资源简介

浙教版八年级数学（上）寒假作业（四）4.1 多边形
一、选择题
1．过某个多边形的一个顶点可以引出4条对角线，这些对角线将这个多边形分成（　　）个三角形．
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知一个多边形有两条对角线， 则这个多边形是（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
3．一个多边形的内角和为360°，则这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
4．在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线1剪掉一个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是（　　）
A．这个多边形是一个五边形
B．从这个多边形的顶点A出发，最多可以画4条对角线
C．从顶点A出发的所有对角线将这个多边形分成4个三角形
D．以上说法都不正确
5．在四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，∠D=70°，则∠B的度数为（　　）
A．70° B．80° C．120° D．130°
二、填空题
6．从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，这个多边形的边数是　 　．
7．过七边形一个顶点可以引出的对角线的条数为　 　．
8．若一个多边形经过一个顶点的对角线将该多边形分成8个三角形，则该多边形为　 　边形．
9．过m边形的顶点能作7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，则（m﹣k）n=　 　．
10．三角形纸片ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），则∠1+∠2的度数为 　 　 度．
三、解答题
11．阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形．图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个，3个，4个小三角形．请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数．试把这一结论推广至n边形．
12．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… n
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ②
（1）观察探究 请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①　 　；②　 　；
（2）实际应用 数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
（3）类比归纳 乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．
13．探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以作　 　条对角线；同样，经过B点可以作　 　条；经过C点可以作　 　条；经过D点可以作　 　条对角线.
通过以上分析和总结，图1共有　 　条对角线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有　 　条对角线；
图3共有　 　条对角线；
（3）探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有　 　条对角线．(用含n的式子表示)
（4）特例验证：
十边形有　 　条对角线.
四、选择题—4.1 多边形（2）
14．一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．10 D．12
15．一个多边形内角和的度数不可能的是(　　)
A． B． C． D．
16．一个多边形的内角和是 ， 这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
17．在四边形 中， 如果 ， 则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
18．某多边形的内角和是其外角和的2倍，则此多边形的边数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
五、填空题
19．将一个多边形截去一个角后，得到一个新的多边形的内角和为，则原来多边形的边数为　 　．（用阿拉伯数字表示）
20．在n边形中，设∠A的外角的度数为α，与∠A不相邻的（n﹣1）个内角的和为β．若β＝α+540°，则n＝　 　．
21．一个多边形每个外角都等于 ， 则这个多边形的边数为
22．如图，，则的度数为
23． 如图， 在七边形 中， 的延长线相交于点 ． 若图中 的补角的和为 ， 则 的度数是　 　.
六、解答题
24．看图回答问题：
（1） 内角和为 ， 小明为什么说不可能
（2） 小华求的是几边形的内角和
（3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求出吗 是多少度呢
25．
（1）用一条直线去截多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件(在对应的图中画出图形，把截去的部分打上阴影)：
①在图1中，新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了 180°.
②在图2中，新多边形的内角和与原多边形的内角和相等.
③在图3中，新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 180°.
（2）若将一个多边形截去一个角后，得到的新多边形的内角和为 2 520°，求原多边形的边数.
26．我们探究过三角形内角和等于 ， 四边形内角和等于 ， 请解决下面的问题：
（1）如图 1， ， 则 　 　 (直接写出结果)
（2）在图 1 的基础上， 连结 分别是四边形 的四个内角的平分线．
①如图 2， 如果 ， 那么 的度数为 ▲ (直接写出结果)
②如图 3， 若 与 平行吗？ 请写出理由．
27．
（1）如图1，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=　 　°.
（2）若将图1中星形的一个角截去，如图2，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=　 　°.
（3）若再将图2中图形的角截去，如图3，则由(2)中所得的方法或规律，猜想∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠F+∠H+∠M+∠N=　 　°.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵某个多边形的一个顶点可以引出条对角线，
∴该多边形的边数为，
∴这些对角线将这个多边形分成个三角形．
故选B．
【分析】根据过n边形的一个顶点可以引出条对角线，把多边形分成个三角形解题即可．
2．【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：多边形对角线条数公式，当N=2时，求得n=4.
故答案为：A.
【分析】本题要掌握多边形角线条数公式，如果知道多边形边数可求得对角线条数，反之如果知道对角线条数可求得多边形边数.
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得：
（n-2)×180°=360°，
∴n=4.
故答案为：B.
【分析】根据多边形内角和定理，即可求得多边形的边数。
4．【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：A、这个多边形是一个六边形，故错误，不符合题意．
B、从这个多边形的顶点A出发，最多可以画3条对角线，故错误，不符合题意，
C、从顶点A出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形，正确，符合题意，
D、以上说法C正确．
故答案为∶C．
【分析】从多边形的一个顶点引出的对角线有n-3个，把多边形分成n-2个三角形，据此判断即可。
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵四边形的内角和为，∠A+∠C=160°，∠D=70°，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据四边形的内角和求解即可.
6．【答案】8
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得
n-3=5
解之：n=8
故答案为：8
【分析】根据从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，由题意建立关于n的方程，解方程求出n的值。
7．【答案】4
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解： 过七边形一个顶点可以引出的对角线的条数为：7-3=4.
故答案为：4.
【分析】过n边形一个顶点，可引（n-3）条对角线，据此可计算得出答案.
8．【答案】十
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：设该多边形的边数为n，则n-2=8.
解得n=10.所以该多边形为十边形.
故本题答案为：十.
【分析】过n变形度一个顶点的所有对角线将这个n边形分割为（n-2）个三角形.
9．【答案】125
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】：∵n边形从一个顶点发出的对角线有n﹣3条，
∴m=7+3=10，n=3，k=5，h=4；
∴（m﹣k）n=（10﹣5）3=125，
故答案为：125．
【分析】若过m边形的一个顶点有7条对角线，则m=10；n边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而n=3；k边形有k条对角线，即得到方程 k（k﹣3）=k，解得k=5；正h边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而h=4．代入解析式就可以求出代数式的值．
10．【答案】100
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∠A+∠B+∠C=180°，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣55°﹣75°=50°①，
∠C+∠CED+∠CDE=180°，∠CED+∠CDE=180°﹣∠C=180°﹣50°=130°②，
∠B+∠A+∠CED+∠CDE+∠1+∠2=360°③，
把①②分别代入③得75°+55°+130°+∠1+∠2=360°，
解得∠1+∠2=100°
故填100．
【分析】利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得．
11．【答案】解：如图所示：
结合两个特殊图形，可以发现：第一种分割法把n边形分割成了（n-2）个三角形；第二种分割法把n边形分割成了（n-1）个三角形；第三种分割法把n边形分割成了n个三角形。
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【分析】结合两个特殊图形，可以发现第一种分割法把n边形分割成了（n-2）个三角形；第二种分割法把n边形分割成了（n-1）个三角形；第三种分割法把n边形分割成了n个三角形.
12．【答案】（1）n﹣3； n（n﹣3）
（2）解：∵3×6=18，
∴数学社团的同学们一共将拨打电话为 ×18×（18﹣3）=135（个）
（3）解：每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点；
每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n﹣3）个电话；
两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为 n（n﹣3）；
数学社团有18名同学，当n=18时， ×18×（18﹣3）=135
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】（1）由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n﹣3，多边形对角线的总条数为 n（n﹣3）；
故答案为：n﹣3， n（n﹣3）；
【分析】（1）连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，由于一个顶点不能与自身及与之相邻的两个顶点连对角线，故当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为(n﹣3)，n边形共有n个顶点，故可以引n（n-3）条对角线，但由于每两个顶点之间只有一条对角线，故n边形对角线的总条数为 n（n﹣3）；
（2）根据题意社团共有 3×6=18 人，每一个需要给除本组以外的其它成员各打一个电话，故每人需要拨打（18-3）个电话，又每两个人之间只需要拨打一个电话，故 按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话 ×18×（18﹣3） 个；
（3） 每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点； 每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n﹣3）个电话； 两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为 n（n﹣3），然后将n=18代入即可算出答案。
13．【答案】（1）1；1；1；1；2
（2）5；9
（3）
（4）35
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：（1）通过画图可知（如下图），经过A点可以作1条对角线；经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线.通过以上分析和总结，图1共有2条对角线.
故答案为：1；1；1；1；2.
（2）运用（1）的分析方法，如下图所示，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线.
故答案为：5；9.
（3）对于n边形（n＞3），从每个点出发可以引出（n-3）条对角线，共有n（n-3）条对角线，除去两两之间重复的对角线，所以需要除以2，因此共有条对角线.
故答案为：.
（4）十边形，n=10，代入计算，得十边形有35条对角线.
故答案为：35.
【分析】（1）根据要求画出对角线，即可得出答案；
（2）根据要求画出对角线，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）的分析探索，可得出规律；
（4）根据对角线数量的公式，将n=10代入计算即可.
14．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，依题意：
，
解得：，
故答案为：B
【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形内角和与外角和性质建立方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：270°不能被180°整除，
故答案为：B.
【分析】n边形的内角和是(n-2)·180°，即多边形的内角和一定是180的正整数倍，依此即可解答.
16．【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设多边形边数为n，
根据内角和公式得，
解得n=7，
∴这个多边形边数为7.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查多边形内角和公式的运用；多边形内角和（n-2)×180°.
17．【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内角和360°且∠A+∠C+∠D=270°，
∴∠B=360°-(∠A+∠C+∠D)=90°.
故答案为：C.
【分析】本题考查四边形内角和性质；四边形内角和360°，其中三个角和为270°，求第四个角，只需360°-270°即可求得.
18．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形的内角和是： ，
设多边形的边数为n，则 ，
解得： .
故答案为：D.
【分析】设多边形的边数为n，则可得(n-2)×180°=360°×2，求解即可.
19．【答案】21或22或23
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设新多边形的边数为n，
∵新的多边形的内角和为，
∴，
解得：，
∵多边形截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1，
∴或，
∴原来多边形的边数为21或22或23，
故答案为：21或22或23．
【分析】由多边形的内角和公式求出新多边形的边数，可知截去一个角后多边形的边数可以增加1、不变、减少1，据此分三种情况进行求解即可.
20．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：在n边形中，设∠A的外角的度数为α，
则与∠A相邻的内角的度数为180° α，
∵与∠A不相邻的（n 1）个内角的和为β，
∴180° α＋β＝（n 2） 180°，
∵β＝α＋540°，
∴180° α＋α＋540°＝（n 2） 180°，
解得：n＝6，
故答案为：6．
【分析】设∠A的外角的度数为α，再利用多边形的内角和公式及外角和公式列出方程求解即可.
21．【答案】12
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于30°，多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数是.
故答案为：12.
【分析】根据已知和多边形的外角和求出边数即可.
22．【答案】130°
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连结AD，
在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°.
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°.
又∵∠C=120°，
∴∠BAD+∠ADC=360°-90°-120°=150°
∵CD//AF，
∴∠CDA=∠DAF
又∵∠CDE=∠BAF，
∴∠EDA=∠BAD
在四边形ADEF中，∠DAF+∠EDA+∠F+∠E=360°
∴∠F+∠E=360°-(∠ADC+∠BAD)=360°-150°=210°
又∵∠E=80°，
∴∠F=210°-80°=130°
故答案为：130°.
【分析】连结AD，根据四边形内角和的性质可知∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°，再利用AB⊥BC，∠C=120°，CD//AF， 进而即可得出∠EDA=∠BAD，再利用四边形ADEF内角和的性质即可求解.
23．【答案】40°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋220°＝4×180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝500°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5 2）×180°＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540° 500°＝40°，
故答案为：40°.
【分析】利用外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，再利用五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，最后求出∠BOD的度数即可．
24．【答案】（1）解：∵n边形的内角和是（n 2）×180°，
∴内角和一定是180度的倍数，
∵2017÷180＝11……37，
∴内角和为2017°不可能；
（2）解：设小华求的是n边形的内角和，
∴(n-2)×180°<2 017°，
∵小华多加的外角必小于180°，
∴解得：n=13.
（3）解：设多加的外角为x°，
则有(13-2)×180+x=2017，
解得x=37，
∴多加的外角度数为37°.
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【分析】（1）n边形的内角和是（n 2）×180°，因而内角和一定是180度的倍数，依此即可作出判断；
（2）多边形的内角一定大于0，并且小于180°，因而内角和再加上一个内角的值，这个值除以180°，所得数值比边数n 2要大，大的值小于1，则用2017除以180所得值，加上2，比这个数小的最大的整数就是多边形的边数，进一步求解可得；
（3）设多加的外角为x°，利用多边形的内角和公式列出方程(13-2)×180+x=2017，求出x的值即可.
25．【答案】（1）解：如图，
（2）解：设多边形的边数为n，
则（n-2）·180°=2520°，解得：n=16，
① 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15；
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16；
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17.
故原多边形的边数可以为15、16、17.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；
②过一个顶点和相邻两边上的点作出直线即可求解；
③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况讨论求解.
26．【答案】（1）180°
（2）解：①70°
②AB∥CD，理由如下：
∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，
∴∠OAB＝∠DAB，∠OBA＝∠CBA，∠OCD＝∠BCD，∠ODC＝∠ADC，
∴∠OAB＋∠OBA＋∠OCD＋∠ODC＝×360°＝180°，
在△OAB中，∠OAB＋∠OBA＝180° ∠AOB，
在△OCD中，∠OCD＋∠ODC＝180° ∠COD，
∴180°-∠AOB＋180°-∠COD＝180°，
∴∠AOB＋∠COD＝180°；
∴∠AOD＋∠BOC＝360°-（∠AOB＋∠COD）＝360°-180°＝180°，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°．
在∠AOD中，∠DAO＋∠ADO＝180°-∠AOD＝180°-90°＝90°，
∵∠DAO＝∠DAB，∠ADO＝∠ADC，
∴∠DAB＋∠ADC＝90°，
∴∠DAB＋∠ADC＝180°，
∴AB∥CD
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(1)∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°
∴∠A+∠B+∠AOB+∠C+∠D+∠COD=360°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=180°
∴180°+∠AOB+∠COD=360°.
∴∠AOB+∠COD=180°.
故答案为：180°.
(2)①∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠AOB=110°，
∴∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB=70°
∵OA、OB 分别平分∠DAB与∠ABC，
∴∠DAB=2∠OAB，∠ABC=2∠OBA，
∴∠DAB+∠ABC=2(∠OAB+∠OBA)=140°
∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠BAD=360°
∴∠ADC+∠BCD=360°-(∠DAB+∠ABC)=220°
∵OC、OD 分别平分∠BCD与∠ADC，
∴，，
∴，
∴∠COD=180-(∠ODC+∠OCD)=70°
故答案为：70°.
【分析】(1)根据三角形内角和定理得∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，将两式相加后再结合已知可求出∠AOB+∠COD的度数；
(2)①由三角形的内角和定理求出∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB=70°，由角平分线定义求出∠DAB+∠ABC=140°，由四边形的内角和定理求出∠ADC+∠BCD=220°，由角平分线定义求出，最后再根据三角形的内角和定理可求出∠COD的度数；
②由交平分线定义及三角形内角和定理可得∠AOB+∠COD=180°，从而根据周角定义得出∠ADO+∠BOD=180°，结合已知可得∠AOD=∠BOC=90°，进而得出∠DAB+∠ADC=180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行得出AB//CD.
27．【答案】（1）180
（2）360
（3）1080
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）如图1，
∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D，∠A+∠C+∠1=180°，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ∠A+∠C+∠1=180°；
故答案为：180；
（2）如图2，∵∠2=∠1+∠F=∠B+∠E+∠F，∠A+∠C+∠2+∠D=360°，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ∠A+∠C+∠2+∠D=360°；
故答案为：360；
（3）由（1）（2）知：每截去一个角则增加180°，当截去5个角时，增加了180°×5的度数，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠F+∠H+∠M+∠N=180°+180°×5=1080°.
故答案为：1080.
【分析】（1）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质求解即可；
（2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°进行解答即可；
（3）由（1）（2）知：每截去一个角则增加180°，当截去5个角时，增加了180°×5的度数，据此即可求解.
1 / 1浙教版八年级数学（上）寒假作业（四）4.1 多边形
一、选择题
1．过某个多边形的一个顶点可以引出4条对角线，这些对角线将这个多边形分成（　　）个三角形．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵某个多边形的一个顶点可以引出条对角线，
∴该多边形的边数为，
∴这些对角线将这个多边形分成个三角形．
故选B．
【分析】根据过n边形的一个顶点可以引出条对角线，把多边形分成个三角形解题即可．
2．已知一个多边形有两条对角线， 则这个多边形是（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：多边形对角线条数公式，当N=2时，求得n=4.
故答案为：A.
【分析】本题要掌握多边形角线条数公式，如果知道多边形边数可求得对角线条数，反之如果知道对角线条数可求得多边形边数.
3．一个多边形的内角和为360°，则这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得：
（n-2)×180°=360°，
∴n=4.
故答案为：B.
【分析】根据多边形内角和定理，即可求得多边形的边数。
4．在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线1剪掉一个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是（　　）
A．这个多边形是一个五边形
B．从这个多边形的顶点A出发，最多可以画4条对角线
C．从顶点A出发的所有对角线将这个多边形分成4个三角形
D．以上说法都不正确
【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：A、这个多边形是一个六边形，故错误，不符合题意．
B、从这个多边形的顶点A出发，最多可以画3条对角线，故错误，不符合题意，
C、从顶点A出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形，正确，符合题意，
D、以上说法C正确．
故答案为∶C．
【分析】从多边形的一个顶点引出的对角线有n-3个，把多边形分成n-2个三角形，据此判断即可。
5．在四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，∠D=70°，则∠B的度数为（　　）
A．70° B．80° C．120° D．130°
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵四边形的内角和为，∠A+∠C=160°，∠D=70°，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据四边形的内角和求解即可.
二、填空题
6．从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，这个多边形的边数是　 　．
【答案】8
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得
n-3=5
解之：n=8
故答案为：8
【分析】根据从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，由题意建立关于n的方程，解方程求出n的值。
7．过七边形一个顶点可以引出的对角线的条数为　 　．
【答案】4
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解： 过七边形一个顶点可以引出的对角线的条数为：7-3=4.
故答案为：4.
【分析】过n边形一个顶点，可引（n-3）条对角线，据此可计算得出答案.
8．若一个多边形经过一个顶点的对角线将该多边形分成8个三角形，则该多边形为　 　边形．
【答案】十
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：设该多边形的边数为n，则n-2=8.
解得n=10.所以该多边形为十边形.
故本题答案为：十.
【分析】过n变形度一个顶点的所有对角线将这个n边形分割为（n-2）个三角形.
9．过m边形的顶点能作7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，则（m﹣k）n=　 　．
【答案】125
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】：∵n边形从一个顶点发出的对角线有n﹣3条，
∴m=7+3=10，n=3，k=5，h=4；
∴（m﹣k）n=（10﹣5）3=125，
故答案为：125．
【分析】若过m边形的一个顶点有7条对角线，则m=10；n边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而n=3；k边形有k条对角线，即得到方程 k（k﹣3）=k，解得k=5；正h边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而h=4．代入解析式就可以求出代数式的值．
10．三角形纸片ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），则∠1+∠2的度数为 　 　 度．
【答案】100
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∠A+∠B+∠C=180°，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣55°﹣75°=50°①，
∠C+∠CED+∠CDE=180°，∠CED+∠CDE=180°﹣∠C=180°﹣50°=130°②，
∠B+∠A+∠CED+∠CDE+∠1+∠2=360°③，
把①②分别代入③得75°+55°+130°+∠1+∠2=360°，
解得∠1+∠2=100°
故填100．
【分析】利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得．
三、解答题
11．阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形．图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个，3个，4个小三角形．请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数．试把这一结论推广至n边形．
【答案】解：如图所示：
结合两个特殊图形，可以发现：第一种分割法把n边形分割成了（n-2）个三角形；第二种分割法把n边形分割成了（n-1）个三角形；第三种分割法把n边形分割成了n个三角形。
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【分析】结合两个特殊图形，可以发现第一种分割法把n边形分割成了（n-2）个三角形；第二种分割法把n边形分割成了（n-1）个三角形；第三种分割法把n边形分割成了n个三角形.
12．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… n
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ②
（1）观察探究 请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①　 　；②　 　；
（2）实际应用 数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
（3）类比归纳 乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．
【答案】（1）n﹣3； n（n﹣3）
（2）解：∵3×6=18，
∴数学社团的同学们一共将拨打电话为 ×18×（18﹣3）=135（个）
（3）解：每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点；
每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n﹣3）个电话；
两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为 n（n﹣3）；
数学社团有18名同学，当n=18时， ×18×（18﹣3）=135
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】（1）由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n﹣3，多边形对角线的总条数为 n（n﹣3）；
故答案为：n﹣3， n（n﹣3）；
【分析】（1）连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，由于一个顶点不能与自身及与之相邻的两个顶点连对角线，故当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为(n﹣3)，n边形共有n个顶点，故可以引n（n-3）条对角线，但由于每两个顶点之间只有一条对角线，故n边形对角线的总条数为 n（n﹣3）；
（2）根据题意社团共有 3×6=18 人，每一个需要给除本组以外的其它成员各打一个电话，故每人需要拨打（18-3）个电话，又每两个人之间只需要拨打一个电话，故 按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话 ×18×（18﹣3） 个；
（3） 每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点； 每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n﹣3）个电话； 两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为 n（n﹣3），然后将n=18代入即可算出答案。
13．探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以作　 　条对角线；同样，经过B点可以作　 　条；经过C点可以作　 　条；经过D点可以作　 　条对角线.
通过以上分析和总结，图1共有　 　条对角线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有　 　条对角线；
图3共有　 　条对角线；
（3）探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有　 　条对角线．(用含n的式子表示)
（4）特例验证：
十边形有　 　条对角线.
【答案】（1）1；1；1；1；2
（2）5；9
（3）
（4）35
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：（1）通过画图可知（如下图），经过A点可以作1条对角线；经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线.通过以上分析和总结，图1共有2条对角线.
故答案为：1；1；1；1；2.
（2）运用（1）的分析方法，如下图所示，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线.
故答案为：5；9.
（3）对于n边形（n＞3），从每个点出发可以引出（n-3）条对角线，共有n（n-3）条对角线，除去两两之间重复的对角线，所以需要除以2，因此共有条对角线.
故答案为：.
（4）十边形，n=10，代入计算，得十边形有35条对角线.
故答案为：35.
【分析】（1）根据要求画出对角线，即可得出答案；
（2）根据要求画出对角线，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）的分析探索，可得出规律；
（4）根据对角线数量的公式，将n=10代入计算即可.
四、选择题—4.1 多边形（2）
14．一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，依题意：
，
解得：，
故答案为：B
【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形内角和与外角和性质建立方程，解方程即可求出答案.
15．一个多边形内角和的度数不可能的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：270°不能被180°整除，
故答案为：B.
【分析】n边形的内角和是(n-2)·180°，即多边形的内角和一定是180的正整数倍，依此即可解答.
16．一个多边形的内角和是 ， 这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设多边形边数为n，
根据内角和公式得，
解得n=7，
∴这个多边形边数为7.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查多边形内角和公式的运用；多边形内角和（n-2)×180°.
17．在四边形 中， 如果 ， 则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内角和360°且∠A+∠C+∠D=270°，
∴∠B=360°-(∠A+∠C+∠D)=90°.
故答案为：C.
【分析】本题考查四边形内角和性质；四边形内角和360°，其中三个角和为270°，求第四个角，只需360°-270°即可求得.
18．某多边形的内角和是其外角和的2倍，则此多边形的边数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形的内角和是： ，
设多边形的边数为n，则 ，
解得： .
故答案为：D.
【分析】设多边形的边数为n，则可得(n-2)×180°=360°×2，求解即可.
五、填空题
19．将一个多边形截去一个角后，得到一个新的多边形的内角和为，则原来多边形的边数为　 　．（用阿拉伯数字表示）
【答案】21或22或23
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设新多边形的边数为n，
∵新的多边形的内角和为，
∴，
解得：，
∵多边形截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1，
∴或，
∴原来多边形的边数为21或22或23，
故答案为：21或22或23．
【分析】由多边形的内角和公式求出新多边形的边数，可知截去一个角后多边形的边数可以增加1、不变、减少1，据此分三种情况进行求解即可.
20．在n边形中，设∠A的外角的度数为α，与∠A不相邻的（n﹣1）个内角的和为β．若β＝α+540°，则n＝　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：在n边形中，设∠A的外角的度数为α，
则与∠A相邻的内角的度数为180° α，
∵与∠A不相邻的（n 1）个内角的和为β，
∴180° α＋β＝（n 2） 180°，
∵β＝α＋540°，
∴180° α＋α＋540°＝（n 2） 180°，
解得：n＝6，
故答案为：6．
【分析】设∠A的外角的度数为α，再利用多边形的内角和公式及外角和公式列出方程求解即可.
21．一个多边形每个外角都等于 ， 则这个多边形的边数为
【答案】12
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于30°，多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数是.
故答案为：12.
【分析】根据已知和多边形的外角和求出边数即可.
22．如图，，则的度数为
【答案】130°
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连结AD，
在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°.
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°.
又∵∠C=120°，
∴∠BAD+∠ADC=360°-90°-120°=150°
∵CD//AF，
∴∠CDA=∠DAF
又∵∠CDE=∠BAF，
∴∠EDA=∠BAD
在四边形ADEF中，∠DAF+∠EDA+∠F+∠E=360°
∴∠F+∠E=360°-(∠ADC+∠BAD)=360°-150°=210°
又∵∠E=80°，
∴∠F=210°-80°=130°
故答案为：130°.
【分析】连结AD，根据四边形内角和的性质可知∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°，再利用AB⊥BC，∠C=120°，CD//AF， 进而即可得出∠EDA=∠BAD，再利用四边形ADEF内角和的性质即可求解.
23． 如图， 在七边形 中， 的延长线相交于点 ． 若图中 的补角的和为 ， 则 的度数是　 　.
【答案】40°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋220°＝4×180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝500°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5 2）×180°＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540° 500°＝40°，
故答案为：40°.
【分析】利用外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，再利用五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，最后求出∠BOD的度数即可．
六、解答题
24．看图回答问题：
（1） 内角和为 ， 小明为什么说不可能
（2） 小华求的是几边形的内角和
（3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求出吗 是多少度呢
【答案】（1）解：∵n边形的内角和是（n 2）×180°，
∴内角和一定是180度的倍数，
∵2017÷180＝11……37，
∴内角和为2017°不可能；
（2）解：设小华求的是n边形的内角和，
∴(n-2)×180°<2 017°，
∵小华多加的外角必小于180°，
∴解得：n=13.
（3）解：设多加的外角为x°，
则有(13-2)×180+x=2017，
解得x=37，
∴多加的外角度数为37°.
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【分析】（1）n边形的内角和是（n 2）×180°，因而内角和一定是180度的倍数，依此即可作出判断；
（2）多边形的内角一定大于0，并且小于180°，因而内角和再加上一个内角的值，这个值除以180°，所得数值比边数n 2要大，大的值小于1，则用2017除以180所得值，加上2，比这个数小的最大的整数就是多边形的边数，进一步求解可得；
（3）设多加的外角为x°，利用多边形的内角和公式列出方程(13-2)×180+x=2017，求出x的值即可.
25．
（1）用一条直线去截多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件(在对应的图中画出图形，把截去的部分打上阴影)：
①在图1中，新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了 180°.
②在图2中，新多边形的内角和与原多边形的内角和相等.
③在图3中，新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 180°.
（2）若将一个多边形截去一个角后，得到的新多边形的内角和为 2 520°，求原多边形的边数.
【答案】（1）解：如图，
（2）解：设多边形的边数为n，
则（n-2）·180°=2520°，解得：n=16，
① 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15；
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16；
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17.
故原多边形的边数可以为15、16、17.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；
②过一个顶点和相邻两边上的点作出直线即可求解；
③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况讨论求解.
26．我们探究过三角形内角和等于 ， 四边形内角和等于 ， 请解决下面的问题：
（1）如图 1， ， 则 　 　 (直接写出结果)
（2）在图 1 的基础上， 连结 分别是四边形 的四个内角的平分线．
①如图 2， 如果 ， 那么 的度数为 ▲ (直接写出结果)
②如图 3， 若 与 平行吗？ 请写出理由．
【答案】（1）180°
（2）解：①70°
②AB∥CD，理由如下：
∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，
∴∠OAB＝∠DAB，∠OBA＝∠CBA，∠OCD＝∠BCD，∠ODC＝∠ADC，
∴∠OAB＋∠OBA＋∠OCD＋∠ODC＝×360°＝180°，
在△OAB中，∠OAB＋∠OBA＝180° ∠AOB，
在△OCD中，∠OCD＋∠ODC＝180° ∠COD，
∴180°-∠AOB＋180°-∠COD＝180°，
∴∠AOB＋∠COD＝180°；
∴∠AOD＋∠BOC＝360°-（∠AOB＋∠COD）＝360°-180°＝180°，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°．
在∠AOD中，∠DAO＋∠ADO＝180°-∠AOD＝180°-90°＝90°，
∵∠DAO＝∠DAB，∠ADO＝∠ADC，
∴∠DAB＋∠ADC＝90°，
∴∠DAB＋∠ADC＝180°，
∴AB∥CD
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(1)∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°
∴∠A+∠B+∠AOB+∠C+∠D+∠COD=360°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=180°
∴180°+∠AOB+∠COD=360°.
∴∠AOB+∠COD=180°.
故答案为：180°.
(2)①∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠AOB=110°，
∴∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB=70°
∵OA、OB 分别平分∠DAB与∠ABC，
∴∠DAB=2∠OAB，∠ABC=2∠OBA，
∴∠DAB+∠ABC=2(∠OAB+∠OBA)=140°
∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠BAD=360°
∴∠ADC+∠BCD=360°-(∠DAB+∠ABC)=220°
∵OC、OD 分别平分∠BCD与∠ADC，
∴，，
∴，
∴∠COD=180-(∠ODC+∠OCD)=70°
故答案为：70°.
【分析】(1)根据三角形内角和定理得∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，将两式相加后再结合已知可求出∠AOB+∠COD的度数；
(2)①由三角形的内角和定理求出∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB=70°，由角平分线定义求出∠DAB+∠ABC=140°，由四边形的内角和定理求出∠ADC+∠BCD=220°，由角平分线定义求出，最后再根据三角形的内角和定理可求出∠COD的度数；
②由交平分线定义及三角形内角和定理可得∠AOB+∠COD=180°，从而根据周角定义得出∠ADO+∠BOD=180°，结合已知可得∠AOD=∠BOC=90°，进而得出∠DAB+∠ADC=180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行得出AB//CD.
27．
（1）如图1，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=　 　°.
（2）若将图1中星形的一个角截去，如图2，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=　 　°.
（3）若再将图2中图形的角截去，如图3，则由(2)中所得的方法或规律，猜想∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠F+∠H+∠M+∠N=　 　°.
【答案】（1）180
（2）360
（3）1080
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）如图1，
∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D，∠A+∠C+∠1=180°，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ∠A+∠C+∠1=180°；
故答案为：180；
（2）如图2，∵∠2=∠1+∠F=∠B+∠E+∠F，∠A+∠C+∠2+∠D=360°，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ∠A+∠C+∠2+∠D=360°；
故答案为：360；
（3）由（1）（2）知：每截去一个角则增加180°，当截去5个角时，增加了180°×5的度数，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠F+∠H+∠M+∠N=180°+180°×5=1080°.
故答案为：1080.
【分析】（1）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质求解即可；
（2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°进行解答即可；
（3）由（1）（2）知：每截去一个角则增加180°，当截去5个角时，增加了180°×5的度数，据此即可求解.
1 / 1

展开更多......

收起↑