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广东省东莞市2026年高三年级四月综合测试（二模）数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1.复数的实部为（ ）
A.3 B.-3 C.2 D.-2
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A.64 B.56 C.38 D.8
4.设为两个不同平面，为一条直线，则的充分条件可以是（ ）
A. B. C. D.
5.已知对于任意的，都有成立，则（ ）
A.-1 B.0 C. D.1
6.已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（ ）
A. B. C. D.
7.椭圆的左、右焦点为为坐标原点，为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知，若恒成立，则（ ）
A.0 B.1 C.e D.3
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
9.若为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（ ）
A.的夹角为 B.
C. D.
10.某数学建模活动小组为了测量山脚下A，B两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中CD与水平面ABC垂直.在已知山高CD的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定A，B两点间距离的是（ ）
A. B.
C. D.
11.若直线与曲线相交于不同两点，曲线在A，B点处的切线交于点，设AP的斜率为的斜率为，则（ ）
A.时， B.
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
12.已知抛物线的焦点为，点在上.若，则到轴的距离为__________.
13.写出一个同时具有下列性质①②③的函数：__________.
①；②任意，都有；③是偶函数.
14.为响应“缤纷寒假，探索实践”活动，某同学计划去2个展馆类景点和4个公园类景点打卡，已知其每日随机选择一个景点打卡（不重复打卡），设为打卡完某一类所有景点需要的天数，则的概率为__________，的期望__________.
四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．
15.（本小题满分13分）为探索“五育融合”育人项目，某市在中小学全面开展志愿服务实践课程，并建立了学生志愿服务日参与情况的常态化统计机制．下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与志愿服务的学生人数（单位：万人）.
月份编号 1 2 3 4 5
平均参与人数（单位：万人） 0.5 0.7 1 1.3 1.5
（1）已知与之间线性相关，求关于的经验回归方程，并预测第6个月的日平均参与志愿服务的学生人数；
（2）假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万人）服从正态分布，并视（1）所求第6个月的日平均参与人数的预测值为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万人的天数是否不少于25天.
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率
.②若，则
16.（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面，，.
（1）求平面PBC与平面ABCD所成角的余弦值；
（2）已知E，F分别为线段PB，PC上的动点，是否存在这样的点E，F，使得A，E，F，D四点共面、且该平面与平面PBC垂直？若存在，请确定点E，F的位置；若不存在，请说明理由.
17.（本小题满分15分）设a为非负实数，函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若恒成立，求的最小值.
18.（本小题满分17分）已知反比例函数的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线，将曲线绕原点顺时针旋转，得到曲线，设曲线的左顶点为.
（1）求的坐标及曲线的标准方程；
（2）若B，C为曲线右支上不同两点，为的垂心，为关于原点的对称点，证明：
（i）点在曲线上；
（ii）A，B，C，E四点共圆.
19.（本小题满分17分）进位制是人们为了计数和计算方便而约定的记数方式，通常“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；…；满几进一，就是几进制”.记十进制下的自然数在三进制下的表示为，则，其中，例如十进制数，所以19在三进制下可写为.
（1）设正整数在三进制下的各位数字之和；
（i）将满足的正整数从小到大排成一列，写出该列数的前四个数；
（ii）证明：；
（2）已知正整数，设正项数列的前项和为，且，，证明：（其中[x]表示不大于的最大整数）.
2026年高三年级综合测试数学参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B B D C A D
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 ABD AD ACD
三、填空题
12.1
13.（答案不唯一）如等
14.（前2分，后3分）
四、解答题
15.解：（1）设所求的线性回归方程为，
1分
， 2分
3分
4分
5分
所以 6分
所以 7分
（2）当时，，则 8分
由正态分布性质，可知. 9分
因为， 10分
所以. 11分
因为， 12分
所以该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天． 13分
16.解：（1）方法一：因为，所以，即 1分
因为平面平面ABCD，所以， 2分
又因为平面平面PAB，所以平面PAB， 3分
因为平面PAB，所以， 4分
所以为平面PBC与平面ABC所成的角， 5分
因为，所以，
即平面PBC与平面ABC所成角的余弦值为； 6分
方法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示，
， 1分
则， 2分
设平面PBC的法向量为，则，即， 3分
令，则，所以， 4分
因为底面ABCD，所以平面ABC的法向量为， 5分
因此平面PBC与平面ABC所成角的余弦值为 6分
（2）方法一：取线段PB上的中点，因为，所以， 7分
由（1）可知平面平面PAB，所以， 8分
又因为平面平面PBC，所以平面PBC， 9分
因为平面ADE，所以平面平面PBC， 10分
延长DA、CB交于点，连接GE，并延长GE交线段PC于点，则A，E，F，D四点共面，
过点作，交CB延长线于点， 11分
因为，所以① 12分
因为，所以② 13分
联立①②可得，即， 14分
所以存在这样的点E，F满足题意，此时点位于线段PB上的中点、点位于线段PC上靠近点的三等分点． 15分
方法二：取线段PB上的中点，因为，所以， 7分
由（1）可知平面平面PAB，所以， 8分
又因为平面平面PBC，所以平面PBC， 9分
因为平面ADE，所以平面平面PBC， 10分
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示，
，
假设存在这样的点，使得A，E，F，D四点共面，不妨设（其中）， 11分
则， 12分
因为存在唯一的有序实数对，使得，
所以， 13分
解得，此时， 14分
所以存在这样的点E，F满足题意，此时点位于线段PB上的中点、点位于线段PC上靠近点的三等分点． 15分
方法三：以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示，
，
假设存在这样的点E，F，
不妨设（其中），（其中）， 7分
则 8分
设平面ADE的法向量为，则，即，
令，则，所以， 9分
因为平面ADE与平面PBC垂直，由（1）可得平面PBC的法向量为 10分
由，可得，此时， 11分
又因为A，E，F，D四点共面，所以存在唯一的有序实数对，使得，
即， 13分
解得，此时， 14分
所以存在这样的点E，F满足题意，此时点位于线段PB上的中点、点位于线段PC上靠近点的三等分点． 15分
17.解：（1）当时，， 1分
所以， 2分
， 3分
当时，，令，得， 4分
令，得， 5分
故的减区间为，增区间为； 6分
（2）由恒成立，即， 7分
令，则 8分
因为，
当时，由（1）知，在上单调递增，在单调递减， 9分
故此时，
所以，的最小值为； 10分
当时，， 11分
当时，易得为减函数， 12分
时，，
由零点存在性定理得，存在，使得， 13分
在上单调递增，在单调递减，故此时
， 14分
此时，综上：的最小值为. 15分
18.解：（1）因为的两条渐近线为两条坐标轴，对称轴为，顶点坐标分别为，，实半轴长为， 1分
将曲线绕原点顺时针旋转得到曲线，则是焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为，实半轴长为， 2分
所以的左顶点的坐标为， 3分
所以曲线的标准方程为： 4分
（2）（i）方法一：
证明：因为曲线是曲线绕原点顺时针旋转得到，不妨设曲线上的点A，B，C分别对应曲线上的点，曲线的方程为，则的坐标为， 5分
设点为的垂心，，且． 6分
所以直线的斜率， 7分
边的高所在的直线的方程为，① 8分
同理：边的高所在的直线的方程为，② 9分
因为垂心同时在上，联立①②，得即. 10分
所以的垂心在曲线上．将曲线上的点绕原点顺时针旋转后得到曲线上对应的点分别为A，B，C，D，则的垂心在曲线上. 11分
方法二：
证明：因为B、C为曲线右支上不同的两点，设，设的垂心为，有，， 5分
恒成立，①
恒成立，② 6分
①式两边同时乘以，得，又因为，
所以有恒成立．③ 7分
同理，②式两边同时乘以，化简可得恒成立，④
③-④，得：恒成立，⑤ 8分
因为为的垂心，
所以有恒成立．⑥ 9分
⑤式两边同时乘以，得恒成立，⑦
⑥式两边同时乘以，得恒成立⑧
⑧-⑦，得恒成立， 10分
当时，恒成立，即的垂心在曲线上.
当时，的垂心是双曲线的右顶点，综上的垂心总在曲线上. 11分
方法三：
证明：因为B、C为曲线右支上不同的两点，
当BC的斜率不存在时，不妨设，则有，
所以BC边上的高所在的直线方程为，则与双曲线交于点， 5分
下证为的垂心．
因为，
所以，所以，
，所以，
即为的垂心，所以垂心在曲线右支上． 6分
当BC的斜率存在时，设直线BC的方程：，
联立，得，
所以有， 7分
所以有， 8分
则BC边上的高所在的直线方程为，交双曲线右支于点，交左支于点，联立，可得，
所以有，即，
即 9分
下证为的垂心.
因为，
，
所以③
因为，代入③中，可得：
所以， 10分
同理可得，
即为的垂心，因为所以垂心在曲线右支上.
综上所述：的垂心在曲线上. 11分
方法四：
证明：因为B、C为曲线右支上不同的两点，
当BC的斜率不存在时，由双曲线的对称性不妨设，
所以BC边上的高所在的直线方程为，
AC边上的高所在的直线方程为，
联立可得，，因为点在双曲线上，有，所以，
即垂心的坐标为，显然点在曲线右支上； 5分
当或时，不妨设，则边AC的高所在的直线方程为，边AB的高所在的直线方程为，联立可得，
因为，所以在曲线上． 6分
当BC的斜率存在时，设，且，
设直线BC的方程：，联立，得，
所以有， 7分
所以有， 8分
所以AB边上的高所在的直线方程为，①
AC边上的高所在的直线方程为，②
设垂心的坐标为，联立①、②，
得， 9分
即垂心的横坐标
所以. 10分
又因为垂心必然在BC边上的高所在的直线方程上，
所以，即有，
因为，所以，即垂心在曲线的右支上.
综上所述：的垂心在曲线上. 11分
（ii）方法一
证明：由（i）可知，曲线上的点A，B，C，D分别对应曲线上的点，有的垂心在曲线上，则关于原点的对称点也在曲线上. 12分
由双曲线的对称性，不妨设点在直线的上方，在直线的下方，因为，
所以直线的斜率都存在．即，
， 13分
当时，所以，
， 14分
即有，所以．
所以四点共圆. 15分
当时，，所以，
所以，所以 16分
同理：可得，即，所以四点共圆.
将点绕原点顺时针旋转后得到对应的点分别为A，B，C，E，
则A，B，C，E四点共圆. 17分
方法二
证明：由（i）可知，点D在双曲线右支上，因为双曲线的图像关于原点中心对称，为关于原点的对称点，所以点在双曲线的左支上.
当BC的斜率不存在时，不妨设，此时垂心的坐标为，则关于原点的对称点与点重合.因为存在外接圆，所以A，B，C，E四点共圆. 12分
当BC的斜率存在时，设直线BC的方程为，
由双曲线的对称性，不妨设点在直线AC的上方，点在直线AC的下方，则此时AB，AE，CE的斜率都存在，设点，点，
因为点为垂心，且，所以，即，
又因为，即， 13分
因为，所以，
因为，所以， 14分
当时，此时有，即，所以
则A，B，C，E四点共圆； 15分
当时，即，此时有，
，则， 16分
即，则A，B，C，E四点共圆.
综上所述：A，B，C，E四点共圆. 17分
方法三
证明：由（i）可知，点D在双曲线右支上，因为双曲线的图像关于原点中心对称，为关于原点的对称点，所以点在双曲线的左支上．
当BC的斜率不存在时，不妨设，此时垂心的坐标为，则关于原点的对称点与点重合.因为存在外接圆，所以A，B，C，E四点共圆. 12分
当BC的斜率存在时，设直线BC的方程为，
由双曲线的对称性，不妨设点在直线AC的上方，点在直线AC的下方，则此时AB，AE，CE的斜率都存在，设点，
则， 13分
因为，
则
因为，
代入得：
即
所以 15分
当时，此时有，即，所以
则A，B，C，E四点共圆； 16分
当时，即，此时有，
，则，
即，则A，B，C，E四点共圆.
综上所述：A，B，C，E四点共圆. 17分
19.解：（1）（i）5、7、11、13 4分
（ii）设，其中
则， 5分
因为， 6分
所以， 7分
同理，， 8分
所以，所以. 9分
（2）因为，所以，即，
由数列为正项数列，则，所以. 10分
又因为，则，
所以，所以 11分
则，两式作差得，
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，可得. 12分
方法一：
因为，设，
当时，；
当时，，
当时，，
所以，即 13分
当时，；
当时，，
当时，，
所以，
即 14分
同理可得
， 15分
当时，，所以 16分
所以
．证毕 17分
方法二：上接，
对任意实数，记，其中
当时，
当时，
当时，
故对任意实数，恒有，
则. 15分
代入，得，
取正整数满足，则，记，
则，
当，故，得证． 17分

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