资源简介

湖南师范大学附属中学等校2026届高三下学期4月质量检测数学试题
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（ ）
A．40 B．39 C．36 D．35
3．在正项等比数列中，成等差数列，则数列的公比为（ ）
A．1或2 B．2或3 C．2 D．3
4．某大学有A，B，C，D四个社团在招生.5名学生去报名，每个社团至少有1名学生，则不同的报名方式共有（ ）
A．144种 B．240种 C．256种 D．288种
5．已知函数且在上的值域为，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
6．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12
7．从椭圆（）上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点．椭圆与轴正半轴交点为，椭圆与轴正半轴交点为，若（为原点），则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
8．设的内角的对边分别为，的面积为，，则（ ）
A．20 B．16 C．12 D．8
二、多选题
9．若复数，则（ ）
A．
B．
C．z在复平面内对应的点位于第一象限
D．复数满足，则的最大值为
10．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，平面ABCD，，则下列说法正确的是（ ）

A．几何体的体积为 B．BE，DF是异面直线
C． D．点A到平面BDE的距离为
11．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，D是C的准线与x轴的交点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线l的斜率为 B．
C．（O为坐标原点） D．当取最小值时，
三、填空题
12．直线被圆截得的弦长为________.
13．已知直线l与函数的图象在处相切，与函数的图象在处相切，则_________.
14．已知函数，则在上共有________个零点.
四、解答题
15．已知正项数列满足，且.
(1)证明：为等差数列；
(2)求数列的前n项和.
16．某企业招聘方式分笔试、面试两个环节进行，先进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这两个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生参加了该企业的招聘，假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙、丙通过笔试的概率均为，通过面试的概率均为．
(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率；
(2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，该企业决定给报名参加应聘的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：
参与环节 笔试 面试
补贴（元） 100 150
记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望．
17．如图，分别为等边三角形的边的中点，，将沿折起，使顶点至点的位置，此时平面平面，分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若点在同一球面上，设该球面的球心为．
（i）求球的表面积；
（ii）求平面与平面的夹角的余弦值．
18．已知函数.
(1)求的极小值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)求不等式的解集.
19．已知双曲线的渐近线互相垂直，分别为其左、右焦点，双曲线与圆的某个交点的横坐标为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过右焦点的直线l与的右支交于P，Q两点，其中点P位于第一象限内，直线分别与y轴交于M，N两点.
（i）是否存在直线l使得点在以线段MN为直径的圆上，若存在，请求出此时直线的斜率；若不存在，请说明理由；
（ii）当时，求出的大小.
参考答案
1．A
【详解】因为，所以.
2．D
【详解】将题中数据按从小到大排列为10，14，16，16，19，20，40，50，则众数为16，
因为，所以第60百分位数为19，
所以众数与第60百分位数之和为.
3．C
【详解】设等比数列的公比为，，
因为成等差数列，所以，
即，则，
因为等比数列中，所以，解得或，
又因为数列为正项等比数列，公比，所以.
4．B
【详解】先从5名学生中选出2人组成一个小组，有种方法；
再将这个两人小组与其余3名学生安排到4个不同的社团，有种方法，
根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排.
5．C
【详解】函数在上具有相同的单调性，
所以在上单调，要满足题意，则在上单调递增，
所以，解得，故选C.
6．C
【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
，，
设，则（其中），
，
，
所以，当时，取得最小值11.
故选：C
7．B
【详解】由题意可设(为半焦距)，则，又，
因为，所以，得，所以，
把代入椭圆方程得，得，
所以.
故选：B.

8．B
【详解】由得，.
整理得，所以.
整理得.
所以.
所以，即.
所以
则，设外接圆的半径为.
由正弦定理得，.
所以.
解得,即.
9．ACD
【详解】由已知，，
对于A，因为，所以，A正确；
对于B，因为，，B错误；
对于C，因为，在复平面内对应的点的坐标为，第一象限，C正确；
对于D，因为复数满足，
所以复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上，
所以，所以的最大值为，D正确．
10．ABD
【详解】对于A，几何体的体积，故A正确；
对于B，因，平面，平面，则平面，
又平面ABCD，则，又平面，平面，
则平面，因，平面，
则平面平面，又平面，平面，，DF不平行，从而BE，DF是异面直线，故B正确；
对于C，易知，所以，故C错误；
对于D， ，
又由A分析可得，则点A到平面BDE的距离为，故D正确.故选ABD.
11．ABD
【详解】对于A，依题意得，设直线，
联立，消去x得，则，
则，解得或，
则或，
则直线l的斜率，故A正确；
对于B，，
当且仅当时等号成立，故B项正确；
对于C，因为，所以，故C项错误；
对于D，依题意有，抛物线的准线方程为，所以，
则，由抛物线的定义可得，
可得，
因为，所以
，
当且仅当时取等号，此时，故D项正确．
故选：ABD．

12．
【详解】易知圆的圆心为，半径为3；
由圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为.
13．
【详解】由，可得，则，
所以切线方程为，即，
由，可得，则，
所以切线方程为，即；
由题意可知，，解得，
所以.
14．2
【详解】由于
，
因此，
令，得或，
因为，所以解得，解得，
所以在共有2个零点和.
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由得，，
所以 ，
故是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）因为，所以由（1）可知，，则.
所以 .
当为偶数时，
当为奇数时，
综上所述，.
16．(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）设事件表示“甲被该企业正式录取”，事件表示“乙被该企业正式录取”，事件表示“丙被该企业正式录取”.
则由题可知.
事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被该企业正式录取”，
则，
所以甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率．
（2）X的所有可能取值为，对应事件分别为“三人均未通过笔试”，“三人中恰有一人通过笔试”，“三人中恰有两人通过笔试”，“三人均通过笔试”.
，
，
，
．
所以X的分布列为
X 300 450 600 750
P
数学期望．
17．(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）
取的中点，连接，
因为分别为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为为的中点，所以QN为梯形BCDE的中位线，则，
又平面，平面，所以平面，
又平面，，所以平面平面，
因为平面MQN，所以平面PBC；
（2）
取的中点，连接，则，，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系．
则，，
（i）易知梯形的外接圆的圆心为，因为平面，所以设，
由得，
解得，
所以球O的半径的平方，故球O的表面积为.
（ii），，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
由（1）可知，平面，则为平面的一个法向量，
所以．
故平面与平面的夹角的余弦值为．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）函数定义域为，求导得；
令，得到 ；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
因此，在 处取得极小值.
（2）当时，恒成立，即恒成立；
令，则，
令，得到.
当，即时，在上，
函数单调递增，满足条件；
当，即时，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以函数在处有最小值；
令，则，所以在上单调递减；
，即，不满足条件；
综上所述，实数的取值范围是.
（3）不等式即，设，得到；
令，得到，且
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
，
所以当时，，当时，，当时，；
故不等式的解集为.
19．(1)
(2)（i）不存在，理由见解析；（ii）或
【详解】（1）因为渐近线互相垂直，所以，
将双曲线方程和圆方程联立，解出，解得，
则双曲线的方程为；
（2）（i）显然直线斜率不存在时结论不成立，
设直线，与双曲线方程联立得到，设点P，Q的坐标分别为，且恒成立，则，
直线的方程为：，直线的方程为：，
故点M的坐标为，点N的坐标为，
若点在以线段MN为直径的圆上，则，
则
，解得，
但是注意到直线l仅与双曲线右支相交，所以，因此上述直线不符合条件，因此不存在；
（ii）由两点间距离公式可得，
，
则，解得或（舍），可得，当时，设l的倾斜角为，
则，
所以，同理可得另一个角为，因此为或.

展开更多......

收起↑