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2025—2026 学年度第二学期期中学业水平质量监测 高一年级 数学试题 (B)
(本卷满分 150 分，共 4 页，考试时间 120 分钟)
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题(本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有 一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上)
1. 若向量 ,则
A. -1 B. 2 C. 1 D. 0
2. 已知复数 ( 为虚数单位),则 的共轭复数为
A. B. C. D.
3. 在 中,内角 的对边分别是 ,且 ,则 等于
A. B. C. 3 D.
4. 已知 ,任意点 关于点 的对称点为 ,点 关于点 的对称点为 ,则向量
A. B. C. D.
5. 函数 的零点为 ,则
A. B. C. D.
6. 在平行四边形 中, ,且 ,则
A. B. C. D.
7. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与抛物线相交于 ， 两点， . 若 ，则
A. B. 2 C. D. 3
8. 外轮除特许外,不得进入离我国海岸线 mile 以内的区域,如果进入则对其发出警告,其退出此区域. 如图,设 是相距 mile 的两个观察站,一外轮在 点,测得 满足什么关系时就该向外轮发出警告
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目 要求的. 全部选对的得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 下面是关于复数 ( 为虚数单位) 的命题,其中真命题为
A. 的共轭复数为
B. 在复平面内对应的点在第二象限
C. 若 ,则 的最大值是
D. 的虚部为
10. 已知 为 的垂心，且 ， ， ， ，则下列选项正确的是
A.
B.
C.
D.
11. 下列四个等式中正确的是
A.
B.
C. 已知函数 ,则 的最小正周期是
D. 已知 ,则 的最小值为
三、填空题(本大题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 在 中, ,且 ,则 _____.
13. 若 ，则 _____.
14. 在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 _____.
四、解答题(本大题共 5 个小题, 共 77 分.解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤)
15. (13 分)
已知向量 满足 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 与 的夹角为 ，求 .
16. (15 分)
已知复数 ( , 为虚数单位).
(1)若 为纯虚数，求复数 ；
(2)若 ，且复数 所对应的点位于第一象限，求 的范围.
17. (15 分)
设 为正实数. 如图,一个水轮的半径为 ,水轮圆心 距离水面 ,已知水轮每分钟逆时针转动 5 圈. 当水轮上的点 从水中浮现时 (即图中点 ) 开始计算时间.
(1)将点 距离水面的高度 表示为时间 的函数；
(2)点 第一次达到最高点需要多少时间.
18. (17 分)
如图, 两点都在河的对岸 (不可到达),为了测量 两点间的距离,在 两点的对岸选定两点 ,测得 ,并且在 两点分别测得 , ,
(1)求 两点间的距离；
(2)设 与 相交于点 ，记 与 的面积分别为 ， ，求 .
19. (17 分)
在 中,角 的对边分别为 ,且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 且 ，求 的面积；
(3)若 ，且 为锐角三角形，求 的周长的取值范围.
2025—2026 学年度第二学期期中学业水平质量监测 高一年级数学试题参考答案 (B)
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1.D 2.D 3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.D
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9.AC 10.AC 11.AB
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 4 13. 14.
四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分)
注:解答题得分点由使用 B 卷的学校阅卷时自行标注，本答案不再统一提供阅卷标准
15.(1)若 方向相同，则 ；
若 方向相反,则 .
(2)由已知可得, ,
所以 .
16 (1)解: 复数 ，
,
为纯虚数, ,解得 ;
(2)解: ,
所以复数 在复平面内所对应的点的坐标为 ,
因为复数 所对应的点位于第一象限,
所以 ,解得 ,
所以 的范围为 .
17. (1)如图，以水轮圆心 为原点，与水面平行的直线为 轴建立直角坐标系. 当 时,点 的坐标为 ,角度为 ; 根据水轮每分钟逆时针转动 5 圈,可知水轮转动的角速度为 ，所以 时刻，角度为 ；根据三角函数定义,可得 ;
(2)当 时， ，所以 ，解得 ，
所以当 时， ，即第一次达到最高点时需要 .
18.(1)在 中， ， ，所以 ，
又 ,所以由 ,得 ,
在 中， ， ，所以 ，
又 ,
所以由 ,得 ,
在 中, ,
所以
,
则 .
(2)在 中， ，则 ，
由 ,得 ,
所以在 中, ,
则 ,
在 中, ,
则 ，
所以 .
19. ( 1 )由 ，即 ，
根据正弦定理得, ,
则 ,
则 ,
则 ,
因为 ,所以 ,
则 ,即 .
(2)由(1)知， ，
在 中,由 ,
则 ,且 ,
则 ,即 ,
解得 (舍去) 或 ,
又 ,且 ,
解得 ,
所以
由正弦定理得, ,
则 ,解得 ,
则 .
(3)由正弦定理得， ，
则 ,所以 ,
则 的周长为
由 ,则 ,即 ,
又 ,则 ,
所以 ,则 ,
所以 的周长的取值范围为 .

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