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第15练　函数模型及其应用
1.游泳池原有一定量的水,打开进水阀进水,过了一段时间关闭进水阀,再过一段时间打开排水阀排水,直到水排完.已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变.用h表示游泳池的水深,t表示时间,则下列函数图象中能反映所述情况的是 (　 )
　　　　　　　　　　　　　　　
A B C D
2.视力检测结果有两种记录方法,分别是小数记录法与五分记录法,其部分对应数据如下表:
小数记录法 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0
五分记录法 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3
现有如下函数模型:①y=5+lg x,②y=5+lg,x表示小数记录法的数据,y表示五分记录法的数据.请选择合适的函数模型并解决如下问题:小明同学检测视力时,医生告诉他的视力为4.7,则小明同学的小数记录法的数据约为(参考数据:100.3≈2,≈0.7,1≈0.8) (　 )
A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8
3.某大型家电商场在一周内计划销售A,B两种电器,已知这两种电器每台的进价都是1万元,规定一家商场在一周内进货B种电器的台数不高于A种电器台数的2倍,且进货B种电器至少2台,A,B两种电器每台的售价分别为1.2万元和1.25万元.若该家电商场每周用来进货A,B两种电器的总资金为6万元,所进电器都能销售出去,则该商场在一周内销售A,B两种电器的总利润的最大值为(利润=售价-进价) (　 )
A.1.2万元 B.2.8万元
C.1.6万元 D.1.4万元
4.有些家用电器(如冰箱等)使用了氟化物,氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,使臭氧含量Q随时间t(单位:年)呈指数型函数变化,当氟化物的排放量维持在某种水平时,满足关系式Q=Q0e-0.002 5t,其中Q0是臭氧的初始量,则臭氧含量减少初始量的大约需要(取ln 2≈0.69) (　 )
A.276年 B.552年
C.414年 D.483年
5.点声源在空中传播时,衰减量ΔL(单位:dB)与传播距离d(单位:米)之间的关系式为ΔL=10lg.若传播距离从20米变化到40米,则衰减量的增加值约为(参考数据:lg 5≈0.7) (　 )
A.3 dB B.6 dB C.9 dB D.12 dB
6.某地区上年度电价为0.8元/(kW·h),年用电量为a kW·h,本年度计划将电价下降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间,而用户期望电价为0.4元/(kW·h).经测算,下调电价后的新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为μ).该地区的电力成本价为0.3元/(kW·h).已知μ=0.2a,为保证电力部门的收益比上年至少增长20%,则最低的电价可定为　　　　元/(kW·h).
7.[2025·北京卷] 在一定条件下,某人工智能语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:小时),其中k为常数,在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时,则当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时) (　 )
A.2 B.4 C.20 D.40
8.在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是 (　 )
A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态
B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态
C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态
D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态
9.(多选题)某打车平台欲对收费标准进行改革,现制定了甲、乙两种方案供乘客选择,其支付费用y(单位:元)与打车距离x(单位:千米)的函数关系大致如图所示,则下列说法正确的是 (　 )
A.当打车距离为8千米时,乘客选择乙方案省钱
B.当打车距离为10千米时,乘客选择甲、乙方案均可
C.当打车距离为3千米以上时,甲方案每千米增加的费用比乙方案多
D.甲方案中,当打车距离在3千米内(含3千米)时,付费5元,当打车距离大于3千米时,每增加1千米费用增加0.7元
10.用指数模型y=e0.44t描述累计一个池塘甲种微生物的数量y随时间t(单位:天)的变化规律,则该池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍需要的时间约为　　　　天.(ln 3≈1.10,结果精确到0.1)
11.舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标,它通常通过大数据分析技术,对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析,从而得出一个量化的指数,以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前x天,若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于t×9x,则认为本次舆情是严重的.某平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析,将舆论事件出现起第1,2,3天的舆论场指数整理成如下表格:
第x天 1 2 3
舆论场指数y 12 48 156
为研究舆论场指数的变化情况,技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据:①y=ax++c(a≠0);②y=plogqx+g(p≠0,q>0且q≠1);③y=m×nx+s(m≠0,n>0且n≠1).
(1)请从①②③中选择一个最合适的函数模型(直接写结果);
(2)根据(1)中选取的函数模型,预测第4天的舆论场指数;
(3)若本次舆情不是严重的,求t的最小值.
第15练　函数模型及其应用
1.D　[解析] 游泳池原有一定量的水,故函数图象不过原点,排除A,C;过了一段时间关闭进水阀,再过一段时间打开排水阀排水,故函数值有一段时间不变,排除B.故选D.
2.B　[解析] 由表格中的数据可知,函数单调递增,故合适的函数模型为y=5+lg x.令y=5+lg x=4.7,解得x=1≈0.5.故选B.
3.D　[解析] 设该商场在一周内进货B种电器的台数为x,则x≥2,一周内进货A种电器的台数为6-x.设该商场在一周内销售A,B两种电器的总利润为y万元,由题意可得
可得2≤x≤4,且x∈N,则y=0.2(6-x)+0.25x=0.05x+1.2,故ymax=0.05×4+1.2=1.4.故选D.
4.B　[解析] 由题意可得,Q0e-0.002 5t=Q0,则e-0.002 5t=,则e0.002 5t=4,所以0.002 5t=2ln 2≈1.38,可得t≈552,故臭氧含量减少初始量的大约需要552年.故选B.
5.B　[解析] 当d=20时,ΔL1=10lg(100π),当d=40时,ΔL2=10lg(400π),则ΔL2-ΔL1=10lg(400π)-10lg(100π)=20lg 2=20(lg 10-lg 5)≈20×(1-0.7)=6.故选B.
6.0.6　[解析] 设电价定为x元/(kW·h),x∈[0.55,0.75],则由题意可得(0.8-0.3)a×1.2≤(x-0.3),整理可得(x-0.5)(x-0.6)≥0,又x∈[0.55,0.75],故x∈[0.6,0.75],故最低的电价可定为0.6元/(kW·h).
7.B　[解析] 设当N取106,1.024×109,4.096×109时训练时间分别为T1,T2,T3.由题意得,T1=klog2106=6klog210,T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210),T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210).因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20,所以k=2,所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4,所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4小时.故选B.
8.D　[解析] 结合图象逐一验证:当T=220,lg P=lg 1026>3时,由图象可知二氧化碳处于固态,故A错误;当T=270,lg P=lg 128∈(2,3)时,由图象可知二氧化碳处于液态,故B错误;当T=300,lg P=lg 9987≈4时,由图象可知二氧化碳处于固态,故C错误;当T=360,lg P=lg 729∈(2,3)时,由图象可知二氧化碳处于超临界状态,故D正确.故选D.
9.BC　[解析] 对于A,当打车距离x满足310.2.5　[解析] 设从t1开始观察,在t2时,该池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍,则=3,所以=3,则有0.44(t2-t1)=ln 3,所以t2-t1=≈2.5,故需要的时间约为2.5天.
11.解:(1)选择③.
(根据表格中数据可知,舆论场指数增长非常快,符合指数函数的性质,故选③.)
(2)由题得
解得故函数解析式为y=6×3x-6,x∈N*,则预测第4天的舆论场指数为6×34-6=480.
(3)若本次舆情不是严重的,则6×3x-6≤t×9x(x∈N*)恒成立,
即6×3x-6≤t×32x(x∈N*)恒成立,两边同时除以32x,得-≤t(x∈N*)恒成立.
不妨设k=,k∈,则6k-6k2≤t对任意k∈恒成立,整理得6k2-6k+t≥0对任意k∈恒成立,
由于函数y=6k2-6k+t在上单调递减,
因此只需6×-6×+t≥0,
即-2+t≥0,解得t≥,
故t的最小值为.

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