求证：四边形是平行四边形．
26．如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，连接，并求的长．
27．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，点E，点F分别是AC、BC的中点，连结EF、BE，过点A作AD∥BE交FE的延长线于点D.
（1）求证：四边形ABED为平行四边形.
（2）若，求线段AD的长.
28．如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，．
①线段长？
②四边形的面积？
29．如图，在平行四边形中，已知．
（1）实践与操作：作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接交于点，若，，求的长（未完成作图的，可用草图作解答）．
30．小李和小王一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，已知BE平分，用直尺和圆规在AB上找一点，使得DF平分．
小李：条件“BE平分”多余，如图2，以点为圆心，AD长为半径作圆弧交AB于点，连结DF，则DF平分．
小王：利用条件“BE平分”，不用圆规也能找到点，使DF平分．
（1）请给出小李作法中DF平分的证明．
（2）仅用无刻度直尺在图3中作出DF平分．（保留作图痕迹，不要求写作法）
31．问题情境
（1）如图①，△ABC中，DE∥BC 分别交AB，AC 于D，E 两点，过点 E 作EF∥AB 交BC 于点 F.请按图示数据填空：
四边形 DBFE 的面积S=　 　，△EFC 的面积 　 　，△ADE 的面积. 　 　。
（2）探究发现
在(1)中，若 BF=a，FC=b，DE 与BC 间的距离为h，请证明：
（3）拓展迁移
如图②， DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG，△DBE，△GFC 的面积分别为2，5，3，试利用(2)中的结论求△ABC 的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】
解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误；
B、∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴AD=BC，
∴四边形为平行四边形．故B正确．
C、由无法判定为平行四边形，故C错误；
D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误；
故答案为：B.
【分析】
本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质， 根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可．
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，；
∴OE是ACD的中位线，
∴OE=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴ OE=AB，
故答案为：C.
【分析】由三角形中位线的性质得OE=CD，进而由平行四边形的性质得OE=AB，解答即可.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，
由题意得，，，
，
，
，
，
∴，
整理得，即，
∴．
可用含的代数式表示的是．
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质结合，根据割补法列式计算即可求解．
4．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过D作DH⊥BA交BA的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAH=∠CBF，
由题意知：CF⊥AB
∴∠AHD=∠BFC=90°
∴△ADH≌△BCF(AAS)
∴AH=BF=x，DH=CF，
∴BH=AB+AH=x+y，AF=AB-BF=y-x，
∵DH2=BD2-BH2，CF2=AC2-AF2，
∴BD2-BH2=AC2-AF2，
∴42-(x+y)2=22-(y-x)2，
∴xy=3
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是xy.
故选：A.
【分析】过D作DH⊥BA交BA的延长线于H，由平行四边形的性质推出AD=BC，AD//BC，得到∠DAH=∠CBF，而∠AHD=∠BFC=90°，判定△ADH≌△BCF(AAS)，推出AH=BF=x，DH=CF，由勾股定理得到42-(x+y)2=22-(y-x)2，求出xy=3，即可得到答案.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：多边形是正八边形，
，，
，
，
故选：A．
【分析】本题考查正多边形的内角计算、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题需先求出正八边形的内角度数，再逐步推导相关角的度数。先利用正多边形内角和公式（）求出正八边形的内角度数，结合正八边形的边长相等得到等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出和的度数，最后在中，根据三角形内角和定理减去两个底角的度数，求出的度数。
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴∠ABD==108°，∠DBC=∠BAC，
∵∠α+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ACB=∠BAC=180°-108°=72°，
∴∠α=180°-∠ACB-∠BAC=180°-72°-72°=36°，
故答案为：C.
【分析】 根据题目描述，五个完全相同的等腰三角形组合构成了内外两个正五边形，通过计算正五边形的内角可知∠ABD为108度，运用三角形内角和为180度的性质，可以推导出∠ACB和∠BAC均为72度（180°-108°），最终即可求得∠α的具体数.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵∠P+∠BCP=180°，
∴MP//BC，
甲：添加BM=PC后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形MBCP为平行四边形；
乙：添加BM//PC后，满足两组对边分别平行，能证明四边形MBCP为平行四边形；
丙：添加MP=BC后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形MBCP为平行四边形；
综上可知，只有乙、丙才对.
故答案为：B.
【分析】首先根据同旁内角互补，两直线平行推出MP∥BC，利用平行四边形的判定方法“两组对边分别平行得四边形是平行四边形”及“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”逐项分析判断即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设，则，，
，
，，
如图，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，
，
，
，
在中，，
，
．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
，
，
整理得：，
解得：，
由，则．
故答案为：D.
【分析】设，根据全等三角形的对应边相等可得，，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，在中，根据正弦的定义求出HK长，再根据三角形的面积公式求出△HEF的面积，利用平行四边形的判定和性质，利用AAS得到，即可得到，在中，利用正弦的额定义求出DG长，即可求出△ADE的面积．再根据列方程，求出k的值解答即阿珂．
9．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 点 分别为 的中点， ，
的周长 ，
同理， 的周长 ，
则 的周长 ，
故答案为：A
【分析】根据三角形中位线定理得到△A1B1C1的周长，△A2B2C2的周长，总结规律，根据规律解答即可.
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图所示，作轴于点，
，，
，
，
，重合，
，
则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为；
同理可得：，，，
则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为；
同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是；
同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是；
第6个平行四边形的对称中心的坐标是，
即，，.
故答案为：D．
【分析】由题意，先求出前几个点的坐标，并找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，然后把n=6代入所得规律计算即可求解．
11．【答案】②③（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：②③，
证明：
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；
①②，
证明：
在△ADO和△CBO中，
∴ △ADO≌△CBO(AAS)，
∴AD=BC，
∴ 四边形ABCD 是平行四边形；
①③，
证明：在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，
∴AB=CD，
∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；
③④，
证明：∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴ 四边形ABCD 是平行四边形.
故答案为：②③或①②或①③或③④.
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可.
12．【答案】74
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
【分析】本题主要对三角形外角的性质，平行四边形的判定，平行线的性质进行考查．根据三角形的外角性质：三角形外外角等于与其不相邻的两个内角之和，求出，又因为折射光线，所以四边形是平行四边形，因此有．
13．【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，
故答案为：3.
【分析】根据平行四边形的判断定理可作出判断.
14．【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解 ∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是 的中位线.
∵BF平分
故答案为：1.
【分析】利用中位线定理，得到 根据平行线的性质，可得 再利用角平分线的定义得到 由此得到DF=DB，进而求出DF的长，即可求得 EF的长度.
15．【答案】35
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，
正六边形内角和为：，
，
，，
，
，
故答案为：35.
【分析】先求出正六边形的每个内角的度数，然后根据平行线的性质解答即可．
16．【答案】
【知识点】多边形的对角线；正多边形的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：从边形的一个顶点出发共有6条对角线，则，解得；
从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形，，解得；
正边形的边长为7，周长为49，则，解得，
∴，
故答案为：．
【分析】从边形的一个顶点出发，能引出条对角线，把多边形分成个三角形．据此求出m，n和t的值，代入计算即可．
17．【答案】337.5
【知识点】平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：标记如下角度，对照图(1)和图(2)知∠1=90°，2∠2=90°，3y°+∠3=360°，3x°+∠3=360°
故∠1=45°，x°=y°，
由图(1)知x°+y°+∠1+∠2=360°，即x°+x°+45°+90°=360°
得x=y=112.5
故x+2y=337.5
故填：337.5
【分析】由图知∠1=90°，根据密铺的定义可列出关于x，y的方程，求解方程即可得x+2y的值.
18．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为，
则，
解得
∴这个正多边形为六边形，
∵正多边形的每个外角都相等，
∴这个正多边形的每个外角为．
故答案为：．
【分析】先求出多边形的边数，然后根据多边形的外角和为360°解答即可．
19．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，在上截取，连接，
由折叠性质可知，垂直平分，
∴，，，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
过作，交延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【分析】连接，在上截取，连接，根据折叠可知垂直平分，即可得到，，，，利用等边对等角和三角形的内角和定理可得，根据平行四边形的性质得，，，，即可得到是等边三角形，然后根据AAS得到，即可得到，，求出，过作，交延长线于点，根据勾股定理求出D'F的长，设，利用勾股定理解答即可．
20．【答案】证明： ∵DM=DA，
∴∠A=∠DMA，
∵∠A=∠AFE，
∴∠DMA=∠AFE，
∴DM∥EF，
∵D， E分别是AB， BC的中点，
∴DE∥AC，
∴DE∥MF，
∴四边形DMFE为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据DM=DA得出∠A=∠DMA，结合已知可得∠DMA=∠AFE即可证明DM∥EF，根据三角形中位线的性质得出DE∥MF，即可得证.
21．【答案】证明：在中，P，F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】先由等角对等边可得PE＝PF，再由三角形的中位线定理证明AB＝2PF、CD＝2PE，再等量代换即可．
22．【答案】解：步骤②错误．正确的解答过程如下： 证明：∵，，
∴．
在中，．
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”知，要判定四边形是平行四边形，则可证明即可，因为四边形ABCD是平行四边形，则OB＝OD可直接证明，但OE＝OF不能直接得出，需要专门进行证明，所以步骤②错误；由于平行四边形ABCD中，AD＝CB，且AD//BC，所以可通过证明得出CE＝AF，再利用对角线互相平分即：OA＝OC即可。
23．【答案】（1）证明：分别为的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形
（2）解；如图所示，过点D作于H，
∵为的中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】本题重点考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形特性以及三角形中位线定理的应用。掌握这些知识点是解题的关键。
（1）首先根据三角形中位线定理可得：，再通过证明，最终依据平行四边形的判定条件得出结论。
（2）过点D作辅助线，根据中点性质得到。由角度关系得出，进而求得，再通过勾股定理计算得，最后根据平行四边形面积公式完成计算。
（1）证明：分别为的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解；如图所示，过点D作于H，
∵为的中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
24．【答案】（1）证明：∵点是中点，
∴BC=2CE，
∵BC=2AD，
四边形是平行四边形
（2）解：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵点，分别是，中点，
∴
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据中点结合已知条件，推出，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）连接BD，由二直线平行，同旁内角互补求出∠BAD=90°，然后利用勾股定理求出BD的长，最后根据三角形的中位线等于第三边的一半得出，从而即可得出答案.
（1）解：∵点是中点，
∴，
，
四边形是平行四边形；
（2）连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵点，分别是，中点，
∴．
25．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形的性质得出，，根据两直线平行内错角相等得，根据等腰三角形得性质得出，再计算角度，解答即可；
（2）根据等腰三角形的三线合一得性质得出，再利用ASA证明，根据全等三角形的性质得出，再根据平行四边形的判定即可解答．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
26．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形
（2）解：如图，连接AC，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】
(1)、根据平行四边形的性质得到，，再计算线段的和差得到，再根据可判定四边形是平行四边形，解答即可；
（2）、连接AC，根据平行四边形的性质得到，再计算出，根据勾股定理计算可得AC，解答即可.
27．【答案】（1）证明：∵点E，点F分别是AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，
∴DE∥AB，
∵AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形
（2）解：∵EF是△ABC的中位线，且EF=1，
∴AB=2EF=2．
在Rt△ABC中，，代入AB=2，得，解得AC=6．
∵E是AC中点，
∴．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得.
∵四边形ABED是平行四边形，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）先利用三角形中位线定理证明EF∥AB，从而得到DE∥AB，再结合已知的AD∥BE，根据平行四边形的判定定理即可证明；
（2）先由中位线性质求出AB=2，再根据 若 求出AC=6，进而得到AE=3，在Rt△ABE中用勾股定理算出，最后利用平行四边形对边相等的性质，得出．
28．【答案】（1）证明：连接交于．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
（2）解：①在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
②过点作于，
∵，，，，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）连接交于．根据平行四边形的性质可得，，然后根据线段的和差得到，即可证明结论；
（2）①在中根据勾股定理求出，进而根据线段的和差和等量代换解答即可；
②过点作于，根据面积公式得△ABF的面积公式求出BH长，再根据SSS证明，得到，进而求出四边形BEDF的面积．
29．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图，连接，交于点O，
∵，平分，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由角平分线的作法可知：在上截取，连接，画出图形即可；
（2）连接，交于点O，由等腰三角形的性质“等腰三角形的三线合一”可得，，由平行四边形的对边互相平行得AD∥BC，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等”可得，则，由等角对等边得，再由等腰三角形的三线合一可得，在中，用勾股定理求得AO的值，然后根据平行四边形的对角线互相平分得AE=2AO可求解．
（1）解：如图所示：
（2）解：如图，连接，交于点O，
∵，平分，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴．
30．【答案】（1）证明：在中，AB//CD
∴∠CDF=∠AFD
即DF平分
（2）解：如图，DF就是∠ADC的角平分线.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，DQ=BQ，点Q是平行四边形ABCD的对称中心，
∴QE=FQ，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴∠EDF=∠EBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠ABC，
∴∠EDF=∠ADC，
∴DF是∠ADC的角平分线.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；角平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠CDF=∠AFD，由等边对等角得∠ADF=∠AFD，由等量代换得∠CDF=∠ADF，从而根据角平分线的定义可得结论；
（2）连接AC、BD，相交于点Q，则点Q就是平行四边形ABCD的对称中心，连接EQ并延长交AB于点F，再连接DF，DF就是∠ADC的角平分线；由平行四边形的对角线互相平分得DQ=BQ，由平行四边形的对称性可得EQ=FQ，由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得四边形DEBF是平行四边形，由平行四边形的对角相等得∠ADC=∠ABC，∠EDF=∠EBF，由角平分线的定义得∠FBE=∠ABC，故∠EDF=∠ADC，从而根据角平分的定义可得结论.
31．【答案】（1）6；9；1
（2）解：
而
（3）解：如答图，过点G 作GH∥AB 交BC 于点H，则四边形DBHG 为平行四边形.
∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH.
∵ 四边形 DEFG 为平行四边形，
∴ DG=EF.
∴ BH=EF.
∴ BE=HF.
∴ △DBE≌△GHF.
∴ △GHC的面积为5+3=8.
由(2)得， DBHG 的面积为
的面积为2+8+8=18
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（1）∵ DE∥BC 、 EF∥AB ，
∴ 四边形DBFE是平行四边形，
∴S=2×3=6，S1=，DE=BF=2，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
设A点到DE的距离为h，则有
，即，解得h=1，
∴ △ADE 的面积 .
故答案为：6、9、1.
【分析】（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形DBFE是平行四边形，这样可以按照平行四边形的面积、三角形的面积计算公式计算出S和S1，然后利用相似三角形的判断和性质得出△ADE∽△ABC，进而利用对应比和相似比得出h的值，最后即可计算出S2；
（2）首先利用相似三角形的判定和性质，得出“面积比等于相似比的平方”，即，然后分别用a、b、h表示出S、S1和S2，最后变形即可得出证明结果；
（3）先利用平行四边形的判定和性质，得出对应角度相等、对应边相等；然后根据SSS证明出 △DBE≌△GHF，此时即可计算出△GHC的面积，根据（2）得出 DBHG的面积，这样， △ABC的面积即可计算得出.
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