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2025~2026 学年度第二学期期中调研考试 高一数学试题
注意事项:1.考试时间 120 分钟，试卷总分 150 分。
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3. 请用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的选项中, 只有一项是 符合题目要求的。
1. 若向量 ，则 与 的夹角为( ).
A. B. C. D.
2. 若复数 是纯虚数,则 的共轭复数 的虚部为( )
A. -1 B. 1 C. D.
3. 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
4. 在 中,已知 ,则 ( )
A. 1 B. C. D. 3
5. 已知 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
6. 在 中，角 的对边分别是 . 若满足条件 的三角形有两个，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 如图，在 中， 交 于 ，设 ，则 ( )
A. B.
C. D.
8. 设直线 与函数 的图象在 内交点的横坐标依次是 ，且 ，则实数 ( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知复数 ,则下列结论中正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ，则
C. 若 ,则 D. 若 ，则
10. 下列式子正确的是( )
A.
B. 已知 ，则
C.
D.
11. 点 为 所在平面内一点,且 ,则下列选项正确的是( )
A. B. 直线 必过 边的中点
C. D. 若 ，且 ，则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 在 中，角 所对边分别为 ，已知 ， 则 的值为_____.
13. _____.
14. 已知 ,且 ,则 在 上的投影向量为_____. (用 表示)
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (本小题13分)
已知 ,求:
(1) 与 的夹角的余弦值；
(2) 与 的夹角的余弦值.
16. (本小题15分)
在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 .
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
17. (本小题15分)
已知 .
(1)求 的值.
(2) 求 的值.
18. (本小题17分)
在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，且 为锐角三角形，求 的周长的取值范围；
(3)若 ，且外接圆半径为2，圆心为0， 为 上的一动点，试求 的取值范围.
19. (本小题17分)
在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)若 ，求 的最大值；
(2)若 为钝角，求:
(i) 的取值范围;
(ii) 的取值范围.
参考公式:
2025~2026 学年第二学期期中调研考试 高一数学答案
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1.B 2.B 3.A 4.D 5.A 6.C 7.B 8.C
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。(即:若有两个 正确选项，每选对一个得 3 分，若有三个正确选项，每选对一个得 2 分. 有选错的得 0 分。)
9. AC 10. AC 11.ACD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 2 13. 14.
四、解答题:
15. 解: (1) ,
.
又 ，
解得 . 3 分
,
; 6 分
(2)由(1)可得 ,
10 分
.
与 的夹角的余弦值为 . 13 分
16. 解: (1) 由正弦定理得 , 2 分
,
,
可得 ,即 ,
. 7 分
(2) 由(1)可得 ，
由正弦定理可得 ，① 9 分
的面积为 ,
,
由 ,解得 , 11 分
由①②可得 ,或 (不合题意,舍去)
由余弦定理可得 ,
的周长 . 15 分
17. 解: (1) ,
. 5 分
(2) ,
,
又 ,
, 9 分
又 ,
,
. 15 分
18. 解: (1) 依题意,由正弦定理, ,
由
可得 ,
由余弦定理 ,
则 ,则 ,
因为 ,所以 ; 3 分
(2)由 为锐角三角形， ，
可得 ，解得 ， 5 分
由正弦定理 ,则 ,
9分
11 分
(3)由正弦定理 ，则 ，则 ，
由 ,可得 ,则 , 13 分则三角形 为等边三角形,取 中点 ,如图所示:
则
,
由 ,则 ,则 17 分
19. 解: (1) 当 时, ,所以 ,
因为 ,所以 ,则 的最大值为 . 4 分
(2)①因为 ，所以 ； 5 分
因为 为钝角,即存在 ,使得 ,
即 成立;
因为 (当且仅当 时,取等号),
所以 ,即 ; 9 分
②又因为 ，所以 ，
则 , 11 分
因为 ,
所以 ,
所以 ,
则 ,
, 15 分
所以 ,(注: 也可利用提供的积化和差等公式)
因为 ,所以 ,
所以 . 17 分

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