资源简介

福建龙岩第一中学等校2025-2026学年第二学期期中测试
高二数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是定义在上的可导函数，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知平面的一个法向量为，点为平面上一点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
3.函数的图象在处的切线方程是( )
A. B. C. D.
4.在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.在中国古代数学著作九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.若函数的最小值为，则( )
A. B. C. D.
8.曼哈顿距离或出租车几何是由十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创的术语，是一种使用在几何度量空间的几何学用语例如，在平面上，点和点的曼哈顿距离为若点为圆上一动点，为直线上一动点，设为两点的曼哈顿距离的最小值，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个结论中，正确的是( )
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若，则向量的夹角是钝角
C. 已知，则在上的投影向量的模为
D. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
10.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 在处取得极大值
B. 有两个不同的零点
C.
D. 若在上有解，则
11.如图，在长方形中，，，点，，，是所在边和上的三等分点，将长方形按照图中虚线进行翻折，使得，重合，，重合，，重合，，重合，得到六面体，其直观图如图所示，则( )
A. 该六面体的表面积为
B. 点到平面的距离为
C. 二面角的余弦值为
D. 该六面体内能装下的最大的球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，若，则 ．
13.如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则 ．
14.若对任意的恒成立其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极值．
求实数的值；
求在区间上的值域．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，．
若上有一点，满足，证明：平面平面．
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长为的小正方形后，做成一个无盖的方形盒子，盒子的容积为．
建立关于的函数，并求的最大值
在实际生产中，为控制包装成本，设无盖盒子的容积为，要使得无盖盒子的表面积最小，求截去的小正方形的边长的取值用仅含的式子表示．
18.本小题分
如图，在长方体中，，，，．
若点在底面内，且平面，求点的轨迹长度
若平面截长方体所得的截面交于点，求四边形的面积
在的条件下，已知点在侧面内，且，当直线与平面所成角的正弦值最大时，试探究点的位置．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性．
设函数．
当时，证明：．
若有两个零点，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由求导得，
因为在处取得极值，
所以，解得
经验证，在处取得极值，符合题意．
故．
由可得，
因为，所以当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增．
因为，
且，所以，
故在区间上的值域为．

16.证明：连接，，
由知，为的中点，
，，
又平面，平面，
，
，，平面，
平面，又平面，
平面平面；
解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由，
可得，，，，，，
设平面的法向量为，
，，
则，取，得．
设平面的法向量为，
，，
则，令，得，
设平面与平面的夹角为，
，
平面与平面夹角的余弦值为．

17.解：底边长为，高为，
，
，
，
令，即，解得舍去．
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
可得；
盒子的表面积，
由，得，即，
代入表面积公式得，
则，
令，得，即，解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，表面积最小．
18.解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，
设平面的法向量为，
，，
则，取，则，，即，
因为平面，所以，
取的中点，连接，
则点的轨迹是线段，
连接，，设，
得，，，
由于，，，四点共面，可设，
即，
则，解得
所以，此时，
因为，所以，
又，，所以四边形是菱形，
又，，
所以四边形的面积；
，，设，
则，
设直线与平面所成的角为，
则，，
当时，取得最大值，
则当，即时，直线与平面所成角的正弦值最大，
此时点为上靠近点的三等分点．
19.解：．
当时，恒成立，又，
，故在上单调递增．
当时，令，得，易得当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
证明：当时，．
令，则在上单调递减，
且，
故，即．
当时，；当时，．
在上单调递增，在上单调递减．
，
，且在上单调递减，
，
．
方法一，令，得．
令，则，
化简得．
令，则在上单调递减，又，
在上单调递增，在上单调递减，最大值为，
又，当时，，
，
与有两个交点的充要条件是，
的取值范围为．
方法二最大值分析，极值代换
依题意得，
．
当时，恒成立，在上单调递增，至多一个零点．
当时，令，得，
解得正根为．
此时在上单调递增，在上单调递减，．
由，得，代入得
令，则在上单调递增，且，
，即，
整理得，解得，
的取值范围为．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑