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吉林省实验中学2025-2026学年高一下学期学程性考试（一） 数学试题
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．给出下列命题，正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．已知为实数，若，则与共线
C．的充要条件是且
D．若是不共线的四点，且，则四边形为平行四边形
3．已知向量，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（ ）
A．5 B． C．4 D．3
5．如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（ ）

A． B．
C． D．
6．已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
7．已知向量，满足，，则向量与的夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．函数（，，是常数，且，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
10．的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ）
A． B．若，则的面积为2
C．若，则或3 D．的最小值为
11．在中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．若，，，则
D．若外接圆的半径为2，且，则的最大值为
三、填空题
12．已知点是边长为1的正方形的边上任一点，则的取值范围是________.
13．如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶P处的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度h为________m．
14．如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，，，则_______；若，则的最大值为_______．
四、解答题
15．已知点，，．
(1)若与垂直，求的值；
(2)若三点共线，求的值；
(3)若，求的值．
16．已知向量，，函数.
（1）求的单调增区间；
（2）若函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得函数的图象，且关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围.
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角；
(2)若，的面积为，D为线段中点，求中线的长度．
18．在直角梯形ABCD中，已知，，，，，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且，，．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的值；
(3)求的取值范围．
19．已知直角中，，射线AD，AC三等分，分别交BC于点D、C，且．
(1)若，求的值；
(2)求证：；
(3)求的最小值．
20．我校西门有一条长600米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有120个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，我校科技创新小组的同学们提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．按照同学们的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？
参考答案
1．A
2．D
3．A
4．D
5．A
6．D
7．C
8．B
9．AB
10．ACD
11．AB
12．
13．/
14． / /
15．（1）由，
得： ，，，
由，
得： ，
解得 ：；
（2）由三点共线，
得与共线，
由向量共线坐标： ，
解得 ：；
（3）是与的夹角，又，
，
又，，，
所以 ，由余弦为正得即，
平方整理得，解得 ，舍去大于2的根，
得 .
16．解：（1），令，，解得，
故函数的单调增区间为，；
（2）由题意可知，令，则时，，所以，故当在上时，只需使.
17．（1）由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，因为，所以；
（2）因为，所以，
因为D为线段BC中点，所以，
则.
18（1）当时，，所以，
所以，
，
又，
所以
；
（2）当时，，所以，
所以，
，
因为三点共线，所以存在，使，
又因为三点共线，所以，解得，
所以，所以；
（3）因为，
，
所以，
，
所以，
，
，
由题意知，
所以当时，取到最小值，
当时，，
当时，，
所以当时，取到最大值，
所以的取值范围是.
19．（1）因为，由题意可知，
所以
；
（2）设，在中，
由正弦定理可得，即，
在中，，即，
所以等式左边，
等式右边
因为，
所以，
即成立；
（3）由（2）可知，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
20．停车位相对道路倾斜的角度，
由题意得，
所以，
又，所以，
化简整理得，
又，所以，
所以，
设改造后停车位数量最大值为，过停车位顶点作射线的垂线，垂足为，如图，
则顶点到线段的距离，
由各矩形停车位大小相等，得，
所以，又，
所以，又，
所以，由，
所以，即改造后最大停车位数量为，
所以改造后的停车位比改造前增加个.

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