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2025-2026 学年第二学期期中考试 高一数学试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分. 每小题给出的四个选 项中, 只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. ( )
A. B. C. D.
2. 在 中，若 ，则 ()
A. B. 45° C. 30 D. 150°
3. 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 如图所示，已知在 中， 是线段 上的靠近 A 的三等分点，则 ()
A. B. C. D.
5. 在 中，已知 ，试判断 的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
6. 已知向量 ， ， ，若 三点共线，则 ( )
A. B. 62 C. 28 D.
7. 如图，在平行四边形 中， 为线段 的中点， ， ，则 ( )
A. 20 B. 22 C. 24 D. 25
8. 在 中，若 ， ，其面积为 ，则 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知点 ， ， ，则下列结论正确的是( )
A. 线段 的中点的坐标为
B. 若 ，则点 的坐标为
C. 若 ，则
D. 若 ，则向量 ， 可以作为平面内的一组基底
10. 在 中，角 的对边分别是 ，已知 ， ，则下列结论正确的是( )
A. B. 的面积为
C. D.
11. 下列等式成立的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
12. 已知平面向量 的夹角为 ，且 ， ，则 _____.
13. 已知 均为锐角,且 ，则 _____.
14. 已知 的内角 的对边分别为 ，若 ，
，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 .
(1)求 与 的夹角 的余弦值；
(2)若向量 ，求 .
16. (1)已知 ， ， 是第三象限角，求 的值.
(2)已知 ，求 的值；
17. 的内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求B；
(2)若 ，求 .
18. 已知 ,函数 .
(1)求函数 的解析式及周期 ；
(2)若 ，且 ，求 的值.
(3)角 、 、 分别为 、 、 三边所对的角，若 ， ，求 周长的最大值.
19. 某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P(如图所示)，其中 AB，AC 为两条公路， ，M，N 为公路上的两个景点，测得 ， ，为了获得最佳观景效果，要求P对的视角 . 现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线 PM，PN，且要求观光路线最长. 若建造观光路线的宽为 5 米，每平方米造价为 100 元.
(1)求MN长度；
(2)设 ，用 表示 ；
(3)求该景区预算需要投入多少万元改造？( )
2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C B D C B D AC AB
题号 11
答案 BD
12. 13.
14.3
15(1)由 ,可得 , 3 分且 ,
则 ;
(2)因 ， 10 分
则 13 分
16 (1)因 ，则 ； 3 分
又因 是第三象限角,则 . .6 分
故 .9 分
2) ,
因 ,则 , 12 分
所以
15 分
17.(1)因为 ，所以 ，
进而 . .4 分
因为 是三角形内角,所以 . .7 分
(2)因为 ， 为三角形内角，
所以 . 10 分
由正弦定理 ,所以
因此 .15 分
18.(1)
.3 分
周期 ; .5 分
( 2 )由 可知， ，化简得
.7 分
, .9 分
;
(3)由 可得 ，即 ，
又 ,则 ,则 ,所以 .13 分
由余弦定理知:
,
当且仅当 时“=”成立,
此时 为等边三角形,
又 所以 的周长的最大值为 17 分
( 1 )在 中，由余弦定理得 ， 得 ； .4 分
(2) ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ,
所以 ; .11 分
(3)由(2)得 ，又 ， 所以 ,
即 ,
所以该景区预算需要
即该景区预算需要投入 265 万元改造. .17 分

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