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永州市2026年高考第三次模拟考试
数学
注意事项：
1.本试卷共150分，考试时量120分钟，
2,全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
3.考试结束后，只交答题卡，
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，
1.
己知集合U={x∈Nx<9}，A={3,4,5,6},则CA=
A.{0,1,2,7,8
B.{1,2,7,8}
C.{L,2,7,8,9}
D.{0,1,2,7,8,9}
2.已知函数=2sinx-,则f(的-个对称中心为
B.后0
c.
D.(
3.已知随机变量X服从正态分布N(2,a2),P(X≤4)=0.7，则P(X≤0)=
A.0.7
B.0.6
C.0.5
D.0.3
4.某学校派甲、乙、丙、丁4名同学参加“永超”足球比赛中3个场次的志愿服务，每
场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，甲、乙两位同学不能
参加同一场次，则不同派法的种数为
A.12
B.24
C.30
D.36
5,己知数列{an}是公比为g的等比数列，则“4,4>a,a,”是“g>1”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D,既不充分也不必要条件
6.已知F是抛物线C:x2=6y的焦点，M是C上一点，直线FM交x轴于点N.若
M为N的中点，则FW=
A.3
B.3
C.4
D.
9-2
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7、已a,Be(0》2B=cos(a+)sina,则amB的最大值为
1A
B.V6
c.6
6
D
8.
已知数列o,)满足a=分a=n2-
1
1
A.0B.
5052
5052
2027
2027D.
2026二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
已知复数：-，则
A.l=2
B.z的虚部为-i
C.z在复平面内对应的点位于第二象限
D.z为方程x2+2x+2=0的一个根
10.已知函数f()=血+州丙，则
A.(x)的图象关于y轴对称
B.f(x)有两个零点
C.不等式(x)<∫(2-x)的解集为(0,1)
D.若f(a)+f(b)=0,则a2+b2的最小值为2
11.在三棱锥P-ABC中，PB⊥PA,PB=2PA=2a,PC=b,PO⊥平面ABC,点O
为△ABC的垂心，且PO=1,则
A.PC⊥平面PAB
5.1
B.4a+京
C.三棱锥P-ABC体积的最小值为SV5
D.三棱维P-ABC外接球表面积的最小值为25m
2
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数学参考答案及评分标准
一、单项选择题
题号 2 3 4
答案 A D C B D
二、多项选择题
题号 g 1O
答案 AD ACD ABC
三、填空题
√6
12.2 13.士1 14。
四解答
15。(本顾满分13分)
解析:
(1)证明:在梯形ABCD中,因为BC/AD,所以△BCE0△DAE 分
BE
因为ADa2BC,所以BE BC 所以
EDAD 3分BD3
BF BE
因为BP=3BF,所以BP3BD所以EFPD 4分
又因为PDC平面PCD,EFα平面PCD 5分
所以EF/平面PCD 6分
(2)由P4⊥平面ABCD,故以A为坐标原点,球立如图所示的空间直角坐标系A-vz
设 P4=AD=2BC=2CD=2 z分
叫A(0.0.01.B(1.1.0).C(12.01.P(0.0.21.D(0.2.0 8分
所以BD=(-1,1,0),BC=(0,1,0),BP=(-1-12 9分
。RC
设平面PBC的法向量n=(xyz),则 1O分
元.BP=O =x=y+22=(
令z=1,则y=0,x=2,则元=(2,0,1 11分
π.Bb iO
设直线BD与平面PBC所成角为0,则sin0=lcos(π.BD 2分
πBD
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io
所以直线BD与平面PBC所成角的正弦值为 13
16。(本原满分15分,
解析:
(1)因为3bc0sC+3ccosB=5acosA
由正弦定理得:3sinBcosC+3sinCcosB=5sinAcos
即3sin(B+C)=5sin4cosA 方
即 3sin 4=5sin 4cos 4 3分
又因为0<4<π,所以sin4>0 4分
所以CoSA= 5分
所以cos2A=2cos2A- 分
(2)因为cosd= 0设△ABC的内切圆半径为r,由等面积法得 Csn 9
r=14日T 1O分
4bc
整理得:b十c: 11
5
由余弦定理得:a2=b2+c2-2bcc0s4,即b 12分
6bc
整理得,(b+c) 十16 ② 3分
5
16bc 4bG
联立(I②,符 +6= -4)2,解得bc=15或bc=0(舍) 14分
5 5
所以△ABC的面积为 bcsinC x15x 5分
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17.(本题满分15分’
解析:
(1)因为PF|-PFl=2,所以点P的轨迹为以F(-2,0),F(2,0)为焦点的双曲线 1分
其中a=1,c=2 2分
故点P的轨迹方程为x2 3分
又因为00=20P,设点0(xy),则点 4分
将P坐标代入 ,故E的方程为 5分
(2)易知直线/斜率存在且不为0,设/:x=my+4(m≠0),点A(x,M),点B(%,M
(3x2—y2=12
联立方程 得,3如'-1)y2+24mmy+36=0 6分
[x=ny+4
故3m2-1≠0,日A=1441 z分
24m 36
则十y g分3m2_ 3
my十4一
同理 1O分
因 “成等差列,所 1分
即y土4二 m√十4一 _2n 2分
即4m+(4-)M+X2=0 13分
为
24m 36
代入n十y = y =3m2 得:m(z+2)=0 14分3m2_1
故t=-2, 。青示法 5分
18。(本题满分17分)
解析:
(1)设事件A:甲第1次投篮命中,则P(A)
则甲投篮4次即停止投篮的概率P=P(4A,AA+AA,AA 2分
水州市2026年高者第三次握拟者试·数学参者答蛋及评分标准第3页(共6页
224
则P= 故甲投监4次即停止投篮的极率关
33327
(2)依题意可得,随机变量X的可能取值为:2,3,4 4
21 2 11111 5
P(X=2)=
3 2 3 2323 236
3局结束时,甲胜概率[(二2)×c ×÷×(÷}+c ×÷×(2)×(÷)=i
3局结束时,乙胜磁宰 )×c ×5×()+c ×≥×(÷)×(÷)=
5
P(X=3)=5+36=56 方
P(X=4)=1-P(X=2)-P(X=3)= 8
分布列;
5 13
36 36
9分
则故学期望E(X)=; 十3 1O分
36 36 18
(3)当对=1时,E(Y)=1 1+E( 则a=E(Y 11分
当n22时,E(Y)=(E(Y +(E(Y-)+1+E(Y)): 3分
则E(Y 14分
G 斗3 5分
故{a。+3为首项头 大 的等比致列
故a十3 6分
故S 1乙分
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19.(本题满分17分)
解析;
(1)当a=0时,f(x)是增函数,无极值点 1
当a≠0时, '(x)=e2-2ax,
又因为f(x)有唯一的极值点x等价于f(x)有唯一的变号零点x
令f^(x)=e°-2ax=0,则a1e=2x示 2分
2x 2=2
令g(x)= 则g(x)= e
则g(x)在区间(-o,1)上单调递增,在区间(1+oo)上单调递减 3
当x→-o时,g(x)→-0,x→+0o时,g(x)→0
则当a<0时,直线y=-与g(x)= 二的图象有一个交点,/(x)有唯一的极值点不
所以a的取值范围为(-oo,0) 4分
e
(2)(i)由(1)知a<0,因为x为极值点,所以f(x)=c^-2ax=0,即a
2
e
因为a2x
因为(x)为增函数,且(x)=0,所以xe(-ox),(x)<0,x∈(x+o)
(x)>0,所以(x)在(-0,x)单调递减,在(x,+o)单调递增,又因为(0)=
所以f(x)<(0)=0,又因为x→-o,(x)→+o,所以为e(-的,x),石=0
所以f(x)-x=e" =xoe=x-1 6分
要证:x2x+2
只高证 25+2e"<1(x2一
2x十2 2(x2-x+1
令h(x e,则h(x): 8
2_ (2-x)
则h(x)在(-o,0)上单调递增,h(x)放州市2026年高者第三次楼拟者试·数学参者答量及评分标准第5面(共6面
故不等式xo(ii)由(i)证明过一程知λ(
由(i)知x因为0<∠CB4<π,所以0<∠CB4<工 2分
先证明:%<2x,证明过程如下:
因为2x。所以只需证f(x)>f(2x。)
又因为 (x)=0,只需证:f(2x)<0 3分
即证明:c2*-4ax。2-1<0,即证:e2*-2e°x-1<0
令h(x)=e2*-2e^x-1(x<0),则h(x)=2e*(e*-x- 14分
令s(x)=e*-x-1(x<0),则s'(x)=e*-1<0
所以s(x)在(-o0,0)单调递减,所以s(x)>s(0)=(
所以(x)=2e'(e-x-1)>0,h(x)在(-oo,0)单调递增
所以h(x)因为x<0,所以h(x)=e2*-4ax2-1<0,即x<2x得证 15分
因为x<2x,所以0<-x0因为tan ∠C4B=-1(5) -f(xn)>0,所以0高
因为0<∠CAB所以∠ABC=π-∠C4B-∠CB42
△ABC不可能为直角三角形 1乙分
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