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江苏省无锡市 2025-2026 学年度第二学期 高二年级期中考试数学模拟试卷 (二)
本试卷满分 150 分
一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，每小题 5 分，共 40 分)
1. " " 是 "直线 与曲线 相切” 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 的展开式中， 的系数为( )
A. 80 B. 40 C. -80 D. -40
3. 从1,2,3,4这四个数中一次随机选取两个数,所取两个数之和为 5 的概率是
A. B. C. D.
4. 随机变量 的分布列如下表,其中 ,成等差数列,且 ,则 ( )
A. B. C. 2 D.
5. 已知函数 ，则函数 ( )
A. 既有极大值也有极小值 B. 有极大值无极小值
C. 有极小值无极大值 D. 有 2 个零点
6. 若实数 是函数 的零点,则 ( )
A. 0 B. 1 C. e D.
7. 现从环保公益演讲团的 6 名教师中选出 3 名，分别到 三所学校参加公益演讲活动，则甲、乙 2 名教师不能到 学校，且丙教师不能到 学校的概率为( )
A. B. C. D.
8. 设函数 与 是定义在同一区间 上的两个函数,若对任意的 ,都有 ，则称 与 在 上是“ 度和谐函数”， 称为“ 度密切区间”。设函数 与 在 上是 “ 度和谐函数”,则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题(在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分, 每小题 6 分, 共 18 分)
9. 已知 ,若随机事件 相互独立,则 ( )
A. B. C. D.
10. 在 100 件产品中, 有 98 件合格品, 2 件不合格品, 从这 100 件产品中任意抽出 3 件, 则下列结论正确的有( )
A. 抽出的 3 件产品中恰好有 1 件是不合格品的抽法有 种
B. 抽出的 3 件中至少有 1 件是不合格品的抽法有 种
C. 抽出的 3 件中至少有 1 件是不合格品的抽法有 种
D. 抽出的 3 件产品中至多有 1 件是不合格品的抽法有 种
11. 已知函数 与 有两个不同的交点,交点坐标分别为 ,下列说法正确的有( )
A. 在 上单调递减，在 上单调递增
B. 的取值范围为
C.
D.
三、填空题(将答案填写在答题卡上，每小题 5 分，共 15 分)
12. 函数 在 处的切线方程为_____.
13. 设 ，若 ，则 _____.
14. 学校食堂为了减少排队时间，从开学第 1 天起，每餐只推出即点即取的 套餐和 套餐. 某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前 1 天选择了 套餐，则第 2 天选择 套餐的概率为 ; 若他前 1 天选择了 套餐，则第 2 天选择了 套餐的概率为 . 已知他开学第 1 天中午选择 套餐的概率为 ，则第 2 天选择 4 套餐的概率为_____，设开学4 天后，他累计选 套餐的天数为_____，则( ——_____
四、解答题 (解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤, 本题共 5 小题, 共 77 分)
15. (本小题满分 13 分) 已知函数 ,且 .
(1)求 单调区间；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值.
16. (本小题满分 15 分) 已知函数 .
(1)当 时，证明函数 在区间 上只有一个零点；
(2)若存在 ，使不等式 成立，求 的取值范围.
17. (本小题满分 15 分) 已知 .
(1)若曲线 在 处的切线与 垂直，求实数 的值；
(2)若函数 存在两个不同的极值点 ，求证: .
18. (本小题满分 17 分)政府机构改革是深化行政管理体制改革的重要组成部分，按照精简、统一、效能的原则和决策权、执行权、监督权既相互制约又相互协调的要求，着力优化组织结构，规范机构设置、完善行政运行机制, 为调研某地社保中心的改革情况, 现特地对某市医保报销流程的简化过程以及老百姓报销所花费的时间是否布有所减少作了调查统计. 假设报销时所需携带的资料已经搜集齐全的情况下, 来统计将各种所需资料带齐到时. 社保中心相关部门申请办理，经审核等各流程办理通过所花费的时间，为此，在该市社保中心的确名报销人员中进行随机抽样，共抽取 10 人进行调查反馈，所选报销人员情况如表所示:
组别 办理时间(单位:分钟) 人数
一 1
二 5
三 3
四 1
(1)估计这 60 名报销人员中办理时间大于等于 10 分钟且小于 30 分钟的人数；
(2)现从这 10 人中随机抽取 2 人，求这 2 人全部不来自第二组的概率；
(3)现从这 10 人中随机抽取 3 人进行问卷调查，设这 3 个人共来自 个组，求随机变量 的分布列及数学期望.
19. (本小题满分 17 分) 已知函数 ,其中 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的最大值；
(3)若 ，求证: .
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C A B A D B ABD ABC
题号 11
答案 ACD
12.
,则当 时,切线的斜率 ,
因 时 ,所以切线方程为 ,即 .
故答案为:
13. 11
令 ,则 ,则 ,
的通项为: ,
令 可得 ,令 可得 ,
所以由 可得 ,所以 . 故答案为: 11 .
14.
设 “第 天选择 套餐” ，则 “第 天选择 套餐”，
根据题意 ,
由全概率公式,得 ;
设 “第 天选择 套餐”, ，
则 ,
由全概率公式,得 ,
即 ,
则 ,
则 .
15. (1)单调递减区间为 ,单调递增区间为 和 ;
(2)最大值为 ，最小值为 .
(1) ， ，
,即 ,
令 ,则 ,令 ,则 或 ,
函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 和 ,
(2)由(1)可知函数在 上单调递增，在 上递减，
,
,
函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
16.(1)证明: 当 时, ,
令 ,
在 上为增函数,
,
,使 ,
当 时, ; 当 时, ,
因此, 在 上为减函数, 在 上为增函数,
当 时, ,当 时, , 故函数 在 上只有一个零点.
(2)解:当 时， ，由(1)可知， ，即 ，
当 时, 在 上为减函数,当 时, 在 上为增函数,
,
由 ,知 ,
设 ,则 ,
在 上为减函数,
又 ,
当 时, ,当 时, ,
存在 ,使不等式 成立,此时 ;
当 时，由( 1 )知， 在 上为减函数， 在 上为增函数，
所以 ,所以不存在 ,使不等式 成立,
当 时,取 ,即 ,所以 ,
所以存在 ,使不等式 成立,
综上所述， 的取值范围是 或 .
17. ( 1 ) 的定义域为 ，且 ，
因为曲线 在点 处的切线与直线 垂直.
所以 ,解得 .
(2)由题意可得 ， ，
因为函数 有两个极值点 ,
即 在 上有两个不等实根 ,
则 ,
由题意得 ,解得 .
则
令 ,其中 ,
,故 在 上单调递减;
所以 ,即 ,
故 得证.
18. (1)由题意，在所抽取的 10 人调查的样本中，
办理时间大于等于 10 分钟且小于 30 分钟的频率是 ,
所以估计这 60 名报销人员中办理时间大于等于 10 分钟且小于 30 分钟的人数为 .
(2)记“从这 10 人中随机抽取 2 人，这 2 人全部不来自第二组”为事件 .
因为在这 10 人中, 来自第二组的有 5 人, 不是来自第二组的有 5 人,
所以从这 10 人中随机抽取 2 人，基本事件的个数为 ,
其中这 2 人全部不来自于第二组包含的基本事件的个数为 ,
所以这 2 人全部不来自第二组的概率 .
(3)由题意，得 的所有可能取值为1,2,3，
所以随机变量 的分布列为
1 2 3
71 120 38 120
所以随机变量 的数学期望为 .
19.( 1 ) 时，
,
令 ,得 ,
令 ,得 ,
两式相加可得 .
(2) ,
不妨设 为 中的最大值,则
中最大值为 .
(3)若 ,
因为
所以 .

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