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河南南阳市新未来2025-2026学年高二下学期4月期中测评数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数，则( )
A. B. C. D.
2.函数在区间上的平均变化率为( )
A. B. C. D.
3.要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是( )
A. B. C. D.
4.已知数列为等差数列，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数的导函数为，满足，则( )
A. B. C. D.
6.已知正项数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型其中为自然对数的底数拟合，设，其变换后得到一组数据：
由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为( )
A. B. C. D.
8.记为数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求函数的导数正确的是( )
A. B.
C. D.
10.在一次恶劣天气的飞行航程中，调查男、女乘客在飞机上晕机的情况，得到如下列联表：单位：人，则( )
性别 晕机 合计
晕机者 未晕机者
男
女
合计
附：，其中．
A.
B.
C. 依据小概率值的独立性检验，可以认为在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关
D. 依据小概率值的独立性检验，可以认为在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别无关
11.已知等比数列的各项均为正数，公比为，记数列的前项积为，且，，则下列正确的是( )
A. B.
C. 当时，取最大值 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.某社区居民计划暑假去海南或厦门旅游，经统计得到如下列联表：
去海南旅游 去厦门旅游 合计
老年人
中年人
合计
若依据小概率值的独立性检验认为去海南还是厦门旅游与年龄有关，则正整数的最小值为 ．
参考公式：．
14.已知各项均为正数的等差数列的前项和为，且满足，数列是等差数列，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从岁人群中选取了人，测得他们的身高单位：和体重单位：，得到如下数据：
样本号 均值
身高
体重
若两组变量间的样本相关系数满足，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由精确到；
建立关于的经验回归方程，并预测某同学身高为时，体重的估计值保留整数．
参考数据：，，，，．
参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，．
16.本小题分
已知函数，曲线在点处的切线方程为．
求实数，的值；
若曲线，求曲线过点的切线方程．
17.本小题分
为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对名用户男女用户各占一半进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的．
性别 最佳舒适温度 合计
男
女
合计
完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关；
从样本中的认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取人，求这人中至少有名女性的概率．
附：，．
18.本小题分
已知数列满足；数列的前项和为，且满足，．
求数列的通项公式；
求数列的通项公式；
已知，记的前项和为，求证：．
19.本小题分
对某热敏元件的性能进行实验测量，实验过程如下：共进行次实验，每次实验均测量该热敏元件的两项指标对正整数，在第次实验中，实验仪器显示该次实验中指标的数值，以及前次实验中指标的数值的总和，将，作为第次实验的记录值用次实验中的总和作为该热敏元件性能的度量参数，记该参数为．
证明：；
对每次实验的记录值进行拟合，得到如下结果：．
利用和拟合结果，求数列的通项公式；
判断是递增数列还是递减数列，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：．
因为或，
所以，即身高与体重间是高度相关的；
因为，
所以，
所以体重关于身高的回归方程为，
所以当时，．
即某同学身高为时，体重大概为．

16.解：，，
由于直线的斜率为，且过点，
故，即
解得；
由知曲线：，则，
设切点为，
则切线斜率，
故切线方程为．
由切线过点，则，解得或，
切点为或，
则切线方程为或，
即或．

17.解：依题意可知，女性用户共有人，
认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户有人，
男性用户中认为“最佳舒适温度”不低于的人数为．
列联表如下：
性别 最佳舒适温度 合计
男
女
合计
零假设为：认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别无关．
根据表中的数据，计算得到，
因为，所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，
因此可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别有关；
由得，认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中男性有人，女性有人，
故抽取人至少有名女性的概率为．

18. 证明：，
所以，
令，则，
当时，，
所以，即，
所以数列从第项起是单调递增数列，
所以当时，，
又因为，所以，即，所以，
，
综上，
19.解：由公式可知：
由可得：
令，
则，两式相减得，
，
所以有，则，
即数列的通项公式；
由
当且，恒有，即，
则是递减数列．

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