资源简介

广东省广州市2026届高三下学期普通高中毕业班综合测试（二）
数学试卷
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，复数在复平面内对应的点在虚轴上，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知非零向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（ ）
A. B. C. D. 9
6. 已知，且，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的渐近线上，且满足，则的离心率为（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
8. 若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，则（ ）
A. 是的一个周期 B. 是图象的一条对称轴
C. 的最大值为 D. 在内单调递减
11. 在棱长为1的正方体中，点在线段（包括两端点）上运动，点为线段的中点，则（ ）
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得平面
C. 当时，经过点A，C，E的平面将正方体分成体积之比为3:1的两部分
D. 当的面积为时，三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 展开式中常数项是______．
13. 某人工智能博览会有4个不同的场馆，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为，则的数学期望为____________．
14. 已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （13分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若的面积为2，求的周长．
16. （15分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若是函数的极值点，证明：．
17. （15分）如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求直线与直线AC所成角的余弦值．
18. （17分）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3．
（1）求的方程：
（2）已知点，过点的直线交于E，F两点在轴的下方），直线BF交直线于点．
（i）设直线ME的斜率为，直线MF的斜率为，判断是否为定值，并说明理由；
（ii）证明：直线ME过定点．
19. （17分）从中任取3个不同的数，且这3个数从小到大构成一个等差数列，这样的等差数列共有个，这个等差数列的所有项之和为．
（1）写出的值；
（2）求；
（3）求．
参考答案及解析
1. 答案：D
解析：根据绝对值不等式性质得：，
不等式两边同时加1可得：，
即，
又因为集合，
所以.
2. 答案：C
解析：由复数的除法得，
又因为复数在复平面内对应的点在虚轴上，所以，解得.
3. 答案：A
解析：由可得：，
整理可得：，
根据数量积定义可得：，
又因为，
所以，
又因为为非零向量，所以，
所以等式约去，整理可得：.
4. 答案：A
解析：由二倍角的正弦、余弦公式，且，所以，
得：
.
5. 答案：B
解析：因为两个函数图象关于直线对称，
所以是的反函数，
对整理得：，，
交换可得反函数：，
又因为，所以 ，
化简可得：，即，
两边取以3为底的对数，则.
6. 答案：B
解析：由，，得，
对于A，，A正确；
对于B，取，则，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，显然，则，D正确.
7. 答案：C
解析：点在的渐近线上，且满足，
所以在中，而，则，
所以，
又双曲线的渐近线方程为，
所以，所以离心率.
8. 答案：B
解析：函数的定义域为R，求导得，
当时，恒成立，函数在R上单调递增，最多一个零点，不符合题意；
当时，由，得；由，得或，
令，则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，
而当时，，当时，，
由函数有且仅有两个零点，得，即，或，即，
则，令，则，令函数，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以的最小值为.
9. 答案：AC
解析：对于A，由题意得：，，正确；
对于B，，，错误;
对于C，，正确；
对于D，，错误.
10. 答案：ACD
解析：函数的定义域为R，
对于A，，
因此是的一个周期，A正确；
对于B，，，
因此不是图象的对称轴，B错误；
对于C，，，因此，
而当时，，所以的最大值为，C正确；
对于D，求导得，
当时，，则，
因此，函数在内单调递减，D正确.
11. 答案：BCD
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
设
对于 ， ，若 ，则 ，即 不符，故 错.
对于 ：设平面 的法向量为 则
令则
则平面 的法向量 ，
若 平面 ，则 0，即 ，故存在这样的点 故选项B正确；
选项C：由设则故解得：
假设经过点A，C，E的平面将正方体分成体积之比为3：1的两部分，
连接过点做与平行，与交于点
作直线可知三条直线交于点
所以多面体为三棱台，
则三棱台体积为
又三棱台体积为
解得：成立，故选项C正确，
对于D，设则又
则
解得： 则与 重合，
即 ，即 与 重合，则球心 为 ， ， ，D 对
设球心为
则利用球心到球表面上的点的距离相等可知：
则， ，
将上面两式代入第三个方程：
即
，则
所以球心为 半径为球的表面积为 ：
，故选项D正确.
12. 答案：
解析：的展开式的通项为，
令，得，
所以展开式的常数项为.
13. 答案：
解析：为被参观的场馆个数，可能取值为，
甲乙各选个场馆，总的选法为种，
（两人选的场馆完全相同）：共种，故，
（两人恰好有1个共同场馆）：甲选2个后，乙从甲的2个中选1个、从甲未选的2个中选1个，共种，故，
（两人选的场馆完全不同）：共种，故，
.
14. 答案：
解析：圆的圆心，半径，
由圆上恰有两个点与点的距离都为2，得以点为圆心，2为半径的圆与圆相交，
则，即，令圆心到直线的距离为，
于是直线上任意点到圆心距离都不小于，又直线上至少存在一点，
使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，因此，即，解得，
所以实数的取值范围是.
15. 答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，，由正弦定理得，
又，
所以有，
由题意得，，所以，得.
（2）由题意得，由，解得，
可得，解得，
由余弦定理，得，
所以的周长.
16. 答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）当时，，，
，，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
令，解得，令，解得，
所以三角形的面积是：.
（2），，
，
因为是函数的极值点，所以且，即，
因为，所以，所以，解得，
，将代入得：，
令，，
，
令，，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
所以，所以在上单调递减，所以，
所以.
17. 答案：（1）
（2）
解析：（1）解：过点作 交于点，如图所示，
由知，且，
又因为且，所以平面，
过点作交延长线于点，所以，
又因为，故平面，即为三棱锥的高，
由题知，，则，，，
所以；
（2）解：因为，，解得，所以，
同理可得，所以，，
由图知，
两边平方得：，所以，
又因为，
所以.
18. 答案：（1）
（2）（i） 不为定值.证明见解析.（ii）证明见解析.
解析：（1）因为直线被椭圆所截得的线段的长为3，
所以在椭圆上，代入得，
又，解得：.
（2）设点，
设 ，
由 得，
由 ，得 ，解得 或 ，
又点 ， 在 轴下方，则 ，
由韦达定理得
得 ，即 ，
因为 ，
所以
，
所以 不是定值.
（ii）证明：
由（i）得
则直线 的方程为 ，
即 ，
当 时，得 ，
所以必过定点.
19. 答案：（1），
（2）
（3）
解析：（1）当时，等差数列为所以
当时，所以
所以.
（2）对 的奇偶性进行分类讨论：
当 为偶数时，设 ：集合中共有 个奇数和 个偶数.从中任取2个同奇或2个同偶的数，方法数为：
将 代入，得：
当 为奇数时，设 ：集合中共有 个奇数和 个偶数.从中任取2个同奇或2个同偶的数，方法数为：
将 代入（此时 ），得：
综上所述：
（3）设所有满足条件的等差数列构成的集合为 ，由第（2）问可知集合 中共有 个元素.
对于任意一个等差数列 ，由于 ，
且 （设公差为 ）.
构造数列 ，显然有：
且
即新数列也是公差为 的等差数列，故 .
原数列各项和为 ，对称数列各项和为 .
将集合 中的等差数列按此对称性求和（对集合 遍历两次），可得：
所以 .
结合第（2）问的结论：当 为偶数时， ，则 ；当 为奇数时， ，则 .
综上所述：
.■
广东省广州市2026届高三综合测试（二)
数学试卷
姓名：
班级：
考号：
考场/座位号：
准考证号
条形码粘贴处
[0[0[0][0]C01C0[0][0][01
C10C1[1]C1
[1]
[2[2[2]
2
3
[3]
[3
[37
注意：1.答题前将个人信息，填写清楚：2.客观题答题修改时用
[3
橡皮擦干净：3主观遐必须使用黑色签字笔书写：4请在对应
[4
[4
[4]
[41
[4
[4
[4]
]
答愿区作答，超出书写无效，
[5
5
[5]
5
[5
[57
5
[6C
[6]
C6
6
[6]
[6]
填涂样例
正确填涂■
[7
7
C7
错误填涂
缺考标记
c8-
[8
回
[9[9[9]
[9
9
[9
[9]
[9]
一、选择题(18为单选题，911为多选题，共计58分)》
1 CA]CB]CC-CD]
6 CA]CB]CC CD]
11 CA][B]CC CD]
2 CA]CB]CC CD]
7 CA]CB]CC CD]
3「A7「B1「C「DT
8「A7「BT「CTD7
4「A7「B7「CD7
9「A7 TBTTC TDT
5[A]B][CD]
10[A][B][C[D]
填空题（每小题5分，共15分）
16.(15分)
12
13
14
三、解答题
15.(13分)
■
■口■
■
■
■
17.(15分)
18.(17分)
19.(17分)
≤A
■

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