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第10练　幂函数、对勾函数与一次分式函数
1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(,4),则α= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.2
C.4 D.8
2.若函数f(x)=x+在(0,t)上单调递减,则t的取值范围是 (　 )
A.(0,) B.(0,]
C.(,+∞) D.[,+∞)
3.记a=30.2,b=0.3-0.2,c=log0.20.3,则 (　 )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.b>a>c
4.设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是 (　 )
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
5.(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点(8,4),则下列说法中正确的有 (　 )
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若06.(多选题)已知函数f(x)=,则 (　 )
A.f(x)的值域是{y|y≠4}
B.f(x)的定义域为{x|x≠±2}
C.f(2026)+f(-2022)=8
D.f(2023)+f(-2019)=8
7.函数f(x)=在[2,6]上的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
8.[2025·辽宁大连三校联考] 已知幂函数f(x)=(2m+3)xm,则使得不等式组-19.如图所示是函数y=(m,n∈N*且互质)的图象,则 (　 )
A.m,n是奇数且<1
B.m是偶数,n是奇数,且<1
C.m是偶数,n是奇数,且>1
D.m是奇数,n是偶数,且>1
10.[2025·广东佛山二模] 已知函数f(x)=(a∈R),p:f(x)是奇函数,q:f(x)在(0,+∞)上单调递减,则p是q的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足<0.若a,b∈R,且a<0A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
12.(多选题)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是 (　 )
A.存在x0∈R,使得f(x0)=-
B.函数f(x)的图象是一个中心对称图形
C.曲线y=f(x)有且只有一条斜率为的切线
D.存在实数a,b,使得函数f(x)的定义域为[a,b],值域为
13.已知函数f(x)=-4x-8-,x∈[0,1],g(x)=x2-4mx-2m(m≥1),若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数m的取值范围为　　　　.
14.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1-x)=6-f(x+1),g(x)=,若函数f(x)与g(x)的图象有4个交点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),则(x1+x2+x3+x4)+(y1+y2+y3+y4)=　　　　.
15.(多选题)已知函数f(x)=(k∈Z),若对于任意正实数x1,x2,x3,均存在以f(x1),f(x2),f(x3)为三边长的三角形,则整数k的取值可能是 (　 )
A.-1 B.1
C.2 D.3
第10练　幂函数、对勾函数与一次分式函数
1.C　[解析] 依题意可得4=()α,即()4=()α,解得α=4.故选C.
2.B　[解析] 对勾函数f(x)=x+在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在(-,0)和(0,)上单调递减,所以t∈(0,].故选B.
3.D　[解析] 因为b=0.3-0.2=,幂函数y=x0.2在(0,+∞)上单调递增,>3,所以>30.2>30=1,所以b>a>1.因为对数函数y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减,所以c=log0.20.3a>1>c.故选D.
4.B　[解析] 方法一:f(x)==-1,所以函数f(x)的图象关于点(-1,-1)对称.因为奇函数的图象关于原点(0,0)对称,所以需要将函数 f(x)的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,故选B.
方法二:对于A,f(x-1)===-1,故f(x-1)-1=-2不是奇函数,故A不正确;对于B,f(x-1)+1=是奇函数,故B正确;对于C,f(x+1)==,故f(x+1)-1=-不是奇函数,故C不正确;对于D,f(x+1)+1=不是奇函数,故D不正确.故选B.
5.BCD　[解析] 设幂函数f(x)=xα(α∈R),因为函数f(x)的图象经过点(8,4),所以8α=4,即23α=22,可得3α=2,解得α=,所以f(x)=,即f(x)=.由f(x)的定义域为R,且f(-x)===f(x),可知函数f(x)为偶函数,所以B正确;当x>0时,随着x的增大,x2也增大,也增大,所以当x>0时,f(x)单调递增,又f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)单调递减,所以A错误;当x>1时,f(x)单调递增,又f(1)=1,所以当x>1时,f(x)>1,所以C正确;作出函数f(x)的图象如图,为点(x1,f(x1))与点(x2,f(x2))的连线中点的纵坐标,f为x=时的函数值,观察图象可知选项D正确.故选BCD.
6.ACD　[解析] 由f(x)==4+,得f(x)的定义域为{x|x≠2},值域为{y|y≠4},所以点(2,4)是f(x)的图象的对称中心,则f(2026)+f(-2022)=f(2023)+f(-2019)=8.综上,A,C,D正确,B错误.故选ACD.
7.　1　[解析] 因为函数f(x)===2-,所以函数f(x)在区间[2,6]上单调递增,所以函数f(x)在区间[2,6]上的最小值为f(2)==1,最大值为f(6)==.
8.3或4　[解析] 因为f(x)=(2m+3)xm为幂函数,所以2m+3=1,解得m=-1,则f(x)=.由-19.B　[解析] 由图象可看出y=为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,当x>0时,随着x的增加,y增加得越来越慢,故∈(0,1)且m为偶数,又m,n∈N*且互质,所以n是奇数.故选B.
10.A　[解析] 若f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),即==恒成立,所以a=1,则f(x)==1+,因为y=2x-1在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,充分性成立;若f(x)==1+在(0,+∞)上单调递减,因为y=2x-1在(0,+∞)上单调递增,所以1+a>0,故a>-1,此时不一定有a=1,必要性不成立.所以p是q的充分不必要条件.故选A.
11.B　[解析] 因为函数f(x)对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.由f(x)=(m2-m-1)是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)上单调递增,不满足题意;当m=-1时,f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减,满足题意,故f(x)=x-3,且f(x)为奇函数.因为a<0f(b),所以-f(a)>f(b),所以f(a)+f(b)<0.故选B.
12.ABD　[解析] 由题知f(x)==2-.若f(x0)=-,则2-=-,可得=,所以x0=
ln =-2ln 3,所以存在x0∈R,使得f(x0)=-,A选项正确;f(-x)+f(x)=2-+2-=4-=-1,则f(x)的图象关于点对称,所以函数f(x)的图象是一个中心对称图形,B选项正确;f'(x)===,因为ex+2+≥2+2=4,当且仅当x=0时取等号,所以f'(x)=≤,所以曲线y=f(x)没有斜率为的切线,C选项错误;令f(x)=x,则=,所以ex==-1+,易知y=ex,y=-1+两个函数的图象有两个交点,所以存在实数a,b,使得函数f(x)的定义域为[a,b],值域为,D选项正确.故选ABD.
13.　[解析] f(x)=-4x-8-=-4(x-2)--16,x∈[0,1],因为x∈[0,1],所以x-2∈[-2,-1],设t=x-2,则t∈[-2,-1],y=-4t--16,t∈[-2,-1].由对勾函数的性质可得,当t∈时,y=-4t--16单调递减,当t∈时,y=-4t--16单调递增,当t=-时,函数y=-4t--16取得最小值,ymin=-4×--16=6+6-16=-4,当t=-2时,y=8--16=-,当t=-1时,y=4+9-16=-3,设函数f(x)的值域为M,则M=[-4,-3].由g(x)=x2-4mx-2m=(x-2m)2-4m2-2m(m≥1),得g(x)在[0,1]上单调递减,则g(x)在[0,1]上的最大值为g(0)=-2m,最小值为g(1)=1-4m-2m=1-6m,设g(x)的值域为N,则N=[1-6m,-2m].若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则M N,即解得1≤m≤,所以实数m的取值范围是.
14.16　[解析] 由f(1-x)=6-f(x+1)可知,函数f(x)满足f(1-x)+f(x+1)=6,所以f(x)的图象关于点(1,3)中心对称.g(x)==+3,显然函数g(x)的图象是由y=的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的,而y=的图象关于原点对称,所以g(x)=+3的图象关于点(1,3)中心对称.故(x1+x2+x3+x4)+(y1+y2+y3+y4)=2×2+2×6=16.
15.BCD　[解析] 因为对任意正实数x1,x2,x3,都存在以f(x1),f(x2),f(x3)为三边长的三角形,所以f(x1)+f(x2)>f(x3)对任意的x1,x2,x3恒成立.f(x)==1+=1+,因为x>0,所以x++1≥2+1=3,当且仅当x=,即x=1时取“=”.令t=x++1≥3,则y=1+(t≥3).当k-1>0,即k>1时,该函数在[3,+∞)上单调递减,则y∈;当k=1时,y∈{1};当k-1<0,即k<1时,该函数在[3,+∞)上单调递增,则y∈.当k>1时,因为2

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