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高三二轮复习综合测试 数学答案（二）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A A A C A A A AD ABD ACD
12． 13． 14． .
6．角 的终边经过点 ，点到原点距离 ，
， ，所以 .
7．由 可得定义域为 ，且 ，
当 且 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数
单调递减，所以： 是极大值点， ；
当 时， ；当 时， ；由此可作出函数 的图象
令 ，则原方程 可化为： ，
得 或 ，原方程 有且仅有 4个不同的实根，等价于 和 对
应的方程 的根的总数为 4个；结合 的图象可
得 的图象：
由题意知 以及 ，故 ，且 ，
结合 图象，要使得 和 有且仅
有 4个不同的实根，需满足 且 ，即得
，此时 有 1个解， 有 3个解，即 .
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8．设 ，根据 可得 ，
因为 ，所以 、 、 共线，
可得 ，化简得 （1），
又因为直线 过点 、 ，可得直线 的方程
为 ，代入 得 ，化简得 （2），
联立（1）（2）可得 ，易知 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，又 ，所以 轴，
，解得 ，
因此 ，在 中， ，
所以 ．
9．对于 A，因为 ， ，所以
或 ，A错误；
又 ， ，所以 在 方向的投影向量为 ，
C正确；
对于 D，因为 与 的夹角为钝角，所以 ，且 不反向平行，
由 ，解得 ，由 可得 或 ，当 时，
， 反向平行，夹角不是钝角，当 时，
， 方向相同，所以若 和 的夹角为钝角，则 的取值范围为
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，D错误.
10．因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
对于 A：由余弦定理知， ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，故 A正确；
对于 B：因为 ，所以 的周长为 ，故 B正确；
对于 C：若 的角平分线与 交于 ，则 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，故 C错误；
对于 D：因为 ，
设 外接圆的圆心为 ，半径为 ，
由正弦定理知， ，所以 ，
过点 作 的垂线，垂足为 ，则 ，
当 ，且点 在 的延长线上时， 取得最大值，如图
所示，此时 ，
所以 的最大值为 ，故 D正确.
11．易知 平面 ，又点 在侧面 内，
点 的轨迹为线段 ，当点 在 处时， 取最大值
为 ，故 A正确；
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将 沿 翻折到与平面 共面，且 在 的异侧，如
图，连接 ，交 于点 ，则 即为 的最小值，易
知 最小值为 ，故 B错误；
由 平分 可知点 和点 到平面 的距离相等，若点 和
点 到平面 的距离相等，必有 平面 ，又 ， 点 在线段 上，故
C正确；
设平面 的中心为 ，平面 的中心为 ，易知三棱锥 外接球的球心 在
线段 上，令 ，外接球半径为 ，
.
又 ，整理得
， 当 时， ，此时外接球的体积为 ，即点 与点
重合时，三棱锥 外接球体积取最小值 ，故 D正确．
14． ， 或 ，
即 或 ，故点 在如图直线族中，
表示点 与点 距离的平方，
又相邻两直线的距离 ，所以 的最小
值 ，故 M的最大值为 ．
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15．（1）∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,∴当 时， ，
∴ ,整理得： ,
即 ,∴
，显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）
∴
16（1）设 “第 （ 1，2，3）个球甲发球成功”，
“第 （ 1，2，3）个球乙发球成功”， “在前两个球发完后，甲共得 2分”，
则 ，且 与 相互独立， 与 相互独立， 与 互斥，
所以 .
（2）X的可能取值为 0，2，4，6.
，
，
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，
.
的分布列为：
0 2 4 6
P
故 .
17．（1）当 时，则 ， ，可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，所以切线方程为 ，即
.
（2）因为 的定义域为 ，且 ，
若 ，则 对任意 恒成立，可知 在 上单调递增，无极值，不合题意；
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，则 有极小值
，无极大值，由题意可得： ，即
，
构建 ，则 ，可知 在 内单调递增，且
，
不等式 等价于 ，解得 ，所以 a的取值范围为 ；
18．（1）因为 ABCD为菱形，所以 ，设 AC，BD交于点 ，则 ，
又因为 ，所以 ，因为 ，AC， 平面 PAC，所以 平面 PAC
．
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（2）（i）取 PC中点 ，则 且 ，由 知 ，
所以 ，即 四点共面，因为 平面 PEC，
平面 OBEF，平面 平面 ，所以
，因此 OFEB是平行四边形，故 ，
即 ．
（ii）由（1）可知， 平面 PAC，因为 平面 ABCD，所以平面 平面 PAC，因
为平面 平面 ，所以在平面 PAC内作 Oz垂直于 AC，如图，以 为原点，建
立空间直角坐标系 ，
由题意可知 ， ， ， ，
因为 ，且 ，所以 ， ，
因此 ， ， ，
， ，
由此可知 ，
设平面 PBD的一个法向量 ，
则 ，也即 ，令 ，得 ，设平面 PEC的一个
法向量 ，则 ，也即 ，
令 ，得 ，所以 ，
所以平面 PBD与平面 PEC夹角的余弦值为 ．
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19．（1）由题意有 ，所以 .
设椭圆焦距为 ，易知椭圆过点 ，所以 .又 ，所以 .
所以 ，即 ，解得 .
所以 ， ，故 的标准方程为 ．
（2）（ⅰ）设 ， ， ，则 ，由题意有 ．
直线 的斜率即 的斜率为 ，所以直线 的方程 .
所以 ，又 ， 在椭圆上，
∴ ，∴ .
∴ ，∴
.
（ⅱ）∵ ，而 ， ，由（ⅰ）
知 ，∴ ，又 ，∴
，
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当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 ． 的最小值为 ．
第 9 页 共 9 页高三二模适应性考试
数学试题
2026.4.29
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1.已知集合A={-2,-1,0,1},B={x2x2+3x≤0，则A∩B=()
A.{-2,-1,05B.{-2,1}
C.{0,
D.{-1,0}
2.已知复数z=a+i
的实部与虚部相等，则实数a的值为()
1-2i
A.-3
B.3
c.-1
D.1
3.定义在R上的函数f(x)为奇函数，且f(x+1)为偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=2-1,则
f(3)+f(⑧)=()
A.-1
B.0
C.1
D.2
1+1-2022),若4=2,4=号则a,=（）
2
4.在数列{a}中，已知
一十
du d-1 dn
3
B.2
0.S
5.已知圆C:x2+y2-4y+3=0与圆C2:(x-3)2+(y+2)2=(a>0)有且仅有三条公切线，则
a=()
A.2
B.3
C.4
D.5
tan(a-元)
6.已知角a的终边经过点P(4,-3),则cos3
的值为()
π+C
2
A
B.
3
4
4
7.已知函数f(x)=
e
1-x
关于x的方程2f2(x)=3a|f(x)川-2有且仅有4个不同的实根，则实
数a的取值范围为()
A.(e2,2e2)
B.
e
c.(e,e2)
第1页共4页
B,椭圆C:千+1a>b>0)的左、右焦点分别为R、乃，C上点P位于第一象限内，O为
坐标原点，OM=O,线段PR与y轴交于点N0,1)且MN丽，若△PRR的面积等于85，
则cos∠PFF2=（)
A.43
8.3V5
1
>
c.月
0.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
1】
9.已知平面向量ā=x,-2
,b=(x,x+3),则下列说法错误的是()
7
A.当a∥b时，
3
B.若aLb,则x=三或x=-l
c当x三-2时，万在a方向上的投影向量为40
。.若石和万的夹角为锐角，则x的取值范国为1到
10.△ABC中，满足sinA:sinB:sinC=2:√7：3，且S。4c=6W3,则()
A.△ABC三个内角A、B、C满足关系A+C=2B
B.△ABC的周长为10+2W7
C.若∠B的角平分线与4C交于D,则BD的长为
5
D.设B为△ABC外接圆上任意一点，则A亚AC的最大值为14+28W5
3
11.已知在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，M为侧面ADDA内一点（包含边界），则
下列结论正确的是()
A.若AC⊥平面BDM,则DM的最大值为√
B.若点M在线段AD上，则AM+MC的最小值为1+√2
C.存在点M,使得点A和点C到平面AMB的距离相等
D.三棱锥M-BCB外接球的体积的最小值是
16
第2页共4页

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