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2025-2026 学年度第二学期期中学业水平质量监测 高二年级 数学试题
(本卷满分 150 分, 共 4 页, 考试时间 120 分钟)
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上)
1.
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
2. 已知 ,则
A. B. C. D.
3. 某校足球队有高一学生 4 人，高二学生 3 人，高三学生 7 人，选其中一人为负责人，则不同的选法种数为
A. 84 B. 40 C. 49 D. 14
4. 如果随机变量 ,且 ,则
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3. D. 0.6
5. 已知向量 是直线 的一个方向向量，向量 是平面 的一个法向量,若 ,则
A. 0 B. -2 C. 4 D. 3
6. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件 为 “两个点数之和为奇数”， 为 “至少出现一个 6 点”,则
A. B. C. D.
7. 在空间四边形 中, ,点 , 分别在 上，且 ，则
A. B. C. D.
8. 一个质点在随机外力的作用下,从数轴的原点出发,每隔 等可能的沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动 9 次，则质点最可能移动到的位置是
A. 7 或 -5 B. 1 或 -1 C. 3 或 -3 D. 5 或 -3
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分. 每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 选对但不全得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知向量 ， ，则下列结论中正确的是
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 不存在实数 ，使得 D. 若 ，则
10. 下列命题中正确的有
A. 已知随机变量 ，则
B. 已知随机变量 ，则
C. 若离散型随机变量 的数学期望 ，则
D. 已知 为离散型随机变量，则
11. 在棱长为 1 的正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点， 为 与 的交点，则下列结论正确的有
A.
B. 直线 与直线 是异面直线
C. 在线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为
D. 平面 截该正方体的内切球所得截面面积为
三、填空题(本大题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 若 ,则 _____.
13. 用 4 种不同颜色给四棱锥 的五个顶点涂色，要求相邻顶点颜色不同，则不同的涂色方法种数为_____.
14. 已知编号为 1,2 的两只小球和编号为 1,2,3 的三个盒子,将两个小球逐个随机的放入三个盒子中，每只球的放置相互独立，记录至少有一只球的盒子，随机变量 表示这些盒子编号的最大值，则 的数学期望为_____.
四、解答题(本大题共 5 个小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (13 分)
已知二项式 的展开式中，各项二项式系数之和是 64.
(1)求 的值；
(2)求展开式中 的系数.
16. (15分)
五一劳动节即将到来，学校计划让 3 名男同学、 2 名女同学负责五一庆祝活动，具体分工如下:
(1)若要求安排 1 人担任总策划、 2 人负责物资筹备、 2 人负责活动宣传，有多少种不同的分配方法
(2)活动圆满结束后，这 5 名同学和 2 位指导老师共 7 人在校园广场合影留念，要求 2 名女同学必须相邻，2 位老师不能相邻，有多少种不同的排列方法
17. (15 分)
在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点， .
(1)求点 到直线 的距离；
(2) 求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. (17分)
赣榆区某所高中田径队有甲、乙、丙等 12 名运动员，现将这 12 人平均分成 三组进行集训. 每天训练前，三组分别从本组队员中随机选出一人担任组长.
(1)求甲、乙、丙三人同在 组的概率；
(2)求甲在三天内至少担任一次组长的概率；
(3)记 为连续两天至少担任一次组长的人数，求 的概率分布列和数学期望.
19. (17 分)
把一副三角板按如图所示的方式拼接,其中 ， . 将 沿 翻折至 ,其中 为动点.
(1)若 ， 为 ， 的中点，求证: 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求点 到平面 的距离；
(3)二面角 的余弦值是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在， 请说明理由.
2025-2026 学年度第二学期期中学业水平质量监测 高二数学试题参考答案
一、单项选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分)
1.B 2.B 3.D 4.A
二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分)
9.BCD 10.BCD 11.ACD
三、填空题(本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分)
12.4 或 9 13.72
14.
四、解答题(本大题共 5 个小题，共 77 分)
15. 解: (1) 由题意知, ,则 . 5 分
(2)由二项式定理可知，在 的展开式中，
第 项为 , 8 分
所以 . 10 分
展开式中 的系数为 .
所以展开式中 的系数为 1 . 13 分
16. 解:(1)把 5 人分三组；1 担任总策划、 2 负责物资、 2 负责宣传
先选 1 人担任总策划，有 种方法；
再从剩下 4 人选 2 人负责物资，有 种方法；
最后 2 人负责宣传，有 种方法， 6 分
由分步计数原理,共有 种方法 7 分
所以共有 30 种方法;
(2)7 人排列:2 女生相邻、2 老师不相邻
先 2 女生捆绑看成 1 个整体，内部排列有 种方法； 9 分
3 男生和女生整体共 4 个元素，排列有 种方法; 11 分
4 个元素排好有 5 个空,选 2 个空排老师有 种方法, 13 分
由分步计数原理,共有 种方法
所以共有 960 种方法. 15 分
17. (1)三棱锥 中， 平面 ， 平面 ，则 ，
又 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点， ， 为正交基底建立空间直角坐标系 , 3 分
分别是棱 的中点，
5 分
点 到直线 的距离为
所以点 到直线 的距离为 . 7 分
(2) , 9 分
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 , 11 分
解得 令 ,则 ,得 13 分
设直线 与平面 所成角为 ,则 , 1/2
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
18. 解:(1)设“甲、乙、丙三位同学同在 组中”为事件 ， 1 分 3 分
故甲、乙、丙三位同学同在 组中的概率为 . 4 分
(2)设 “甲在三天内至少担任一次组长” 为事件 ， 5 分
8 分
故甲在三天内至少担任一次组长的概率为 . 9 分
(3)连续两天中，每组选到同一个同学的概率为 ， 11 分选到不同同学的概率为 ,
的所有可能的取值为3,4,5,6.
15 分
故 的概率分布表为:
3 4 5 6
4 64 9 64 27 64 27 64
. 17 分
19.(1)因为 分别为 的中点，
所以 2 分
又因为 平面 平面
所以 平面 4 分
(2)过点 作 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 平面
所以 平面 5 分
以 为坐标原点，以 为单位正交基底，建立如图空间直角坐标系.
又 ,
所以 ,
所以 , 6 分
设平面 的法向量 ,
8 分
又 ,则点 到平面 的距离为 9 分
(3)以(2)中 为坐标原点，以( )为单位正交基底，建立如图空间直角坐标系，
则 ,设平面 的法向量 ,
10 分
设平面 的法向量 ,
得 11 分
又 ,得
因此二面角 的余弦值
13 分
设 ,则 , 15 分
所以 ,得 ,当 时取到. 16 分
因此 存在最小值,最小值为 . 17 分

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