资源简介

2025-2026 学年度高二第二学期期中学业水平质量监测 数学试题
注意事项
1．本试卷共 4 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。
3.作答选择题，必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
一、单项选择题(共 8 小题 满分 40 分)
1. 的值是( )
A. 120 B. 60 C. 240 D. 22
2. 设随机变量 ,且 ,则 ( )
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5
3. 已知向量 是直线 的一个方向向量，向量 是平面 的一个法向量，若 ，则 ( )
A. -4 B. -2 C. D. 1
4. 已知随机变量 的分布列如下:
-2 0 1 2
1 6
若 ,则 ( )
A. B. 7 C. 21 D. 22
5. 把一枚骰子连续抛掷两次，记事件 为“两次所得点数均为奇数”， 为“至少有一次点数是 ,则 等于( )
A. B. C. D.
6. 在棱长为 1 的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 的中点，则直线 到平面 的距离是( )
A. B. C. D.
7. 某游客计划 3 天内游览完 这 5 个景点，每天至多游览 2 个景点，且 两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为( )
A. 36 B. 72 C. 90 D. 144
8. 如图，已知两个正方形 ， 的边长都是 1，且它们所在的平面互相垂直. 点 分别在正方形对角线 和 上移动，且 . 当 的长最小时，直线 和 夹角的余弦值是( )
(第八题图)
A. B. 0
C. D.
二、多项选择题(共 3 小题 满分 18 分)
9. 已知空间向量 ,下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则 . B. 若 ,则
C. 若 在 上的投影向量为 ,则 D. 若 与 夹角为钝角,则
10. 甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则( )
A. 老师不排在两端的概率为
B. 学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为
C. 学生甲、乙、丙连排在一起的概率为
D. 老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为
11. 如图所示，在正方体 中，点 在线段 上运动，则下列结论正确的是 ( )
(第十一题图)
A. 平面
B. 不存在点 ，使得平面 平面
C. 直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
D. 若正方体棱长为 1,则以 为球心， 为半径的球体被平面 所截图形面积的最小值为
三、填空题(共 3 小题 满分 15 分)
12. 若 ,则 _____.
13. 现有五种不同的颜料可用,从这五种染料中选取染料给四棱锥 的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有_____种.
14. 某篮球运动员进行定点投篮训练. 已知他第一次投篮命中的概率为 0.5 . 若前一次命中，则下一次命中的概率为 0.8 ；若前一次未命中，则下一次命中的概率为 0.4 . 该运动员第二次投篮命中的概率为_____；若这名篮球运动员做 4 组投篮训练，每组连续投篮 2 次，2 次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立,设这 4 组投篮训练中成功的次数为 ,则期望 _____.
四、解答题(共 5 大题 满分 77 分)
15. (13 分) 从 3 名男生和 6 名女生中选出 4 人去参加一项创新比赛.
(1)如果所选 4 人中恰有男生 1 人，女生 3 人，且女生甲必须在内，那么有多少种选法
(2)如果所选 4 人中男生不少于 2 人，那么有多少种选法？
16. (15 分) 已知 的二项展开式中第 2 项与第 6 项的二项式系数相等.
(1)求 的值与展开式中各项的系数和；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
17. (15 分) 如图，三棱锥 中， 平面 ， ， ， .
(1)求证: 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (17 分) 某景区上、下山各有步行和乘观览车两种方式. 调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为 ，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为 ,乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为 . 假设游客之间选择上、下山的方式互不影响.
(1)从该景区出口随机选取一名下山的游客，求该游客是步行下山的概率；
(2)从该景区出口随机选取 4 名下山的游客，记 为这 4 人中步行下山的游客人数， 求 的分布列及数学期望.
19. (17 分) 如图,在四棱锥 中, 平面 , 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ，
(i) 求平面 与平面 夹角的正弦值；
(ii) 在线段 上是否存在点 ,使得点 到平面 的距离为 1 若存在,求出 的值；若不存在，请说明理由.
2025-2026 学年度高二第二学期期中学业水平质量监测 数学参考答案 (2026.04)
一、单项选择题 (共 8 小题 满分 40 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C B A B B
二、多项选择题 (共 3 小题 满分 18 分)
题号 9 10 11
答案 AB ACD AC
三、填空题 (共 3 小题 满分 15 分)
12. 2 13. 420
14.
四、解答题 (共 5 大题 满分 77 分)
15. (1)选 1 名男生，有 种选法，
选 3 名女生，且女生甲必须在内，有 种选法.
所以符合条件的不同选法有 (种). .6 分
(2)符合条件的选法有两类:
第 1 类，2 名男生，2 名女生的选法有 种；
第 2 类,3 名男生,1 名女生的选法有 种;
所以男生不少于 2 名的不同选法有 (种). .7 分
16. (1) 由题知, ,由组合数性质可知, ;
令 得展开式中各项的系数和为 6 分
(2)因为 ，所以展开式共有 7 项，
由二项式系数的性质可知，第 4 项的二项式系数最大，
所以 .9 分
17. (1) 因为 平面 平面 ,因此 , ,故 ,
在等腰 中，易知 ， ，
由正弦定理可得 ,则 ,
在 中,由余弦定理 ,
可得 ,故有 ,则 ,
因为 平面 ,且 ,
所以 平面 . .6 分
(2)由(1)知， 三者两两垂直，
则以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ,
又 ,可得 ,
因为 平面 ,所以平面 的一个法向量为 ,
又 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,
令 ,则可得平面 的一个法向量,为 ,
所以平面 与平面 的夹角余弦值为 .
9 分
18.(1)设事件 为“游客步行上山”，事件 为“游客乘观览车上山”，事件 为 "游客步行下山",
由题意可知 ,
由全概率公式 ,
即该游客是步行下山的概率为 . .8 分
(2)由(1)可知每位游客步行下山的概率均为 ，故这 4 人中步行下山的游客人数 ,
故 , 4 分
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
256 3 64 27 128 27 64 81 256
3 分
的数学期望 . 2 分
19. ( 1 )取 中点 ，连接 ， ，
因为 为 中点,所以 ,且 ,
又 ,所以 ,
所以四边形 为平行四边形,即 ,
又 平面 平面 ,所以 平面 ; 4 分
(2)(i)因为 平面 ，且 ，
以点 为原点，建立如图所示空间直角坐标系:
则 ,
所以 ,
因为 平面 平面 ,
所以平面 平面 ,
又因为平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,所以平面 的一个法向量为 ,
设平面 的法向量为 ,则
不妨取 ,则 ,则 ,
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 ; 7 分
(ii) 存在点 满足题意,
易知 ，
假设存在点 满足题意,设 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,
所以点 到平面 的距离 ,化简可得 , 解得 或 (舍去),即 6 分

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