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山东济南市2025-2026学年高二年级下学期期中检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.乘积展开后的项数为( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.若的展开式共有项，则含项的系数为( )
A. B. C. D.
4.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.离散型随机变量的分布列为：则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.现安排甲、乙、丙、丁、戊位数学老师负责学校校本课程的授课任务，学校提供数独、数学建模、数学史、解题逻辑四门课程供学生选择，每位老师仅负责一门课程，每门课程至少有位老师负责，已知甲、乙不能讲授数独但能讲授另外三门课程，丙、丁、戊能讲授这四门课程中的任意一门，则不同安排方案的种数是( )
A. B. C. D.
7.已知随机事件、，满足，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数定义域为，为其导函数，且满足对，都有若，则当时，不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知离散型随机变量的分布列为：
且，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则( )
A.
B.
C. 当时，有两个零点
D. 若直线与曲线有两个公共点，则
11.已知，则( )
A.
B. 若，则展开式系数最大的项为第项
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.已知函数在处取得极小值，则的极大值为 ．
14.在数轴上，一个质点从原点出发，每次移动遵循以下规则：如果当前位于点，则向右移动到点的概率为，向左移动到点的概率为规定质点到达点时被吸收不再移动，到达点时也被吸收不再移动设表示质点从点出发，最终被点吸收的概率，规定，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调递减区间；
求函数在上的最值．
16.本小题分
已知．
求；
若，求的值．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
设函数当时，，，满足，求的取值范围．
18.本小题分
将个连续的自然数、、、随机排成一列：、、、记随机变量．
当时，求的分布列和数学期望；
当时，记事件“”，事件“”，求；
已知离散型随机变量的期望具有线性可加性：、、、是个离散型随机变量，则根据这一性质，求结果用表示
参考求和公式
19.本小题分
已知函数，．
当时，证明：；
若恒成立，求的取值范围；
设，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：函数的定义域为，求导得，
由，得，所以函数的单调递减区间为．
，由得函数在上单调递增，在上单调递减，
，，
所以函数的最大值为，最小值为．

16.解：当时，，
当时，，
相加得：，
所以．
由题意知分别为展开式中的系数，
由的二项展开式的通项为：，
所以由，
即，
所以，
即，
所以，解得：．

17.解：函数的定义域为，，
当时，则对任意的，此时函数在上单调递增；
当时，由得，由可得，
此时函数在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
当时，，，满足，则，
因为，由可得，由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，
由可知，当时，若时，即当时，
函数在上单调递增，此时，则，解得，
此时；
当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即，
令，则，故函数在上单调递增，
此时，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．

18.解：当时，如下表所示：
所以的可能取值有、，且，，
所以随机变量的分布列如下表所示：
故．
当时，记事件“”，
满足事件条件的排列的前两项有
，
即，则，
事件“”，满足事件条件的排列的前三项有
，
即，故，
由条件概率公式可得．
令，则，
在所有排列中，对任意相邻的两个位置的数值对的分布都是相同的，
对任意的，，
由于是从、、、中随机选取的两个不同数的有序对，
所有有序实数对的个数为，
接下来只需计算出所有有序实数对对应的的和即可，
由题意可知的可能取值有、、、，
时，满足条件的实数对有、、、、、、，共对，
时，满足条件的实数对有、、、、、、，共对，
，
以此类推可知，满足的实数对共有对，
所以
，
因此．

19.解：当时，，其中
则对任意的恒成立，
此时函数在上为增函数，则，故原不等式得证．
因为对任意的恒成立，
且，
当时，即当时，对任意的恒成立，
所以函数在上为增函数，则，符合题意；
当时，对于函数，，
当时，则，对任意的恒成立，
所以函数在上为增函数，则，符合题意；
当时，则，函数有两个不等的零点、，且，
由韦达定理可得，，所以，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
当时，对任意的，，
即，当且仅当时，等号成立，
取，
则，
即，所以，
令，所以
，
所以，
即，
即，
即，即
即，故．

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