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哈师大青冈实验中学 2025-2026 年 4 月份考试 高一数学试卷
满分:150 分 时间:120 分钟
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.)
1. 已知复数 ，则 的虚部是( )
A. 1 B. i C. 5 D. 5i
2. 在 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，则 ()
A. B. c. D. 或
3. 如图，在矩形 中， 为 的中点，则 ( )
A. B. C. D.
4. 如图,在河岸 上测量河对面 两点间的距离,测得 , ,则 ( )
A. B. C. 4
D.
5. 已知 是同一平面内两个不共线的向量， ,若 三点共线，则 的值为( )
A. B. C. -2 D. 2
6. 如图，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为( )
A. B. C. D.
7. 已知正方形 的边长为 1， 为线段 的中点， 为 边上的动点，则 的取值范围为 ( )
A. B. c. D.
8. 在 中，角 的对边分别为 ，且 ，则下列选项中错误的是 ( )
A. B. 当 时,
C. 当 时， 面积的最大值为 1 D. 当 为锐角三角形时， 的取值范围是
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.)
9. 已知复数 ,则( )
A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D.
10. 下列结论正确的是( )
A. 若 ，则 或 .
B. 若 ，则 与 共线.
C. 若 与 的夹角为锐角,则实数 .
D. 三个不共线的向量 ，满足 ，则 的内心
11. 已知 分别为 内角 的对边,下面四个结论正确的是 ( )
A. 若 ,则 一定为等腰三角形
B. 在锐角 中,不等式 恒成立
C. 若 ，且 有两解，则 的取值范围是
D. 若 的平分线交 于点 ，则
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知平面上两点 ， ，若 ，则 的坐标为_____.
13. 在 中，内角 的对边分别为 ，其面积 ，则 的最大值为_____.
14. 已知平面向量 ，且 ， ，向量 满足 ，则 取最小值。 时， _____.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分.)
15. (13 分) 已知向量
(1)若向量 与 共线，求 的值；
(2)若 ，求 的值.
16. (15 分)已知 的内角 的对边分别为 ，满足 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的周长.
17. (15 分) 已知向量 与 的夹角 ,且 .
(1) 求 ， ；
(2)求 与 的夹角的余弦值.
(3)若 ，求 在 上的投影向量的坐标.
18. (17 分)如图，游客从某旅游景区的景点 处上山至景点 处有两种路径. 一种是从 沿直线步行到 ，另一种是先从 沿索道乘缆车到 ，然后从 沿直线步行到 ，现有甲、乙两位游客从 处出发，甲沿 匀速步行,速度为 . 在甲出发 后,乙从 乘缆车到 ,在 处停留 后,再匀速步行到 ,假设缆车匀速直线运动的速度为 ，山路 长为 ，经测量得 ， .
(参考数据: ,第 (3) 问结果精确到 0.1)
(1)求索道 的长；
(2)当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少 min？
(3)为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 ，问乙步行的速度应控制在什么范围内？
19. (17 分) 在平面四边形 中, .
(1)若 .
(i) 若 四点共圆 ,求 ;
(ii) 求四边形 面积 的最大值.
(2)若 ， ， 与 交于点 ，记 ，求当 为何值时， .
哈师大青冈实验中学 2025-2026 年 4 月份考试 高一数学答案
1-–8 AADA BDCC
9、AC 10、BD 11、BCD
12、
15. (13 分) 【答案】(1) 4.
解: (1) ,向量 与 共线,
;
(2) ,解得 .
16. (15分)【答案】(1) ；
(2) .
(1)由 及正弦边角关系得 ，
而 ,整理得 ,因为 ,所以 ;
(2)由余弦定理 ，得 ，进而得 ，得 ， 所以 的周长为 .
17. (15分)【答案】(1) ；(2) ；(3) .
( 1 )由已知，得 ，
；
(2)设 与 的夹角为 ，
则 ,
因此， 的夹角的余弦值为
(3)因为 ，
所以 在 上的投影向量为
18. (17分)【答案】( 1 )500 ( 2 ) ；(3) _____
(1)在 中，由 ， ，
可得 ,
所以 ,
由正弦定理 得
(2)设乙出发 ，甲、乙的距离为 ，由余弦定理得， ， 即 ,因为 ,
即 ,故当 时, 最小,
所以当乙出发了 时,乙在缆车上与甲的距离最短;
(3)由正弦定理 得 ，
乙从 出发时,甲已经走了 ,还需走 才能到达 ,
设乙步行的速度为 ,则 ,
故 ,解得 ,
即 ,
为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 ,
乙步行的速度应控制在 范围内.
19. (17 分) 【答案】(1) (i) ; (ii)
(1)设 ， ，其中 ，
在 中，由余弦定理可得 ； 在 中,由余弦定理可得 ;
即 ,可得 .
(i) 若 四点共圆 ,则 ,
可得 ,
由 可得 ，即 ，
则 ,即 ;
(ii) 因为四边形 面积 ,
即 ，且 ，
又因为 ，
当且仅当 时,等号成立
即 ,解得 ,
所以四边形 面积 的最大值为 .
(2)在 中，由余弦定理可得 ， 即 ,
则 ,即 ,
因为 ,可知 四点共圆,且圆的半径 ,
则 ,
且 ,可知 ,
若 ，则 ，
即 ，可得 ，
又因为 ,则 ,可得 ,解得 ,
所以当 时, .

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