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河南焦作市第十一中学等普通高中2025-2026学年下学期高二期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，若，则( )
A. B. C. D.
2.函数在区间上的平均变化率为( )
A. B. C. D.
3.记为数列的前项和，已知，则( )
A. B.
C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，，四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次第一名至第四名，无并列名次，但未公布，一位评委提供如下信息：不是第四名，，两人名次不相邻，根据上述信息，这人名次排列情况可能的种数为( )
A. B. C. D.
8.已知不经过点的直线：与双曲线：交于，两点，若的角平分线与轴垂直，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导数运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，则( )
A. B.
C. D.
11.已知数列满足，设，的前项和分别为，，则( )
A. B.
C. 当时， D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
13.已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则 ．
14.某市推出“文明出行，平安上学”宣传活动，某宣传志愿者计划利用天到所学校进行宣讲，要求每天至多宣讲两所学校，所学校中相距较远的甲、乙两校不安排在同一天宣讲，则不同的安排方法有 种．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为研究居民体质情况是否与爱好运动有关，现从某地区随机抽取了名居民进行问卷调查，得到如下列联表单位人：
体质情况组别 良好 非良好 合计
爱好运动
不爱好运动
合计
补全上述列联表；
根据小概率值的独立性检验，分析该地区的居民体质情况是否与爱好运动有关．
附：，其中．
16.本小题分
已知椭圆：经过，两点．
求椭圆的标准方程；
过椭圆的左焦点的直线交于，两点，其中点在第二象限内，点在第三象限内，若的面积等于的面积，求．
17.本小题分
已知数列满足．
求，的值；
求数列的通项公式；
记为数列的前项和，令，求使取得最大值时的值．
18.本小题分
如图，矩形中，点，，分别在，，上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面．

证明：平面．
若存在点，使得点到，，，的距离相等．
(ⅰ)求点到平面的距离；
(ⅱ)若点满足，当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
甲、乙两人进行足球点球练习，每人最多点球次，规则如下：甲、乙中先由一人点球，当点不中时，则换成另一人点球，否则一直点球次，再换成另一人点球．已知甲每次点球点不中的概率为，且每次点球结果互不影响．若甲先点球，甲点球次后换为乙点球．
求，；
求的分布列，及；
证明：．
参考答案
1.
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14.
15.解：
体质情况组别 良好 非良好 合计
爱好运动
不爱好运动
合计
假设该地区居民体质情况与爱好运动无关，根据表中数据得，
，
根据小概率值的独立性检验，有充分理由推断假设不成立，
故该地区居民体质情况与爱好运动有关．

16.解：由题意可知，解得，，
故椭圆的标准方程为．
由可知，椭圆的左焦点为，
如图，
因为的面积等于的面积，
所以点，到直线的距离相等，结合图形可知，，则，
所以直线的方程为．
由消去整理得，
解得，
设，，则

17.解：当时，；
当时，，解得．
因为，所以当时，，
两式相减，得，
当时，也满足上式，
所以．
由知，，
因为，所以数列为等差数列，
则，
所以，，
令，解得，，令，解得，，令，得．
所以，
综上可知，取得最大值时的值为或．

18.解：证明：在矩形中，因为，，
所以四边形为正方形，
则，，即，又，
所以平面，则是平面的一个法向量，
同理证得平面，又平面，
所以，即，
又平面，所以平面．
连接，，由知，，且平面，
所以平面，则，
因为平面平面，且，平面平面，
所以平面，又平面，则，
在，中，当为的中点时，点到，，，的距离相等．

(ⅰ)由上知，，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
，．
设平面的法向量为，
，令，则
所以点到平面的距离为．
(ⅱ)由可知，点在以为球心，以为半径的球的球面上，
当，，共线，且位于线段上时，取得最小值．
由坐标系可知，，
，所以，
则，又，
设平面的法向量为，
，令，则，
由知是平面的一个法向量，记为，
于是，故平面与平面夹角的余弦值为．

19.解：，．
表示第次点球不中，前面次点球都中，
所以；
表示前面次点球均中，最后一次要么点中，要么点不中，所以．
所以的分布列为
，
则．
由知，
，
则，
两式相减得，
，
故．

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