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第9练　函数的四性质的应用
1.下列函数是周期函数的为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=x2 B.y=2x
C.y=xcos x D.y=sin x
2.已知函数f(x)=则f(2026)= (　 )
A.-1 B.0
C. D.-
3.设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,已知当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈[-2,0]时,f(x)的解析式为 (　 )
A.f(x)=x+4
B.f(x)=2-x
C.f(x)=3-|x+1|
D.f(x)=2+|x+1|
4.[2025·全国一卷] 已知f(x)为定义在R上周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f= (　 )
A.- B.- C. D.
5.[2025·江西九江二模] 已知f(x)是定义在R上周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=-sin x.设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是 (　 )
A.bC.c6.[2025·金华十校4月模拟] 下列关于函数f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x的说法中,正确的是 (　 )
A.最小正周期为3π
B.是偶函数
C.在区间上单调递增
D.最大值为
7.[2025·浙江北斗星盟四月模拟] 已知函数f(x)满足f(1)=2,且对任意x∈R,f(x+1)=1-,则函数f(x)　　　　(填“是”或“不是”)周期函数,f(3)=　　　　.
8.定义在R上的函数f(x)满足f=2-f,则f+f+f+f+f+f+f=　　　　.
9.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2025)的值.
10.[2026·重庆一中月考] 设函数f(x)的定义域为R,f(x)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=x2+ax-2,则f= (　 )
A.- B.-
C.- D.-
11.已知定义在(0,1)上的函数f(x)=
则下列结论正确的是 (　 )
A.f(x)的图象关于直线x=对称
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)在(0,1)上单调递增
D.f(x)有最小值
12.[2025·沈阳二模] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,函数g(x)=(x-2)f(x)的图象关于点(2,0)中心对称,若g(-1)=3,则f(3)= (　 )
A.-3 B.-1 C.0 D.1
13.(多选题)[2025·石家庄三模] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+1)是定义在R上的奇函数,则 (　 )
A.f(x)的图象关于点(1,0)中心对称
B.f(x)是周期为2的周期函数
C.f(2027)=0
D.
14.(多选题)[2025·青岛一模] 已知狄利克雷函数D(x)=设函数f(x)=D(x)·sin πx,则 (　 )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是周期函数
C.f(x)的值域是[-1,1]
D.f(x)在区间[-1,1]上的有理数零点恰有3个
15.[2025·攀枝花二诊] 已知函数f(x)=ex-1+e1-x+x2-2x,若不等式f(ax)16.我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=.
(1)证明:函数f(x)的图象关于点(1,1)对称;
(2)判断函数f(x)的单调性(不用证明),若f(-a2)+f(5-2a)>2,求实数a的取值范围.
17.(多选题)对于定义在区间D上的函数f(x),若满足 x1,x2∈D,且x1A.f(1)=-2
B. x0∈,f(x0)>-1
C.f+f+f+f=-4
D. x∈[-2,-1],f[f(x)]=-1
第9练　函数的四性质的应用
1.D　[解析] 对于A选项,由二次函数的性质可知y=x2不是周期函数,A错误.对于B选项,由指数函数的性质可知y=2x不是周期函数,B错误.对于C选项,由一次函数的性质可知y=xcos x不是周期函数,C错误.对于D选项,由正弦函数的性质可知y=sin x是周期函数,D正确.故选D.
2.D　[解析] 由题得f(2026)=f(-2+507×4)=f(-2)=cos=-.故选D.
3.C　[解析] 当x∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3],因为f(x)是周期为2的周期函数,所以f(x)=f(x+4)=x+4=3+(x+1);当x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3],因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x=3-(x+1).综上,当x∈[-2,0]时,f(x)=3-|x+1|,故选C.
4.A　[解析] 由题知f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),所以f=f=f=5-2×=-.故选A.
5.B　[解析] 由题得b=f=f,c=f=f=f,且f(x)在[0,1]上单调递减,因为<<,所以c6.C　[解析] 对于A选项,f(x+2π)=sin(x+2π)+sin(2x+4π)+sin(3x+6π)=sin x+sin 2x+sin 3x=f(x),故A选项错误;对于B选项,f(-x)=sin(-x)+sin(-2x)+sin(-3x)=-sin x-sin 2x-sin 3x=-f(x),故B选项错误;对于C选项,f'(x)=cos x+cos 2x+cos 3x,当x∈时,2x∈,3x∈,则f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故C选项正确;对于D选项,=1++,当sin x=1时,x=+2kπ,k∈Z,此时,sin 2x=0,sin 3x=-,即sin x,sin 2x,sin 3x无法同时取到最大值,故D选项错误.故选C.
7.是　-1　[解析] 由题知,f(x+2)=1-=1-=,f(x+3)=1-=1-[1-f(x)]=f(x),所以函数f(x)是周期为3的周期函数.因为f(1)=2,所以f(2)=1-=,则f(3)=1-=-1.
8.7　[解析] 因为f(x)满足f=2-f,所以当x=时,f+f=2,当x=时,f+f=2,即f+f=2,当x=时,f+f=2,当x=0时,f+f=2,即f=1,故f+f+f+f+f+f+f=7.
9.解:(1)证明:因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数.
(2)函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],所以f(x)=-f(-x)=-[2(-x)-(-x)2]=x2+2x.
当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.
(3)易得f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,
因为函数f(x)的周期为4,
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2025)=506×[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(2024)+f(2025)=f(0)+f(1)=1.
10.C　[解析] 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),因为f(x+1)为偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),则f(-x)=f(x+2),所以f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故函数f(x)是周期为4的周期函数.又f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=f(2)=4+2a-2=0,解得a=-1,则f=f=f=--2=-.故选C.
11.A　[解析] 对于A,由题意知x∈(0,1),若x=是有理数,且m,n(m12.B　[解析] 由函数g(x)=(x-2)f(x)的图象关于点(2,0)中心对称可知,g(2-x)=-g(2+x),即(2-x-2)f(2-x)=-(2+x-2)f(2+x),可得f(2-x)=f(2+x),因此函数f(x)的图象关于直线x=2对称.由g(-1)=(-1-2)f(-1)=3,可得f(-1)=-1,由f(x)为R上的偶函数且图象关于直线x=2对称,可得f(3)=f(1)=f(-1)=-1.故选B.
13.AC　[解析] 对于A,由y=f(x+1)是R上的奇函数,可知其图象关于原点对称,又y=f(x+1)的图象可看成是由函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的,所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,故A正确;对于B,由y=f(x+1)是R上的奇函数,可得f(-x+1)=-f(x+1),即f(-x)=-f(x+2),又f(-x)=f(x),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)是周期为4的周期函数,故B错误;对于C,由f(-x)=-f(x+2),令x=-1,得f(1)=-f(1),则f(1)=0,所以f(2027)=f(506×4+3)=f(3)=f(-1)=f(1)=0,故C正确;对于D,由f(x+2)+f(x)=0,得f(2)+f(4)=0,又f(1)=f(3)=0,f(x)是周期为4的周期函数,所以
14.ABD　[解析] D(x)的定义域为R,当x为有理数时,-x是有理数,则D(-x)=D(x)=1,当x为无理数时,-x是无理数,则D(-x)=D(x)=0,所以D(x)为偶函数,所以f(-x)=sin(-πx)·D(-x)=-sin πx·D(x)=-f(x),则f(x)是奇函数,故A正确;对于任意的整数2k,k∈Z,当x为有理数时,x+2k,k∈Z也是有理数,则D(x+2k)=D(x)=1,k∈Z,当x为无理数时,x+2k,k∈Z也是无理数,则D(x+2k)=D(x)=0,k∈Z,f(x+2k)=D(x+2k)·sin[π(x+2k)]=D(x)·sin πx=f(x),k∈Z,即函数f(x)是周期函数,故B正确;函数D(x)的值域为{0,1},当x为无理数时,f(x)=0,当x为有理数时,f(x)=sin πx(x∈Q),πx不能取到一个周期内的所有实数,所以f(x)=sin πx(x∈Q)的值域不是[-1,1],故C错误;当x为有理数时,f(x)=sin πx,则f(x)在区间[-1,1]上有-1,0,1这3个有理数零点,故D正确.故选ABD.
15.(-2,2)　[解析] 因为f(x)=ex-1+e1-x+x2-2x的定义域为R,f(2-x)=e(2-x)-1+e1-(2-x)+(2-x)2-2(2-x)=e1-x+ex-1+x2-2x=f(x),即f(2-x)=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,又f'(x)=ex-1-e1-x+2x-2,当x>1时,ex-1>1,00,所以当x>1时,f'(x)=ex-1-e1-x+2x-2>0,则f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减.因为不等式f(ax)解得-216.解:(1)证明:令g(x)=f(x+1)-1=-1,显然函数g(x)的定义域为R,关于原点对称,
因为g(x)+g(-x)=+=+-2=0,所以函数g(x)=-1是奇函数,即y=f(x+1)-1为奇函数,则函数f(x)的图象关于点(1,1)对称.
(2)因为函数y=1+21-x在R上为减函数,且y=1+21-x>0恒成立,
所以f(x)=是R上的增函数.
由(1)知函数f(x)的图象关于点(1,1)对称,所以f(x)+f(2-x)=2,即2-f(x)=f(2-x),所以2-f(5-2a)=f[2-(5-2a)]=f(2a-3),
因为f(-a2)+f(5-2a)>2,
所以f(-a2)>f(2a-3).
因为f(x)=是R上的增函数,所以-a2>2a-3,即a2+2a-3<0,解得-317.ACD　[解析] 对于A,令x=-1,则f(-2)+f(1)=-2,又因为f(-2)=0,所以f(1)=-2,故A正确.对于B,因为f(x-1)+f(-x)=-2,所以y=f(x)的图象关于点对称.当x=-时,f=-1;当x∈时,f(x)≥-2x恒成立,令x=,则f≥-1,因为f(x)为区间[-2,1]上的“非增函数”,所以f≤f=-1,所以f=-1,所以 x∈,f(x)≤-1,故B错误.对于C,由f(x-1)+f(-x)=-2,令x=-,得f+f=-2,由B知f=f=-1,当x∈时,f≤f(x)≤f,所以f(x)=-1,因为-∈,∈,所以f=f=-1,所以f+f+f+f=-4,故C正确.对于D,当x∈[-2,-1]时,f(-1)≤f(x)≤f(-2),即f(x)∈[-1,0],所以由C知f[f(x)]=-1,故D正确.故选ACD.

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