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河北保定市2026届高三第二次模拟考试数学试题
注意事项：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个项是正确的．
1．已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2．已知复数，2的虚部是（ ）
A.2 B.2i C.-2 D.-2i
3．，则（ ）
A. B. C.b＜c＜a D.
4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ）
A. B. C. D.
5．生态系统的物种丰富度指数用于评估森林生态系统的健康程度，其中S代表乔木层的物种数，N代表乔木层的个体总数，指数I越大表示生态系统越稳定．某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7，则（ ）
A. B. C. D.
6．若两个随机事件相互独立，满足，则（ ）
A. B. C. D.
7．已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（ ）
A.2026 B.2025 C.1014 D.1013
8．已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．已知四边形ABCD是平行四边形，，则（ ）
A.点D的坐标是（0,1,0） B.
C.四边形ABCD的面积是3 D.坐标原点O到直线AC的距离为
10．函数，则（ ）
A.是偶函数 B.在区间单调递减
C.在有4个零点 D.的最大值为6
11．记等差数列的前n项和为，数列的前k项和为，则（ ）
A.若且，则时，的最小值为21
B.若当且仅当时，取得最小值，则
C.若取最小值时，k有两个不同解，则
D.若以1为首项，以为公差，则数列中存在三项成等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．已知函数，则______________．
13．某厂生产了40000件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于80就认为质量测评合格．现从这批产品的测评数据中随机抽取100件产品的质量指标值）．经计算．若该批产品的质量指标值近似服从正态分布，则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为______________．
参考数据：若随机变量X服从正态分布N，则
14．已知圆锥SO的底面为单位圆，其体积为是底面圆O的直径，圆O内有一条动弦MN垂直于AB，过MN作平面与母线SA交于点，当时，面积的最大值为______________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，．
（1）求的面积；
（2）若D是AB的中点，求CD的最小值．
16．（15分）某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：(0，20]，(20，40]，(40.+∞)一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示．
某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在（0，20］，（20，40］，（），分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率．
（1）若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由；
（2）在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为，求的分布列.
17．（15分）三棱锥中，已知M是PC的中点．，平面平面PBC，．
（1）证明：；
（2）当平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为时，
（i）求PA的长；
（ii）求三棱锥外接球的表面积．
18．（17分）某设计图案由曲线与构成，曲线是以原点O为中心，为焦点的椭圆，曲线是满足的动点P的轨迹，如图所示，是两条曲线的一个交点，已知恰好与曲线相切．
（1）求曲线和的方程；
（2）直线与曲线的另一交点为，直线与曲线另一交点为，求的面积；
（3）作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线l，当直线l与曲线交于两点，与曲线交于两点时，E点关于原点O的对称点为F，若G为CD的中点，点，记直线QG和直线BF的斜率分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
19．（17分）已知函数.
（1）若在定义域上单调递减，求的取值范围；
（2）当时．
（i）若，且．求证：；
（ii）求证：
高三数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．ACD 10．ABD 11．BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12.2 13．39090 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）解：（1）因为三角形中角A,B,C成等差数列，
所以，
由余弦定理知，，
得，又因为，可得，
则，
整理得，根据三角形的面积公式，．
（2）在中，
当且仅当，即时取等号，
此时CD取得最小值为．
16．（15分）解：（1）设“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式的测评得分的均值分别为，
因为，所以“联网搜索”模式的测评得分最高．
（2）三个问题中测评得分相等的问题的个数可能的取值为0,2,3
，
,
，
所以三个问题中测评得分相等的问题的个数的分布列为：
0 2 3
0.108 0.648 0.244
17．（15分）解：（1）证明：在平面PAB内过点作，交PB于，
因为平面平面PBC，又平面平面，所以平面PBC，
则，
因为，所以，
因为，
所以平面PAB，
所以．
（2）因为，所以，
又，
所以平面ABC，
以为原点，分别以所在直线为轴、轴，过垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，设
平面PAC的一个法向量为，
,
则，即，设，则，所以，
，
设平面PBC的一个法向量为，
,
由，即，设，则，得
，
，
设平面PAC与平面PBC夹角为，则
，
解得，即．
（3）由（1）平面PAB知，
取AC的中点，则，
又因为是PC的中点，所以，
则即为三棱锥外接球的球心，半径为2
其外接球的表面积为．
18．（17分）解：（1）设点，
由得的轨迹方程为，
即曲线的方程为，它是以为圆心，以为半径的圆．
因为与相切，所以，
所以，则，
得，
所以曲线方程为．
（2）由（1）知，，
所以轴，则，
直线的斜率为，直线的方程为，与椭圆联立得，
.
（3）设直线，
将直线与椭圆联立得：
则
所以，
又点恰为圆的圆心，而为弦CD的中点，由垂径定理知，
所以，则，
所以，
即为定值．
19．（17分）解：（1）（1）
因为在上单调递减，则恒成立，
即恒成立，即恒成立，
设，
当时，单调递增：
当时，单调递减，
所以，
所以
（2）（i）当时，由（1）知，在上单调递减且，结合可知，，
要证，即证，
由的单调性，只需证，
因为，
构造函数，其中，
，因为，所以，
则在内单调递增，又，所以恒成立，
所以在内单调递减，所以，
则，即，
又因为在内为单调减函数，所以，
即．
（ii）由（1）当知时在上单调递减，又
所以当时，恒成立，即，
即，当且仅当时取等号．
令，则，
则
所以,
则，
即．

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