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江苏连云港市海滨中学等校2025-2026学年第二学期期中考试
高二数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，项的系数为( )
A. B. C. D.
4.唐老师有语文，数学等本不同学科的练习册，平均分给个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为( )
A. B. C. D.
5.如图，在长方体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
6.已知点，，，在平面内，则值为( )
A. B. C. D.
7.某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若向量，，则下列结论正确的为( )
A. B.
C. D.
10.已知，则( )
A. B.
C. 二项式系数和为 D.
11.已知正方体棱长为，动点满足，则( )
A. 当时，则三棱锥的体积为
B. 当时，直线平面
C. 当时，直线平面
D. 当且时，点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用这个数字，可组成 个数字允许重复的三位数．
13.随着社会经济的不断发展，电子商务平台使人们购物更加方便快捷，假设某电商平台的市场占有率和产品优质率的信息如表：
电商平台 甲 乙 其他市场
占有率
优质产品率
用，，分别表示某网民使用甲、乙、其他电商平台购物，表示买到优质产品，若该网民在市场中随机选择一个电商平台购物，则
14.在正三棱锥中，是的中心，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：用数字作答
；
．
16.本小题分
已知，．
求；
当时，求实数的值．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，是中点．
求证：平面；
求平面与平面所成角的余弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
高考结束后，甲、乙两同学决定各购置一部手机，经了解，目前市场上销售的主流国产手机有：华为、小米、、等；甲从华为、、中挑选，乙从，中挑选，甲、乙二人选择各类型手机的概率如下表：
华为
甲
乙
若甲、乙都选的概率为．
求，的值；
求甲、乙选择不同手机的概率；
某手机市场举办购买手机进行打折活动，活动标准如下表：
手机 华为
补贴金额百元部
记甲、乙两人购手机所获得的补贴和为元，求的分布列．
19.本小题分
对于给定的正整数，记集合，其中元素称为一个维向量特别地，称为零向量设，，，定义加法和数乘：，对一组向量，，，，若存在一组不全为零的实数，，，，使得，则称这组向量线性相关否则，称为线性无关．
对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
，；
，，．
已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．
已知个向量，，，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
如果存在等式，则这些系数，，，或者全为零，或者全不为零；
如果两个等式，同时成立，其中，则．
参考答案
1.
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4.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：原式．
法一直接计算：原式
法二组合数的性质：原式

16.解：因为，，
所以，，
所以
因为，，
所以，
，
因为，所以，
所以，
化简得，，解得或

17.解：证明：如图所示，连接交于点，连接，
由三棱柱的特征可知侧面是平行四边形，则是的中点，
又因为是中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
由已知可得底面，，
如图以为原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，
设平面的一个法向量为，
则
令，则，，
即，
易知是平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，
则，
由图可知，平面与平面所成角为锐二面角，
故平面与平面所成角的余弦值为；
易知，
则点到平面的距离．
18.解：由题表中数据及题意，得，
所以，
又因为，
所以；
设甲、乙选择不同手机为事件，
则；
根据题意，的可能取值为，，，，
则，，，，
所以的分布列为：

19.解：对于，设，则可得，所以，线性相关；
对于，设，则可得
所以，，所以，，线性相关；
设，
则，
因为向量，，线性无关，所以，解得，
所以向量，，线性无关．
，如果某个，，，，，
则，
因为其中任意个都线性无关，所以，，，，，，都等于，
所以这些系数，，，或者全为零，或者全不为零，
因为，所以，，，全不为零，
所以由可得，
代入可得，
所以，
所以，，，所以．

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