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浙江杭州市惠兴中学2025-2026学年九年级下学期阶段性练习（3月）数学
一、选择题（每题3分，共30分）
1．2026 的倒数是(　　)
A．2026 B．-2026 C． D．
2．根据温州市统计局发布的《2024年温州市人口主要数据公报》，鹿城区常住人口总量达985.2万人，则985.2万用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3． 解分式方程时，去分母正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．某班组织了一场知识竞赛，其中参赛的6名同学得分分别为：72，75，80，78，82，76，则这组数据的中位数是（　　）
A．76 B．77 C．78 D．80
5． 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，四边形的周长是1，则四边形的周长是（　　）
A．1 B．3 C．9 D．27
6． 如图，手电筒的灯泡距离地面的高度为，灯泡照亮范围的横截面是，且，，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径为（　　）
A． B． C． D．
7．反比例函数的图象上有两点．下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
8． 如图，在中，过点作的平分线的垂线，垂足为，点为的中点，连结交于点．若，，则的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
9． 如果，，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
10． 如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上（如图3），给出四个结论：
①的长为10；②的周长为18；③；④的长为5，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题3分，共18分）
11．分解因式：x2-16= 　 　.
12．说明命题“若x>－4，则x2>16”是假命题的一个反例可以是　 　.
13． 已知方程组的解满足，则的值为　 　．
14． 已知一个圆锥的底面直径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是　 　．
15．已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=4，tan∠CBD=，则AB=　　 　 　，sin∠ABE=　　 　 　．
16． 如图，已知，，，，点D在所在直线上运动，以为边作等边三角形，则　 　．在点D运动过程中，的最小值　 　．
三、解答题（共72分）
17． 计算：．
18．解方程：．
19． 为了解我县初中在校生的课外阅读情况，现从中随机抽取部分学生分为“：每天阅读1小时以上”“：每天阅读小时”“：每天阅读小时以下”“：从不阅读”四类，绘制了如下扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出)．
（1）本次调查共抽取　 　名学生；扇形统计图中“类”所对应的圆心角度数为　 　
（2）补全条形统计图；
（3）若从此次调查抽取的样本中，随机抽取1名学生做进一步访谈，恰好抽到“每天阅读1小时以上”的学生的概率是多少？
20． 如图，在中，，于点，为边上的中线．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求点到的距离．
21． 点和点是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，并且一次函数的图象与坐标轴分别交于点和点．
（1）求点和点的坐标；
（2）求一次函数的表达式；
（3）直接写出当时自变量的取值范围．
22． 如图，是正方形对角线，的交点，平分，交于点，于点，分别交，于点，．
（1）证明；
（2）是等腰三角形吗？请说明理由；
23． 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）当时，求抛物线与轴的交点坐标；
（2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的的取值范围；
（3）已知和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围．
24． 如图1，等腰中，，，点为边上的动点，连接，过点作的垂线，交的外接圆于点．
（1）求证：；
（2）如图2，作直径，交于点，连接；
①若四边形中的一组对边比为，求的长；
②记的面积为，的面积为，当时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：2026的倒数是，
故答案为：C.
【分析】根据倒数的概念即可求解.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：985.2×10=9.852×
故答案为：B.
【分析】
根据科学记数法，将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n表示整数.
3．【答案】C
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
整理得，
等式两边同时乘以去分母得，，
整理得，，
故选：C ．
【分析】方程两边同时乘以，去分母解答即可.
4．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：72，75，80，78，82，76，重新排序为：72，75，76， 78，80，82，
即这组数据的中位数是，
故选：B.
【分析】将一组数据按照从小到大排列，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数．据此解答即可．
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，．
∴．
∴．
∴四边形的周长∶四边形的周长．
∵四边形的周长为1，
∴四边形的周长为3．
故选：B．
【分析】根据位似图形可得四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，，即可得到，然后根据相似多边形的周长比等于相似比解答即可．
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质可得BC=2BD，∠BAD=44°，然后根据正切的定义解答即可．
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：在反比例函数中，∵-1＜0，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限，y随x的增大而增大， 当x<0时，y>0，当x>0时，y<0，
A、当t>0时，t+2>2，x1＜x2＜0，故原选项正确，符合题意；
B、当-2C、当-2D、当t<-2时，t+2<0，0故答案为：A.
【分析】反比例函数中，当k＜0时，反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限，y随x的增大而增大， 当x<0时，y>0，当x>0时，y<0；当k＞0时，反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限，y随x的增大而减小， 当x<0时，y＜0，当x>0时，y＞0，据此结合各个选项给出的t的取值范围，判断出t-2的范围，进而根据函数的增减性，逐一判断即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，分别延长、交于，
过点作的平分线的垂线，垂足为，
，，而，
，
，，
∴点D是的中点，
而，，
，
点为的中点，
，
∴，
∴，
∴，
∴点F是的中点，
为的中位线，
．
故选：B．
【分析】分别延长、交于，然根据ASA得到，然后根据三角形的中位线得到DE∥AG，即可得到△CFD∽△CBG，再根据对应边成比例解答即可．
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【解答】解：∵关于对称轴对称，
，
∴，且在对称轴左侧，在对称轴右侧，
令，则，
∴抛物线与轴交点为，抛物线对称轴为直线，
∴此交点关于对称轴的对称点为，
∵且，，
∴，
解得：，
当都在对称轴左边时，
∵，
∴，
解得：，
∴，
当分别在对称轴两侧时，
∵，
∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，或．
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的对称性得到，根据抛物线与轴交点，则交点关于对称轴的对称点为，即可得到m>4；然后分为都在对称轴左边时，分别在对称轴两侧时，列不等式计算即可．
10．【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过点作，分别交、于点、，
四边形为矩形，
，，
由折叠可得，且，
四边形为正方形，
，故①正确；
，
和为等腰直角三角形，且，
设，则，，，
又由折叠的可知，
在中，由勾股定理可得，
即，解得，
，，，
又，
，
，
，
，
，即，
，，故④正确；
，
又和为等腰直角三角形，且，，
，，
的周长，
，
故②③不正确；正确；
综上可知正确的为①④，共2个．
【分析】过点作，交、于点、，根据正方形的性质求出的长判断①，得到和为等腰三角形，设，进而表示、、，根据折叠可得，在中根据勾股定理求出的值，再推理得到，根据对应边成比例求出、和，即可得到长判断②③④解答即可．
11．【答案】（x-4）（x+4）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x-4）（x+4）
故答案为（x-4）（x+4）
【分析】由平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”可得原式=（x-4）（x+4）.
12．【答案】x=-3，答案不唯一
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】说明命题“x＞-4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是x=-3．
故答案为-3．
【分析】因为-3＞-4，而（-3）2=9＜16，据此即得.
13．【答案】-1
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
得：，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：-1.
【分析】两方程相加得到，即可得到-4k=4，解出k的值即可.
14．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的底面周长为，
∴侧面积为，
故答案为：．
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
15．【答案】；
【知识点】菱形的性质
【解析】解：（1）连接AC，AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=BD=2，
∵Rt△BOC中，tan∠CBD=，
∴OC=1，
∴AB=BC==，
故答案为：；
（2）∵AE⊥BC，
∴S菱形ABCD=BC AE=BD AC，
∵AC=2OC=2，
∴AE=×2×4，
∴AE=，
∴sin∠ABE==．
故答案为：．
【分析】（1）首先连接AC，AC与BD相交于点O，由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，BO=BD=2，又由tan∠CBD=，可求得OC的长，然后由勾股定理求得边AB的长；
（2）由AE⊥BC，利用S菱形ABCD=BC AE=BD AC，即可求得AE的长，继而求得∠ABE的正弦值．
16．【答案】2；
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：以为边作等边，并作，垂足为点H，连接，如图：
，，，，
∴，
∴，，即，
∴，，
∵都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴最小即是最小，
∴当时，最小，此时，
∴四边形是矩形，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：2，．
【分析】以为边作等边，作于点H，连接，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出，，再根据“”得到，即可得到，进而可知最小即是最小，此时，解答即可．
17．【答案】解：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算乘方、立方根、零次幂和负整数次幂，然后加减解答即可.
18．【答案】解：方程两边同乘以，得：
化简得：，
解得．
经检验，是原方程的根．
∴原方程的解为．

【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以，把分式方程转化为整式方程，解方程求出x的值然后检验解答即可．
19．【答案】（1）；
（2）解：∵类占总人数的，
∴类人数为人，
在条形统计图中，补全类对应的条形如图；
（3）解：“每天阅读1小时以上”的学生占总人数的，
∴恰好抽到“每天阅读1小时以上”的学生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）从条形图和扇形图可以得到类有人，占总人数的，
∴总人数为名；
∵类占总人数的，
∴扇形统计图中“类”所对应的圆心角度数为；
故答案为：；．
【分析】（1）通过类学生的人数和占比求出考查总人数，再根据“类圆心角类人数占比”得到圆心角的度数；
（2）利用总人数乘以类人数占比得到类人数，补全条形统计图即可；
（3）利用概率公式计算即可．
20．【答案】（1）解：，
，
为边上的中线，
，
，
，
，
、，
；
（2）解：由（1）知，
，
设，则，
、，
，
，
即，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即点到的距离为．

【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质得到，即可得到，进而求出∠BAD的度数，再根据同角的余角相等解答即可；
（2）根据正切的定义设，则，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出AC长，根据勾股定理求出长，再根据三角形的面积公式计算即可．
21．【答案】（1）解：∵点和点是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
，
，
（2）解：依题意，将代入中，
得，
解得：，
∴一次函数的表达式为：
（3）解：或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）观察图象，在第一象限，且在点左侧和点右侧时，满足，
当 时，即，，
∴当时，自变量的取值范围为或．
故答案为：或.
【分析】（1）把，代入反比例函数解析式，求出m、n的值；
（2）利用待定系数法求一次函数解析式；
（3）借助函数的额图象，得到直线在双曲线下方，且两图像刚都在x轴上方的自变量x的取值范围即可．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
∵平分，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即是等腰三角形．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明两三角形全等即可；
（2）根据角平分线的定义可得，再根据正方形的性质可得，然后根据外角可得，然后根据等角对等边证明结论即可．
23．【答案】（1）解：当时，，
当，
∴抛物线与轴的交点坐标为；
（2）解：∵点在的图象上，
∴，
解得：或（舍），
∴解析式为：，
则向上平移3个单位长度后的函数解析式为：，
对称轴为直线：，
∵，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴，
∴当时，求新的二次函数的的取值范围：．

（3）解：由题意得，，
在上恒成立，
问题转化为：在上恒成立，
当时，，
令，
当时，，
要满足时，，则，如图：
∴；
当时，，
令，
当时，，
要满足时，，则，如图：
∴
综上所述：对于，都有，则的取值范围为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换；分类讨论
【解析】【分析】（1）先得到抛物线的解析式，令，求出y的值即可得到与y轴的交点坐标；
（2）把点A的坐标代入求出m的值，即可得到抛物线的解析式，进而求出平移后的解析式，根据二次函数的增减性解答即可；
（3）由题意得， 根据题意可得在上恒成立，然后分为 ，两种情况画图解答即可．
24．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
为的直径，
；
，
；
，
，
，
；
（2）解：①为等腰直角三角形，且，
；
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
为直径，
，
，
；
分两种情况考虑：
当时；
则，
，
，
，
即；
在中，由勾股定理得：，
，
即，
解得：或（舍去）；
当时，
则；
，
，
，
即；
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去）；
综上，或；
②如图，过点G作于H，
设，则；
∵，，，
∴，则，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
四点共圆，
∴，
，
，
；
，
，
；
，
，
，
，
解得：（舍负），
即，
．

【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，即可得到为直径，进而得到哦啊，根据等角对等边证明结论；
（2）①根据两角对应相等得到，根据对应边成比例得到；分；两种情况，在中根据勾股定理解答即可；
②过点G作于H，设，求出CD长；设，根据四点共圆得到，再根据正切的定义可得，求出；由，进而得到t与a的关系式，根据列方程求出a的值解答即可．
1 / 1浙江杭州市惠兴中学2025-2026学年九年级下学期阶段性练习（3月）数学
一、选择题（每题3分，共30分）
1．2026 的倒数是(　　)
A．2026 B．-2026 C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：2026的倒数是，
故答案为：C.
【分析】根据倒数的概念即可求解.
2．根据温州市统计局发布的《2024年温州市人口主要数据公报》，鹿城区常住人口总量达985.2万人，则985.2万用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：985.2×10=9.852×
故答案为：B.
【分析】
根据科学记数法，将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n表示整数.
3． 解分式方程时，去分母正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
整理得，
等式两边同时乘以去分母得，，
整理得，，
故选：C ．
【分析】方程两边同时乘以，去分母解答即可.
4．某班组织了一场知识竞赛，其中参赛的6名同学得分分别为：72，75，80，78，82，76，则这组数据的中位数是（　　）
A．76 B．77 C．78 D．80
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：72，75，80，78，82，76，重新排序为：72，75，76， 78，80，82，
即这组数据的中位数是，
故选：B.
【分析】将一组数据按照从小到大排列，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数．据此解答即可．
5． 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，四边形的周长是1，则四边形的周长是（　　）
A．1 B．3 C．9 D．27
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，．
∴．
∴．
∴四边形的周长∶四边形的周长．
∵四边形的周长为1，
∴四边形的周长为3．
故选：B．
【分析】根据位似图形可得四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，，即可得到，然后根据相似多边形的周长比等于相似比解答即可．
6． 如图，手电筒的灯泡距离地面的高度为，灯泡照亮范围的横截面是，且，，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质可得BC=2BD，∠BAD=44°，然后根据正切的定义解答即可．
7．反比例函数的图象上有两点．下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：在反比例函数中，∵-1＜0，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限，y随x的增大而增大， 当x<0时，y>0，当x>0时，y<0，
A、当t>0时，t+2>2，x1＜x2＜0，故原选项正确，符合题意；
B、当-2C、当-2D、当t<-2时，t+2<0，0故答案为：A.
【分析】反比例函数中，当k＜0时，反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限，y随x的增大而增大， 当x<0时，y>0，当x>0时，y<0；当k＞0时，反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限，y随x的增大而减小， 当x<0时，y＜0，当x>0时，y＞0，据此结合各个选项给出的t的取值范围，判断出t-2的范围，进而根据函数的增减性，逐一判断即可.
8． 如图，在中，过点作的平分线的垂线，垂足为，点为的中点，连结交于点．若，，则的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，分别延长、交于，
过点作的平分线的垂线，垂足为，
，，而，
，
，，
∴点D是的中点，
而，，
，
点为的中点，
，
∴，
∴，
∴，
∴点F是的中点，
为的中位线，
．
故选：B．
【分析】分别延长、交于，然根据ASA得到，然后根据三角形的中位线得到DE∥AG，即可得到△CFD∽△CBG，再根据对应边成比例解答即可．
9． 如果，，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【解答】解：∵关于对称轴对称，
，
∴，且在对称轴左侧，在对称轴右侧，
令，则，
∴抛物线与轴交点为，抛物线对称轴为直线，
∴此交点关于对称轴的对称点为，
∵且，，
∴，
解得：，
当都在对称轴左边时，
∵，
∴，
解得：，
∴，
当分别在对称轴两侧时，
∵，
∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，或．
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的对称性得到，根据抛物线与轴交点，则交点关于对称轴的对称点为，即可得到m>4；然后分为都在对称轴左边时，分别在对称轴两侧时，列不等式计算即可．
10． 如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上（如图3），给出四个结论：
①的长为10；②的周长为18；③；④的长为5，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过点作，分别交、于点、，
四边形为矩形，
，，
由折叠可得，且，
四边形为正方形，
，故①正确；
，
和为等腰直角三角形，且，
设，则，，，
又由折叠的可知，
在中，由勾股定理可得，
即，解得，
，，，
又，
，
，
，
，
，即，
，，故④正确；
，
又和为等腰直角三角形，且，，
，，
的周长，
，
故②③不正确；正确；
综上可知正确的为①④，共2个．
【分析】过点作，交、于点、，根据正方形的性质求出的长判断①，得到和为等腰三角形，设，进而表示、、，根据折叠可得，在中根据勾股定理求出的值，再推理得到，根据对应边成比例求出、和，即可得到长判断②③④解答即可．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．分解因式：x2-16= 　 　.
【答案】（x-4）（x+4）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x-4）（x+4）
故答案为（x-4）（x+4）
【分析】由平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”可得原式=（x-4）（x+4）.
12．说明命题“若x>－4，则x2>16”是假命题的一个反例可以是　 　.
【答案】x=-3，答案不唯一
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】说明命题“x＞-4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是x=-3．
故答案为-3．
【分析】因为-3＞-4，而（-3）2=9＜16，据此即得.
13． 已知方程组的解满足，则的值为　 　．
【答案】-1
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
得：，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：-1.
【分析】两方程相加得到，即可得到-4k=4，解出k的值即可.
14． 已知一个圆锥的底面直径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的底面周长为，
∴侧面积为，
故答案为：．
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
15．已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=4，tan∠CBD=，则AB=　　 　 　，sin∠ABE=　　 　 　．
【答案】；
【知识点】菱形的性质
【解析】解：（1）连接AC，AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=BD=2，
∵Rt△BOC中，tan∠CBD=，
∴OC=1，
∴AB=BC==，
故答案为：；
（2）∵AE⊥BC，
∴S菱形ABCD=BC AE=BD AC，
∵AC=2OC=2，
∴AE=×2×4，
∴AE=，
∴sin∠ABE==．
故答案为：．
【分析】（1）首先连接AC，AC与BD相交于点O，由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，BO=BD=2，又由tan∠CBD=，可求得OC的长，然后由勾股定理求得边AB的长；
（2）由AE⊥BC，利用S菱形ABCD=BC AE=BD AC，即可求得AE的长，继而求得∠ABE的正弦值．
16． 如图，已知，，，，点D在所在直线上运动，以为边作等边三角形，则　 　．在点D运动过程中，的最小值　 　．
【答案】2；
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：以为边作等边，并作，垂足为点H，连接，如图：
，，，，
∴，
∴，，即，
∴，，
∵都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴最小即是最小，
∴当时，最小，此时，
∴四边形是矩形，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：2，．
【分析】以为边作等边，作于点H，连接，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出，，再根据“”得到，即可得到，进而可知最小即是最小，此时，解答即可．
三、解答题（共72分）
17． 计算：．
【答案】解：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算乘方、立方根、零次幂和负整数次幂，然后加减解答即可.
18．解方程：．
【答案】解：方程两边同乘以，得：
化简得：，
解得．
经检验，是原方程的根．
∴原方程的解为．

【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以，把分式方程转化为整式方程，解方程求出x的值然后检验解答即可．
19． 为了解我县初中在校生的课外阅读情况，现从中随机抽取部分学生分为“：每天阅读1小时以上”“：每天阅读小时”“：每天阅读小时以下”“：从不阅读”四类，绘制了如下扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出)．
（1）本次调查共抽取　 　名学生；扇形统计图中“类”所对应的圆心角度数为　 　
（2）补全条形统计图；
（3）若从此次调查抽取的样本中，随机抽取1名学生做进一步访谈，恰好抽到“每天阅读1小时以上”的学生的概率是多少？
【答案】（1）；
（2）解：∵类占总人数的，
∴类人数为人，
在条形统计图中，补全类对应的条形如图；
（3）解：“每天阅读1小时以上”的学生占总人数的，
∴恰好抽到“每天阅读1小时以上”的学生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）从条形图和扇形图可以得到类有人，占总人数的，
∴总人数为名；
∵类占总人数的，
∴扇形统计图中“类”所对应的圆心角度数为；
故答案为：；．
【分析】（1）通过类学生的人数和占比求出考查总人数，再根据“类圆心角类人数占比”得到圆心角的度数；
（2）利用总人数乘以类人数占比得到类人数，补全条形统计图即可；
（3）利用概率公式计算即可．
20． 如图，在中，，于点，为边上的中线．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求点到的距离．
【答案】（1）解：，
，
为边上的中线，
，
，
，
，
、，
；
（2）解：由（1）知，
，
设，则，
、，
，
，
即，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即点到的距离为．

【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质得到，即可得到，进而求出∠BAD的度数，再根据同角的余角相等解答即可；
（2）根据正切的定义设，则，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出AC长，根据勾股定理求出长，再根据三角形的面积公式计算即可．
21． 点和点是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，并且一次函数的图象与坐标轴分别交于点和点．
（1）求点和点的坐标；
（2）求一次函数的表达式；
（3）直接写出当时自变量的取值范围．
【答案】（1）解：∵点和点是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
，
，
（2）解：依题意，将代入中，
得，
解得：，
∴一次函数的表达式为：
（3）解：或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）观察图象，在第一象限，且在点左侧和点右侧时，满足，
当 时，即，，
∴当时，自变量的取值范围为或．
故答案为：或.
【分析】（1）把，代入反比例函数解析式，求出m、n的值；
（2）利用待定系数法求一次函数解析式；
（3）借助函数的额图象，得到直线在双曲线下方，且两图像刚都在x轴上方的自变量x的取值范围即可．
22． 如图，是正方形对角线，的交点，平分，交于点，于点，分别交，于点，．
（1）证明；
（2）是等腰三角形吗？请说明理由；
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
∵平分，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即是等腰三角形．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明两三角形全等即可；
（2）根据角平分线的定义可得，再根据正方形的性质可得，然后根据外角可得，然后根据等角对等边证明结论即可．
23． 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）当时，求抛物线与轴的交点坐标；
（2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的的取值范围；
（3）已知和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
当，
∴抛物线与轴的交点坐标为；
（2）解：∵点在的图象上，
∴，
解得：或（舍），
∴解析式为：，
则向上平移3个单位长度后的函数解析式为：，
对称轴为直线：，
∵，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴，
∴当时，求新的二次函数的的取值范围：．

（3）解：由题意得，，
在上恒成立，
问题转化为：在上恒成立，
当时，，
令，
当时，，
要满足时，，则，如图：
∴；
当时，，
令，
当时，，
要满足时，，则，如图：
∴
综上所述：对于，都有，则的取值范围为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换；分类讨论
【解析】【分析】（1）先得到抛物线的解析式，令，求出y的值即可得到与y轴的交点坐标；
（2）把点A的坐标代入求出m的值，即可得到抛物线的解析式，进而求出平移后的解析式，根据二次函数的增减性解答即可；
（3）由题意得， 根据题意可得在上恒成立，然后分为 ，两种情况画图解答即可．
24． 如图1，等腰中，，，点为边上的动点，连接，过点作的垂线，交的外接圆于点．
（1）求证：；
（2）如图2，作直径，交于点，连接；
①若四边形中的一组对边比为，求的长；
②记的面积为，的面积为，当时，求的值．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
为的直径，
；
，
；
，
，
，
；
（2）解：①为等腰直角三角形，且，
；
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
为直径，
，
，
；
分两种情况考虑：
当时；
则，
，
，
，
即；
在中，由勾股定理得：，
，
即，
解得：或（舍去）；
当时，
则；
，
，
，
即；
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去）；
综上，或；
②如图，过点G作于H，
设，则；
∵，，，
∴，则，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
四点共圆，
∴，
，
，
；
，
，
；
，
，
，
，
解得：（舍负），
即，
．

【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，即可得到为直径，进而得到哦啊，根据等角对等边证明结论；
（2）①根据两角对应相等得到，根据对应边成比例得到；分；两种情况，在中根据勾股定理解答即可；
②过点G作于H，设，求出CD长；设，根据四点共圆得到，再根据正切的定义可得，求出；由，进而得到t与a的关系式，根据列方程求出a的值解答即可．
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