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２０２６年度山东省职教高考教学质量提升摸底诊断分析
数学参考答案
一、选择题
１．D　【解析】　因为集合A＝{x|x＋１＞０}＝{x|x＞－１},集合B＝{－２,－１,２,３},所以A∩
B＝{２,３}．故选 D．
a＋１＝５,
２．D　【解析】　 因 为 (a＋２i)＋(１－i)＝５＋bi,即 (a＋１)＋i＝５＋bi,则 { 解 得b＝１,
{a＝４,所以, ab＝４．故选 D．b＝１
３．B　【解析】　因为a＞０,b＞０,由lga＋lgb＝lg(ab)＝０,可得ab＝１,由ab＝１ a＝b＝１;
但由a＝b＝１ ab＝１．因此,已知a＞０,b＞０,则“lga＋lgb＝０”是“a＝b＝１”的必要不充分
条件．故选B．
４．B　【解析】
１
　由题意可知x＋２y－２＝０的斜率为－ ,所以与其垂直的直线的斜率为２ ２
,由
点斜式可知所求直线方程为y－２＝２(x＋１),即２x－y＋４＝０．故选B．
５．A　【解析】　因为在对数函数中,a＞０且a≠１,所以二次函数图像开口向上,排除C,D;当０＜
a＜１时,二次函数的顶点在(０,１)点的下方,当a＞１时,二次函数的顶点在(０,１)点的上方,
由图可知 A,B选项中a＞１,此时对数函数y＝logax 为增函数,A 符合．故选 A．
６．C　【解析】　由不等式－x２－３x＋４≥０,得x２＋３x－４≤０,解得－４≤x≤１,所以原不等式
的解集是[－４,１]．故选C．
７．D　【解析】
１ １
　因为f(x)＝２x＋
(１＋a)是奇函数,所以１＋a＝０,即a＝－１;因为g(x)＝ x２３ －
(b－３)x＋２是偶函数,所以－(b－３)＝０,即b＝３,所以a－b＝－４．故选 D．
８．C　【解析】　根据离散型随机变量分布列的性质,得０．２＋０．４＋m＋n＝１,因为n＝３m,所以
４m＝０．４,则m＝０．１,n＝０．３．故选C．
９．B　【解析】　因为圆心坐标为(３,３),且与x 轴相切,所以半径r＝ ３,则圆的标准方程为
(x－３)２＋(y－ ３)２＝３．故选B．
１０．D　【解析】　先利用捆绑法将相邻的１号和３号作品看成一个元素,再与２号和６号作品进
行排列共有 A２ ３ ２２A３＝１２种结果,然后将不能相邻的４号和５号利用插空法进行排列共有 A４＝
１２种结果,因此共有１２×１２＝１４４种不同的展出方法．故选D．
１
１１．D　【解析】　|a－b|＝ (a－b)２ ＝ |a|２－２a b＋|b|２ ＝ ４－２×２×４×２＋１６＝２３．
故
选D．
１２．B　【解析】　对于选项 A,因为f(x)＝x,g(x)＝ x２ ＝|x|,所以f(x)与g(x)不是同一
函数;对于选项B,因为f(x)与g(t)的定义域均为(－∞,０)∪(０,＋∞),且对应法则相同,
x＋１≥０,
所以f(x)与g(t)表示同一函数;对于选项C,由{ 得x≥１,所以, f(x)的定义域为x－１≥０
— １ —
[１,＋∞),由x２－１≥０,得x≤－１或x≥１,所以g(x)的定义域为(－∞,－１]∪[１,＋∞),
所以f(x)与g(x)不是同一函数;对于选项 D,因为f(x)的定义域为(０,＋∞),g(x)的定
义域为(－∞,０)∪(０,＋∞),所以f(x)与g(x)不是同一函数．故选B．
１３．B　【解析】　因为lga２,lga２０２５是方程x２－４x＋１＝０的两个解,所以lga２＋lga２０２５＝４,
即lg(a２a２０２５)＝４,解得a２a２０２５＝１０４,所以a１a ４２０２６＝a２a２０２５＝１０ ．故选B．
r
１４．A　【解析】　因为只有第６项的二项式系数最大,所以n＝１０,则T ＝Crr＋１ １０x１０－r
１
－ ÷
è x ＝
( １０×９－１)rCrx１０－２r１０ ,令１０－２r＝６,解得r＝２,所以含x６的项的系数为(－１)２C２１０＝２×１＝４５．
故选 A．
１５．D　【解析】　y＝－cos２x－２sinx＝sin２x－２sinx－１＝(sinx－１)２－２,因为sinx∈[－１,１],
所以当sinx＝－１时,函数取得最大值,即ymax＝(－１－１)２－２＝２．故选D．
１６．A　【解析】　因为f(x)＝g(－x),所以指数函数f(x)与指数函数g(x)的图像关于y 轴
对称,所以两个底数互为倒数,即ab＝１,所以lg(ab)＝０．故选 A．
１７．B　【解析】　从４个标号不同的小球中不放回地依次取出２个,总共有４×３＝１２种取法,
“a＋b为偶数”的情况有(１,３),(３,１),(２,４),(４,２),共４种情况,所以事件“a＋b 为偶数”
４ １
的概率为
１２＝ ．
故选
３ B．
x
１８．D　【解析】　选项 A,由题可得x＝５a,y＝１２a,r＝ x２＋y２ ＝１３|a|,故cosα＝r ＝
５a , ５ ５即当
１３|a| a＞０
时,cosα＝ ,当a＜０,cosα＝－ ,故 A 错误;选项B,若α是第三象限１３ １３
３π π α ３π α
角,则π＋２kπ＜α＜ ＋２kπ(k∈Z),即２ ２＋kπ＜２＜４＋kπ
(k∈Z),故当k 为偶数时,２
α
为第二象限角,当k为奇数时, 为第四象限角,故B错误;
３
选项C,因为２ sinα－cosα＝
,则
５
(sinα－cosα)２
９, ９ １６ π＝ 即２５ １－２sinαcosα＝
,所以２sinαcosα＝ ,因为０＜α＜ ,所以２５ ２５ ２ sinα＞
０,cosα＞０,即sinα＋cosα＞０,所以sinα＋cosα＝ (sinα＋cosα)２ ＝ １＋２sinαcosα＝
４１,故C错误;选项 D,由sin π ＋α÷ ＜０得cosα＜０,tan(π－α)＞０得tanα＜０,所以５ ２ αè
为第二象限角,故 D正确．故选 D．
２ ２
１９．D　【
y
解析】 x b　因为双曲线a２－ ２＝１
(a＞０,b＞０)的渐近线方程为y＝± ２x,所以 ,b a ＝ ２
c２２ a
２＋b２ b２
则e ＝ ２＝ ２ ＝１＋ ２＝３,所以双曲线的离心率为a a a ３．
故选 D．
２０．A　【解析】　如图,连接AE,取AE 的中点G,连接FG,BG．因为
点G,
１
F 分别为AE,AD 的中点,所以FG∥ED 且FG＝ ED,则２
∠BFG 为异面直线ED 与BF 所成角．因为点E,F 分别为BC,
AD 的中点,且 AB＝BD＝DC＝CA＝７,所以在 Rt△ABE 中,
— ２ —
AE＝ AB２－BE２ ＝４３,同理可得DE＝BF＝４３,则FG＝EG＝２ ３,在 Rt△BGE 中,
２ ２ ２ ( )２ ( )２ ２
２ ２ , GF ＋BF －BG ２３ ＋ ４３ －
( １３)
BG＝ BE ＋EG ＝ １３ 故cos∠BFG＝ ２ GF BF ＝ ＝２×２３×４３
４７, ４７即异面直线
４８ ED
与BF 所成角的余弦值为 ．故选４８ A．
二、填空题
２１．５　【解析】　因为向量a＝(２,１),b＝(m,－５),所以a－b＝(２－m,６),又a⊥(a－b),所以
２(２－m)＋６＝０,解得m＝５．
２２．１９　【解析】
１
　由题可得S△ABC＝２acsinB＝１０３
,解得a＝８,因为b２＝a２＋c２－２accosB＝
８２＋(５３)
２ ３
－２×８×５３× ＝１９,所以２ b＝ １９．
ì ７－m＞０,
２３．(６,) 【

７ 　 解析】　因为是焦点在y 轴上的椭圆,所以 ím－５＞０, 解得６＜m＜７,所以m

m－５＞７－m,
的取值范围是(６,７)．
２４．９５８　【解析】　由题意,将１０００名学生分为２０组,每组间距为５０,因为抽取的最小编号为
８(即第一组抽取的编号),则抽取的最大编号为８＋(２０－１)×５０＝９５８,所以抽取的最大编
号为９５８．
２５．１２　【解析】　由题可得C１:y２＝－８x 的焦点F１(－２,０),C２:y２＝４x 的焦点F２(１,０)．设直
２ ２ ２ ２
线的方程为y＝t,
t t
得 M t － , ,
t
÷ , ÷ 由抛物线定义得
８t N ４t ． |MF１|＝２＋
,
８ |NF２|＝è è ４＋
t２ t２
１,则２＋ ＝ ＋１,解得t２＝８,即 M(－１,t),N(２,t),所以８ ４ |MF１|＝|NF２|＝|F１F２|＝
|MN|＝３,故四边形 MF１F２N 的周长为４×３＝１２．
三、解答题
０＋m
２６．【解】　(１)因为f(０)＝ ,( 分)０－１＝－１ １
所以m＝１,(１分)
则f( )
x＋１
x ＝ ,x－１
１
＋１
故 １ x x＋１g(x)＝f ÷x ＝ ＝
(x≠１)(１ １－x ．１
分)
è
x－１
(２)证明:设任意的实数x１,x２∈(１,＋∞),且x１＜x２,(１分)
( ) x ＋１ x ＋１ ２
(x －x )
则g x２ －g(x１)＝
２ － １ ２ １ ,( 分)１－x２ １－x ＝ １１ (１－x１)(１－x２)
(
, , , , ２x２－x
)
因为当１＜x１＜x２ 时 １－x１＜０１－x２＜０x２－x１＞０ 即
１
(１－x１)(
,( 分)
１－x )＞０ １２
所以g(x２)－g(x１)＞０,即g(x１)＜g(x２),
— ３ —
故函数g(x)在区间(０,＋∞)上为增函数．(１分)
,
２７．【解】 () , {A＋B＝１　 １ 由S１＝１S２＝３得 ４A＋２B＝３,
ì １A＝ ,
２
解得 í (１分)
１
B＝２．
所以 １ １Sn＝ ２２n ＋２n．
当n＝１时,a１＝S１＝１;(１分)
当 １ １n≥２时,a ２ é１ ２ １ ùn＝Sn－Sn－１＝ n ＋ ê ( ) ( )ú ( 分)２ ２n－ ê２ n－１ ＋２ n－１ ú ＝n．１
经验证,当n＝１时,满足an＝n．
因此,数列{an}的通项公式为an＝n．(１分)
(２)因为bn＝３an ＋n＝３n＋n,(１分)
所以Tn＝b１＋b２＋b３＋ ＋bn
＝３＋１＋３２＋２＋３３＋３＋ ＋３n＋n
＝(３＋３２＋３３＋ ＋３n)＋(１＋２＋３＋ ＋n)
３(１－３n) n(n＋１)
＝ ( 分)１－３ ＋ ２ ２
３ ( )
＝－ ( n)
nn＋１
２ １－３ ＋ ２
３n＋１＋n２＋n－３
＝ ２ ．
n＋１ ２
因此,数列{bn}的前n 项和
３ ＋n ＋n－３
Tn＝ ( 分)２ ．１
２８．【证明】　(１)如图,连接BD,因为底面ABCD 是平行四边形,O 为AC 的中点,
所以O 为BD 的中点．(１分)
又因为M 为PD 的中点,
所以OM 是△PBD 的中位线,则OM∥PB．(１分)
因为OM 平面ACM,PB 平面ACM,
所以PB∥平面ACM．(２分)
(２)因为∠ADC＝４５°,AD＝AC,所以∠ACD＝∠ADC＝４５°,(１分)
— ４ —
则∠DAC＝１８０°－∠ADC－∠ACD＝１８０°－４５°－４５°＝９０°,即AD⊥AC．(１分)
因为PO⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,
所以PO⊥AD．(１分)
又因为AC∩PO＝O,AC 平面PAC,PO 平面PAC,
所以AD⊥平面PAC．(１分)
２９．【解】　(
１ ３
１) (x)＝sin πf x

＋ ÷３ cosx＋２sin
π
２x＋ ÷ －
è è ３ ４

＝ １ ３
１ １ ３ ３
２sinx＋２cosx
÷cosx＋ ２ ２sin２x＋ cos２x
÷ －
è è ２ ４
１ ３ ２ １ ３ ３＝２sinxcosx＋２cosx＋４sin２x＋４cos２x－４
１ ３ cos２x＋１ １ ３ ３
＝４sin２x＋２× ２ ＋４sin２x＋４cos２x－４
１ ３
＝２sin２x＋２cos２x＝sin
πx ２ ＋ ÷ ,(２分)
è ３
令 π π π－２＋２kπ≤２x＋３≤２＋２kπ
,k∈Z,(１分)
解得 ５π π－１２＋kπ≤x≤１２＋kπ
,k∈Z,
即函数 é ５π πf(x)的单调递增区间为 êê－ ＋kπ, ＋kπú
ù , (
１２ １２ ú k∈Z．１
分)

(２)因为x∈ êéê０,
πù
úú ,所以
π
２ ２x＋３∈
éπ ４πù
ê
ê , úú ,(１分) ３ ３
则当 π π２x＋ ＝ ,即
π时,函数 ( )取最大值,最大值为 π π
３ ２ x＝
÷
１２ f x f １２ ＝sin２＝１
;(１分)
è
当 π ４π π２x＋ ＝ ,即x＝ 时,函数f(x)取最小值,最小值为
π ４π ３
f ÷３ ３ ２ ２ ＝sin ＝－
,( 分)
è ３ ２ １
所以函数 (x)在区间 éê ,πù
é ù
f ê０ úú 上的值域为 ê
３, ú
２ ê－２ １ ú
．(１分)
２ ２
３０．【解】　(
y
１)由焦点在y 轴上,可设椭圆的标准方程为
x
２＋ ２＝１(a b a＞b＞０
)．
由椭圆上一点P 到两个焦点的距离之和为２２,焦距为２,
ì２a＝２２, ì a＝ ２,

得 í２c＝２, 解得 íc＝１, (２分)
a２＝b２＋c２, b＝１,
y２
所以椭圆的标准方程为
２＋x
２＝１．(１分)
(２)由(１)可得上焦点F１(０,１),
则可设直线l:y＝kx＋１,代入椭圆方程得(k２＋２)x２＋２kx－１＝０,(１分)
— ５ —
设A(x１,y１),B(x２,y２),由韦达定理得
２k １
x１＋x２＝－ ,k２＋２x１x２＝－k２＋２．
由OA→ OB→＝xx ＋yy ＝０,则(k２１ ２ １ ２ ＋１)x１x２＋k(x１＋x２)＋１＝０,
(－１) ( )即(k２ )
－２k
＋１ ２ ＋k ２ ＋１＝０,解得
１
k２＝ ,由椭圆的对称性,可取
２
k ＋２ k ＋２ ２ k＝
,(１分)２
则 ６２|AB|＝ １＋k２ (x ＋x )２１ ２ －４x１x２ ＝ ,(１分)５
为使S△PAB最大,则点P 为与直线l平行的直线l１ 且与椭圆相切的切点,故可设直线l１:y＝
ì ２
y＝ x＋m,２ ２
x＋m,联立í 整理得５x２２ ＋２２mx＋２m
２－４＝０,
２
x２
y
＋ ＝１, ２
２
由于直线l１ 与椭圆相切,则
１０
Δ＝(２２m)－４×５ (２m２－４)＝０,解得m＝± ,(２ １
分)
１０ １－ － ÷
则点P 到直线l的最大距离
２ ６＋ １５
d è ＝ ＝ ,(１分)
２ ３
１２＋ ２÷
è ２
故( １ １ ６２ ６＋ １５ ２３＋ ３０S△PAB)max＝ ２ |AB|
d＝ ( 分)２× ５ × ３ ＝ ５ ．１
— ６ —

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