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浙江省绍兴市新昌县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分．）
1．下列标识中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．计算的值是（　　）
A． B．4 C．6 D．
3． 已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法正确的是（　　）
A．平均数是3 B．中位数是4 C．标准差是 D．方差是3
4．如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．两点之间，线段最短
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．两点确定一条直线
5．若一个多边形的内角和等于其外角和，则这个多边形的边数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6． 已知点A在反比例函数图象上，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则反比例函数的表达式为（　　）
A． B．
C． D．或
7．用反证法证明“如果，那么”时，应先假设（　　）
A． B． C． D．
8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（　　）
A． B． C． D．
9．关于x的一元二次方程没有实数根，则系数a，c可能满足（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，矩形周长为8，且．连接，将沿折叠得，交于点P，作，交于点G．下列说法中正确的有（　　）
①；②的周长为定值4；③一定是等边三角形；④当变大时，也变大．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．）
11．若 有意义，则x的取值范围是　 　
12．已知，在中，，则　 　度．
13．某高中美术自主招生考试的综合成绩由专业成绩和面试成绩两部分组成，所占比例分别为和．小王的专业成绩是90分，面试成绩是80分，则小王的综合成绩是　 　分．
14．如图，的面积是32，点E，G在上，点F，H在上，且，，点M，N在上，点P在上，则阴影部分的面积是　 　．
15．正比例函数与反比例函数的图象相交于点A，B两点，若点B的横坐标为2，则当时，x的取值范围是　 　．
16．如图，在矩形中，，E，F分别为，的中点，连结，，取，的中点M，N，连结，则的长为　 　．
三、解答题（本大题有8小题，第17~21题每题8分，第22~23题每题10分，第24题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）
17．计算：
（1）；
（2）．
18． 解方程：
（1）
（2）
19．在下面的正方形网格中，按要求用无刻度的直尺作图，且所作图形的顶点均在格点上．
（1）在图1中，作一个以为对角线的矩形．
（2）在图2中，作一个以为边，且面积为15的平行四边形．
20．学校要进行普法宣传比赛，某班选出甲、乙两名学生参加法制知识大比拼（满分100分），并对10次成绩进行整理分析，得到如下图表信息：
平均数/分 众数/分 中位数/分
甲成绩 85.5 80 n
乙成绩 85.5 m 86
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：______，______．
（2）甲、乙两名学生成绩的方差分别为，请判断______（填“>”“<”或“=”）．
（3）根据（1），（2）两题的结果和折线统计图，你认为选择哪个同学参赛最合适？请说明理由．
21．某实验兴趣小组用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，液体的密度（单位：）与其浸在液体中的高度h（单位：）成一定的函数关系，经过实验获得两个变量h，的一组对应值如下表：
h 2 4 5 8
8 5 4
（1）在给定的坐标系中画出相应函数的图象，并求出密度（单位：）关于高度h（单位：cm）的函数表达式．
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，，求这种液体的密度．
22．如图，在正方形中，G是对角线上的一点（不与点B，D重合），过点G作，分别交于点E，F．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，求的长．
23． 某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘.该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克.
（1） 求该农户这一天销售西瓜的总收入.
（2） 为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克.已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？
24．如图，在中，对角线与相交于点O，其中，，过点A作于点E．
（1）若，求边的长．
（2）在第（1）小题的条件下，点F为线段上的动点，连结，，当的面积为时，求线段的长．
（3）设，当x，y值变化时，代数式的值是否发生变化？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，故本选项错误；
B、该图形是中心对称图形，故本选项正确；
C、该图形不是中心对称图形，故本选项错误；
D、该图形不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握中心图形得定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据定义将选项一一进行分析，即可求解．
2．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，运用的是平方差公式．利用平方差公式平方差：(a+b)(a b)=a2 b2直接计算即可．
3．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；标准差
【解析】【解答】解：平均数：，
1，2，3，4，5，
中位数：3，
方差：，
标准差：，
故答案为：A.
【分析】分别计算出平均数，中位数，方差，标准差即可得出结论.
4．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形．
故选：C ．
【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据：对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断．BC与本题无关，A对角线相等的四边形不能判断是否为矩形，也不符合题意。
5．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和是360度，
∴这个多边形是四边形．
故答案为：B．
【分析】根据多边形的内角和公式和外交和列出方程求解即可。
6．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为：
设P点为(a，b)，
∵点P是反比例函数图象上一点，点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∴A(4，3)，(-4，3)，(-4，-3)，(4，-3).
把a点代入函数解析式
得k=±12，
故答案为：D.
【分析】根据点A到坐标轴的距离确定其坐标，再代入反比例函数解析式求k的值，从而确定正确选项.
7．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：原命题为“若，则”，
根据反证法，需假设结论不成立，“”，
则用反证法证明“如果，那么”时，应先假设“”．
故选：A．
【分析】本题考查命题，了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，需要在原命题的条件下，结论不成立 ，即 ．
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：根据题意得，，，
∵，
，
设，则
，
．
故选：B．
【分析】根据全等三角形的得对应边相等，得到，，又，得到BG=2BF，因为FG=BGBF，推出，设，则，得到BC=，求出．
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于方程，其判别式为：
当方程无实数根时，需满足，即：
此不等式成立的条件是 与 符号相反，
若 ，则需，即，
若，则需，即，
则只有D选项满足第一种情况，此时，符合题意．
故选： D．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程没有实数根，判别式．即： ．
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在矩形中，，，，
∵矩形周长为8，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由折叠可知，，
∵
∴，则
∴，
则的周长，故②正确；
无法证明为等边三角形，故③错误；
∵，，
在中，，
整理得：，
∴当变大时，也变大，故④正确，
综上，正确的有①②④，
故选：B．
【分析】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定.
①根据矩形的性质可得，再结合，可得，进而判断①正确；
②连接，令与交于点，再证，可证得则的周长 ，进而判断②正确；
③无法证明是等边三角形，进而判断③错误；
④由题意得 ，，则在中，，整理得，进而判断④正确．
综上，正确的有①②④.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： .
故答案为： .
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．【答案】110
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
．
故答案为：110．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角相等可得．
13．【答案】86
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得：分，
故答案为：86．
【分析】本题考查的是加权平均数的求法．根据加权平均数的计算公式列出算式 90 ×+ 80 ×，计算即可．
14．【答案】16
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴四边形，四边形，四边形是平行四边形，
∴，，，
∴阴影部分的面积
，
故答案为：16．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的计算，根据平行四边形的性质，得到四边形，四边形，四边形是平行四边形，三角形的面积可得阴影部分的面积=，代入计算，可得到结论．
15．【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都是以原点为中心的中心对称图形，
∴它们的交点A、B关于原点成中心对称，
∵点B的横坐标为2，
∴点A的横坐标为，
如图，
由图知，当或时，正比例函数图象位于反比例函数图象的上方，
∴当时，x的取值范围是或，
故答案为：或．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题．根据已知条件，画出两个函数的草图，找到正比例函数图象位于反比例函数图象的上方部分的点的横坐标的取值范围或．
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，延长交于点P，如图所示：
在矩形中，，，
∴，，，
∵点E，F分别为，的中点，
∴，，，
∴，，
∵点N是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵点M是的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．
故应填：．
【分析】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，中位线，勾股定理．连接，延长交于点P，根据矩形及已知条件得，，，，进而可证明，得，，则，再由勾股定理得，证明是的中位线，然后根据三角形的中位线定理即可得出．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式，即可得答案；
（2）先算乘法并化简二次根式，得，再合并同类二次根式即可得答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：，
或，
，；
（2）解：，，，
，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用因式分解即可求解；
(2)利用公式法即可求解.
19．【答案】（1）解：如图1，四边形是矩形，即为所求；

（2）解：如图2，或均符合要求．

【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定，矩形的判定和性质．
（1）过点A作竖直方向的格点线段AC，过点B作水平方向的格点线段BD；过点C作水平格线、过点D作竖直格线，两线交于一点，围成四边形ACBD；
（2）平行四边形中：底=，已知图中高=5，计算得底=3.在网格中，沿水平方向，在点A左侧、右侧分别取距离为3的格点D1，D2，在点B左侧、右侧分别取距离为3的格点C1，C2，分别按顺序连接A、D1 、C1、B，C2、D2 、A，得到两个平行四边形AD1C1B、AD2C2B．
（1）解：如图1，四边形是矩形，即为所求；
（2）解：如图2，或均符合要求．
20．【答案】（1）85；87
（2）
（3）选甲：甲的中位数为87，乙的中位数是86，所以10次成绩中间分数甲比乙高且甲最高分是99，潜力大．
选乙：平均分一样．乙的众数高于甲，且乙的方差小于甲，成绩更加稳定．
【知识点】中位数；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：在乙的10次成绩中，85出现的次数最多，故众数；
把甲的10次成绩从小到大排列，排在第5和第6个数分别是86，88，故中位数，
故答案为：85；87；
（2）解：由折线统计图可知，甲的10次成绩的波比乙大，
所以
故答案为：；
【分析】本题考查了中位数、众数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）根据众数（一组数据中出现次数最多的数据）、中位数（把数据从小到大排列后，位于中间位置的数，数据个数偶数时取中间两个数的平均数）的定义，找出对应数据即可；
（2）根据方差的意义： 方差越小，代表数据的波动越小，数据越稳定；方差越大，数据波动越大，数据越不稳定。解答即可；
（3）根据中位数，众数、方差和平均数的定义分析，不管选择哪个，理由合理即可．
（1）解：在乙的10次成绩中，85出现的次数最多，故众数；
把甲的10次成绩从小到大排列，排在第5和第6个数分别是86，88，故中位数，
故答案为：85；87；
（2）解：由折线统计图可知，甲的10次成绩的波比乙大，
所以
故答案为：；
（3）解：选甲：甲的中位数为87，乙的中位数是86，所以10次成绩中间分数甲比乙高且甲最高分是99，潜力大；
选乙：平均分一样，乙的众数高于甲，且乙的方差小于甲，成绩更加稳定．（答案不唯一）．
21．【答案】（1）解：如图所示．
根据图象形状选择反比例函数模型进行尝试．设它的函数关系式为；选点的坐标代入得，解得．
所以．
（2）解：当时，．
答：这种液体密度．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】此题考查了反比例函数的应用，准确求出反比例函数解析式是关键．
（1）利用描点连线作出函数图象，再利用待定系数法求出．得到函数解析式；
（2）求出当时的函数值，．
（1）解：如图所示．
根据图象形状选择反比例函数模型进行尝试．设它的函数关系式为；选点的坐标代入得，解得．
所以．
将其它各点代入验算，均成立．
（2）解：当时，．
答：这种液体密度．
22．【答案】（1）证明：∵，∴四边形是平行四边形．
∵在正方形中，，
∴是矩形．
（2）解：如图，延长交于点H，
在正方形中，，
∵，
∴四边形是矩形，是等腰直角三角形．
∴，
∴矩形是正方形．
∴，
在中，．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；正方形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，再由正方形的性质得到，则可证明是矩形；
（2）延长交于点H，，则四边形是矩形，可证明是等腰直角三角形．得到，则矩形是正方形，据此可求出，再利用勾股定理，得．
（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形．
∵在正方形中，，
∴是矩形．
（2）解：如图，延长交于点H，
在正方形中，，
∵，
∴四边形是矩形，是等腰直角三角形．
∴，
∴矩形是正方形．
∴，
在中，．
23．【答案】（1）解： (元)
答：该农户这天销售的总收入为4000元.
（2）解：设在县城销售的单价降价x元，则由题意得：
当时，销售量为；
当时，销售量为，
因为要扩大销售，故x=3.
答：在县城内销售单价应该降价3元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)需分别计算县城和农田的销售收入再相加；
(2)需通过降价后的销量和单价建立方程求降价金额.
24．【答案】（1）解：在中，，∴为菱形，
∴，
∴在中，；
（2）解：在菱形中，由（1）得，，∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴边上的高为1，
分以下两种情况：
①当点F在左侧，此时点F与点B重合时满足条件，即，
②当点F在右侧，如图1，过点C作的平行线，交于点，点为满足要求的点，
∴，
∴，
设，则，
在中有，
∴，
解得：，
综上所述，或；
（3）解：不变，理由如下：如图：过点D作延长线的垂线，垂足为点H，
在中，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
由，得，
∴即．
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据菱形的判定定理对角线互相垂直平分得平行四边形为菱形得到为菱形，根据菱形的性质得到，再根据勾股定理求的长；
（2）由（1）得，，推出 是等边三角形，求得，根据三角形的面积得到边上的高为1，分两种情况讨论：①当点F在左侧，此时点F与点B重合时满足条件，即；②当点F在右侧，如图，过点C作的平行线，交于点，点为满足要求的点，求得，即，设，则，根据勾股定理得，即可得或；
（3）如图，过点D作延长线的垂线，垂足为点H，在中，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到．解得.
（1）解：在中，，
∴为菱形，
∴，
∴在中，；
（2）解：在菱形中，由（1）得，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴边上的高为1，
分以下两种情况：
①当点F在左侧，此时点F与点B重合时满足条件，即，
②当点F在右侧，如图1，过点C作的平行线，交于点，点为满足要求的点，
∴，
∴，
设，则，
在中有，
∴，
解得：，
综上所述，或；
（3）解：不变，理由如下：
如图：过点D作延长线的垂线，垂足为点H，
在中，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
由，得，
∴即．
1 / 1浙江省绍兴市新昌县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分．）
1．下列标识中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，故本选项错误；
B、该图形是中心对称图形，故本选项正确；
C、该图形不是中心对称图形，故本选项错误；
D、该图形不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握中心图形得定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据定义将选项一一进行分析，即可求解．
2．计算的值是（　　）
A． B．4 C．6 D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，运用的是平方差公式．利用平方差公式平方差：(a+b)(a b)=a2 b2直接计算即可．
3． 已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法正确的是（　　）
A．平均数是3 B．中位数是4 C．标准差是 D．方差是3
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；标准差
【解析】【解答】解：平均数：，
1，2，3，4，5，
中位数：3，
方差：，
标准差：，
故答案为：A.
【分析】分别计算出平均数，中位数，方差，标准差即可得出结论.
4．如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．两点之间，线段最短
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．两点确定一条直线
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形．
故选：C ．
【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据：对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断．BC与本题无关，A对角线相等的四边形不能判断是否为矩形，也不符合题意。
5．若一个多边形的内角和等于其外角和，则这个多边形的边数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和是360度，
∴这个多边形是四边形．
故答案为：B．
【分析】根据多边形的内角和公式和外交和列出方程求解即可。
6． 已知点A在反比例函数图象上，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则反比例函数的表达式为（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为：
设P点为(a，b)，
∵点P是反比例函数图象上一点，点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∴A(4，3)，(-4，3)，(-4，-3)，(4，-3).
把a点代入函数解析式
得k=±12，
故答案为：D.
【分析】根据点A到坐标轴的距离确定其坐标，再代入反比例函数解析式求k的值，从而确定正确选项.
7．用反证法证明“如果，那么”时，应先假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：原命题为“若，则”，
根据反证法，需假设结论不成立，“”，
则用反证法证明“如果，那么”时，应先假设“”．
故选：A．
【分析】本题考查命题，了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，需要在原命题的条件下，结论不成立 ，即 ．
8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：根据题意得，，，
∵，
，
设，则
，
．
故选：B．
【分析】根据全等三角形的得对应边相等，得到，，又，得到BG=2BF，因为FG=BGBF，推出，设，则，得到BC=，求出．
9．关于x的一元二次方程没有实数根，则系数a，c可能满足（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于方程，其判别式为：
当方程无实数根时，需满足，即：
此不等式成立的条件是 与 符号相反，
若 ，则需，即，
若，则需，即，
则只有D选项满足第一种情况，此时，符合题意．
故选： D．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程没有实数根，判别式．即： ．
10．如图，矩形周长为8，且．连接，将沿折叠得，交于点P，作，交于点G．下列说法中正确的有（　　）
①；②的周长为定值4；③一定是等边三角形；④当变大时，也变大．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在矩形中，，，，
∵矩形周长为8，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由折叠可知，，
∵
∴，则
∴，
则的周长，故②正确；
无法证明为等边三角形，故③错误；
∵，，
在中，，
整理得：，
∴当变大时，也变大，故④正确，
综上，正确的有①②④，
故选：B．
【分析】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定.
①根据矩形的性质可得，再结合，可得，进而判断①正确；
②连接，令与交于点，再证，可证得则的周长 ，进而判断②正确；
③无法证明是等边三角形，进而判断③错误；
④由题意得 ，，则在中，，整理得，进而判断④正确．
综上，正确的有①②④.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．）
11．若 有意义，则x的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： .
故答案为： .
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．已知，在中，，则　 　度．
【答案】110
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
．
故答案为：110．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角相等可得．
13．某高中美术自主招生考试的综合成绩由专业成绩和面试成绩两部分组成，所占比例分别为和．小王的专业成绩是90分，面试成绩是80分，则小王的综合成绩是　 　分．
【答案】86
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得：分，
故答案为：86．
【分析】本题考查的是加权平均数的求法．根据加权平均数的计算公式列出算式 90 ×+ 80 ×，计算即可．
14．如图，的面积是32，点E，G在上，点F，H在上，且，，点M，N在上，点P在上，则阴影部分的面积是　 　．
【答案】16
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴四边形，四边形，四边形是平行四边形，
∴，，，
∴阴影部分的面积
，
故答案为：16．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的计算，根据平行四边形的性质，得到四边形，四边形，四边形是平行四边形，三角形的面积可得阴影部分的面积=，代入计算，可得到结论．
15．正比例函数与反比例函数的图象相交于点A，B两点，若点B的横坐标为2，则当时，x的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都是以原点为中心的中心对称图形，
∴它们的交点A、B关于原点成中心对称，
∵点B的横坐标为2，
∴点A的横坐标为，
如图，
由图知，当或时，正比例函数图象位于反比例函数图象的上方，
∴当时，x的取值范围是或，
故答案为：或．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题．根据已知条件，画出两个函数的草图，找到正比例函数图象位于反比例函数图象的上方部分的点的横坐标的取值范围或．
16．如图，在矩形中，，E，F分别为，的中点，连结，，取，的中点M，N，连结，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，延长交于点P，如图所示：
在矩形中，，，
∴，，，
∵点E，F分别为，的中点，
∴，，，
∴，，
∵点N是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵点M是的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．
故应填：．
【分析】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，中位线，勾股定理．连接，延长交于点P，根据矩形及已知条件得，，，，进而可证明，得，，则，再由勾股定理得，证明是的中位线，然后根据三角形的中位线定理即可得出．
三、解答题（本大题有8小题，第17~21题每题8分，第22~23题每题10分，第24题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式，即可得答案；
（2）先算乘法并化简二次根式，得，再合并同类二次根式即可得答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
18． 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
或，
，；
（2）解：，，，
，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用因式分解即可求解；
(2)利用公式法即可求解.
19．在下面的正方形网格中，按要求用无刻度的直尺作图，且所作图形的顶点均在格点上．
（1）在图1中，作一个以为对角线的矩形．
（2）在图2中，作一个以为边，且面积为15的平行四边形．
【答案】（1）解：如图1，四边形是矩形，即为所求；

（2）解：如图2，或均符合要求．

【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定，矩形的判定和性质．
（1）过点A作竖直方向的格点线段AC，过点B作水平方向的格点线段BD；过点C作水平格线、过点D作竖直格线，两线交于一点，围成四边形ACBD；
（2）平行四边形中：底=，已知图中高=5，计算得底=3.在网格中，沿水平方向，在点A左侧、右侧分别取距离为3的格点D1，D2，在点B左侧、右侧分别取距离为3的格点C1，C2，分别按顺序连接A、D1 、C1、B，C2、D2 、A，得到两个平行四边形AD1C1B、AD2C2B．
（1）解：如图1，四边形是矩形，即为所求；
（2）解：如图2，或均符合要求．
20．学校要进行普法宣传比赛，某班选出甲、乙两名学生参加法制知识大比拼（满分100分），并对10次成绩进行整理分析，得到如下图表信息：
平均数/分 众数/分 中位数/分
甲成绩 85.5 80 n
乙成绩 85.5 m 86
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：______，______．
（2）甲、乙两名学生成绩的方差分别为，请判断______（填“>”“<”或“=”）．
（3）根据（1），（2）两题的结果和折线统计图，你认为选择哪个同学参赛最合适？请说明理由．
【答案】（1）85；87
（2）
（3）选甲：甲的中位数为87，乙的中位数是86，所以10次成绩中间分数甲比乙高且甲最高分是99，潜力大．
选乙：平均分一样．乙的众数高于甲，且乙的方差小于甲，成绩更加稳定．
【知识点】中位数；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：在乙的10次成绩中，85出现的次数最多，故众数；
把甲的10次成绩从小到大排列，排在第5和第6个数分别是86，88，故中位数，
故答案为：85；87；
（2）解：由折线统计图可知，甲的10次成绩的波比乙大，
所以
故答案为：；
【分析】本题考查了中位数、众数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）根据众数（一组数据中出现次数最多的数据）、中位数（把数据从小到大排列后，位于中间位置的数，数据个数偶数时取中间两个数的平均数）的定义，找出对应数据即可；
（2）根据方差的意义： 方差越小，代表数据的波动越小，数据越稳定；方差越大，数据波动越大，数据越不稳定。解答即可；
（3）根据中位数，众数、方差和平均数的定义分析，不管选择哪个，理由合理即可．
（1）解：在乙的10次成绩中，85出现的次数最多，故众数；
把甲的10次成绩从小到大排列，排在第5和第6个数分别是86，88，故中位数，
故答案为：85；87；
（2）解：由折线统计图可知，甲的10次成绩的波比乙大，
所以
故答案为：；
（3）解：选甲：甲的中位数为87，乙的中位数是86，所以10次成绩中间分数甲比乙高且甲最高分是99，潜力大；
选乙：平均分一样，乙的众数高于甲，且乙的方差小于甲，成绩更加稳定．（答案不唯一）．
21．某实验兴趣小组用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，液体的密度（单位：）与其浸在液体中的高度h（单位：）成一定的函数关系，经过实验获得两个变量h，的一组对应值如下表：
h 2 4 5 8
8 5 4
（1）在给定的坐标系中画出相应函数的图象，并求出密度（单位：）关于高度h（单位：cm）的函数表达式．
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，，求这种液体的密度．
【答案】（1）解：如图所示．
根据图象形状选择反比例函数模型进行尝试．设它的函数关系式为；选点的坐标代入得，解得．
所以．
（2）解：当时，．
答：这种液体密度．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】此题考查了反比例函数的应用，准确求出反比例函数解析式是关键．
（1）利用描点连线作出函数图象，再利用待定系数法求出．得到函数解析式；
（2）求出当时的函数值，．
（1）解：如图所示．
根据图象形状选择反比例函数模型进行尝试．设它的函数关系式为；选点的坐标代入得，解得．
所以．
将其它各点代入验算，均成立．
（2）解：当时，．
答：这种液体密度．
22．如图，在正方形中，G是对角线上的一点（不与点B，D重合），过点G作，分别交于点E，F．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，∴四边形是平行四边形．
∵在正方形中，，
∴是矩形．
（2）解：如图，延长交于点H，
在正方形中，，
∵，
∴四边形是矩形，是等腰直角三角形．
∴，
∴矩形是正方形．
∴，
在中，．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；正方形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，再由正方形的性质得到，则可证明是矩形；
（2）延长交于点H，，则四边形是矩形，可证明是等腰直角三角形．得到，则矩形是正方形，据此可求出，再利用勾股定理，得．
（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形．
∵在正方形中，，
∴是矩形．
（2）解：如图，延长交于点H，
在正方形中，，
∵，
∴四边形是矩形，是等腰直角三角形．
∴，
∴矩形是正方形．
∴，
在中，．
23． 某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘.该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克.
（1） 求该农户这一天销售西瓜的总收入.
（2） 为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克.已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？
【答案】（1）解： (元)
答：该农户这天销售的总收入为4000元.
（2）解：设在县城销售的单价降价x元，则由题意得：
当时，销售量为；
当时，销售量为，
因为要扩大销售，故x=3.
答：在县城内销售单价应该降价3元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)需分别计算县城和农田的销售收入再相加；
(2)需通过降价后的销量和单价建立方程求降价金额.
24．如图，在中，对角线与相交于点O，其中，，过点A作于点E．
（1）若，求边的长．
（2）在第（1）小题的条件下，点F为线段上的动点，连结，，当的面积为时，求线段的长．
（3）设，当x，y值变化时，代数式的值是否发生变化？请说明理由．
【答案】（1）解：在中，，∴为菱形，
∴，
∴在中，；
（2）解：在菱形中，由（1）得，，∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴边上的高为1，
分以下两种情况：
①当点F在左侧，此时点F与点B重合时满足条件，即，
②当点F在右侧，如图1，过点C作的平行线，交于点，点为满足要求的点，
∴，
∴，
设，则，
在中有，
∴，
解得：，
综上所述，或；
（3）解：不变，理由如下：如图：过点D作延长线的垂线，垂足为点H，
在中，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
由，得，
∴即．
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据菱形的判定定理对角线互相垂直平分得平行四边形为菱形得到为菱形，根据菱形的性质得到，再根据勾股定理求的长；
（2）由（1）得，，推出 是等边三角形，求得，根据三角形的面积得到边上的高为1，分两种情况讨论：①当点F在左侧，此时点F与点B重合时满足条件，即；②当点F在右侧，如图，过点C作的平行线，交于点，点为满足要求的点，求得，即，设，则，根据勾股定理得，即可得或；
（3）如图，过点D作延长线的垂线，垂足为点H，在中，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到．解得.
（1）解：在中，，
∴为菱形，
∴，
∴在中，；
（2）解：在菱形中，由（1）得，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴边上的高为1，
分以下两种情况：
①当点F在左侧，此时点F与点B重合时满足条件，即，
②当点F在右侧，如图1，过点C作的平行线，交于点，点为满足要求的点，
∴，
∴，
设，则，
在中有，
∴，
解得：，
综上所述，或；
（3）解：不变，理由如下：
如图：过点D作延长线的垂线，垂足为点H，
在中，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
由，得，
∴即．
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