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2025~2026 学年第二学期期中调研考试 高二数学试题
注意事项:
1. 考试时间 120 分钟，试卷总分 150 分。
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3. 请用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。
1. 设离散型随机变量 服从两点分布，其分布列如下表，则 ( )
0 1
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.6 D. 0.7
2. 已知点 ,若向量 ，则点 的坐标是 ( ).
A. B. C. D.
3. 杨辉是我国南宋时期的一位杰出的数学家,在他所著的 《详解九章算法》一书中, 画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形, 称为 “开方做法本源”. 现在简称为 “杨辉三角”.
右边是 ,当 时展开式中的二项式 ( 系数表示形式. 1
10
借助该表示形式，判断 与 的值分别是( )
A. 5,9 B. 5,10 C. 6,9 D. 6,10
4. 某 10 人组成兴趣小组,其中有 5 名团员,从这 10 人中任选 4 人参加某种活动,用 表示 4 人中的团员人数，则 ( )
A. B. C. D.
5. 可表示为( )
A. B. C. D.
6. 的展开式中 的系数为( )
A. 100 B. 60 C. 40 D. 20
7. 在空间直角坐标系中,已知 ,则直线 与 的位置关系是( )
A. 垂直 B. 异面 C. 平行 D. 相交但不垂直
8. 用 代表红球, 代表蓝球, 代表黑球,由加法原理及乘法原理,从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 的展开式 表示出来,如: “1”表示一个球都不取、“ ”表示取出一个红球,而“ ”则表示把红球和蓝球都取出来. 依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球, 且所有的红球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列关于空间向量的说法中正确的有( )
A. 若向量 、 共线，则向量 、 所在的直线平行
B. 若向量 、 所在的直线是异面直线，则向量 、 一定不共线
C. 若三个向量 、 、 两两共面，则三个向量 、 、 一定共面
D. 若 、 、 是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量 ，总存在唯一的有序实数组 . 使 .
10. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数 (每一位上数字只能是 0 或 1,例如出现 “ 1010 ” ),其中 的各位数中 出现 0 的概率为 ,出现 1 的概率为 ,各个位数之间互相独立. 记随机变量 ,则当程序运行一次时,下列说法正确的有( )
A. B.
C. 的数学期望 D. 随机变量 的方差
11. 已知 ,则下列说法正确的有 ( )
A. 展开式的各二项式系数的和为 0 B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知随机变量 ,且 ,则 _____.
13. 在 的展开式中，有理项的个数共有_____个.
(第 14 题图)
14. 如图,在体积为 1 的三棱锥 的侧棱 上分别取点
,使 .
记 为平面 、平面 、平面 的交点.
则三棱锥 的体积等于_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。
15.(13分)如图，以正四棱锥 的底面中心 为坐标原点建立直角坐标系 ，其中 ， ， 为 的中点，正四棱锥的底面边长为 ，高为 .
(第 15 题图)
(1)求 ；(用含有 和 的式子表达)
(2)当 是二面角 的平面角时,求 .
16. (15分)甲、乙、丙等 6 名同学利用周末到社区进行志愿服务.
(1)进行合影留念时，6 名同学站成一排. 甲、乙两名同学之间恰有 2 人的不同排列方案有多少种
(2)6 名同学分成三组(每组至少有一人)，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？
17. (15分)现有编号为1，2，3)的三个口袋，其中 1 号口袋内装有两个 1 号球，一个 2 号球和一个 3 号球: 2 号口袋内装有两个 1 号球, 一个 3 号球; 3 号口袋内装有三个 1 号球, 两个 2 号球; 第一次先从 1 号口袋内随机抽取 1 个球, 将取出的球放入与球同编号的口袋中, 第二次从该口袋中任取一个球,
(1)在第一次抽到 3 号球的条件下，求第二次抽到 1 号球的概率；
(2)求第二次取到 2 号球的概率；
18.(17分)如图，等边三角形 的边长为 分别为所在边的中点， 为线段 的中点，现将三角形 沿直线 折起,使得二面角 为直二面角.
(1)求线段 的长度；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值；
(3)棱 上是否存在异于端点的点 ，使得点 到平面 的距离为 . 若存在，请指出点 的位置; 若不存在,请说明理由.
(第 18 题图)
19.(17 分)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下:拿出 瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后， 再让其品尝这 瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试. 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分. 现分别以 表示第一次排序时被排在 的 种酒在第二次排序时的序号,并令 ,则 是对两次排序的偏离程度的一种描述.
(1)当 时,若 等可能地为 1，2，3 的各种排列，求 的所有可能的取值集合；
(2)取 ，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下， ， ， ， 等可能地为 1，2，3，4 的各种排列, 且各轮测试相互独立.
① 求 的分布列与数学期望；
②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 ，计算出现这种现象的概率；出现这种现象，能否认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能？请说明理由.
2025~2026 学年第二学期高二年级期中考试数学答案一.单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 10 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D D A B C B
二.多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。(即:若有两个正确选项，每选对一个得 3 分，若有三个正确选项，每选对一个得 2 分. 有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 BD BCD BCD
三.填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.
四.解答题
15. 解: (1) 由题意知 由此得:
,
3 分
由向量的数量积公式有:
6 分
(2)若 是二面角 的平面角,则
由 可得 又 ,
解得: 11 分 ,
所以 13 分
16. 解:(1)从除甲、乙以外的 4 人中任取 2 人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体， 再与余下 2 个人全排列,则有 种排列方案; 7 分
(2)由题可得学生的人数分组方案可以有:①1,2,3；②1,1,4；③2,2,2；
①6 名学生人数按1,2,3分为三个组有 种分组方法，
则 6 人分配到三项不同的社区服务共有 种分配方法; 9 分
②6 名学生人数按1,1,4 分为三个组有 种分法,则 6 人分配到三项不同的社区服务,
一种服务 1 人、一种服务 1 人、一种服务 4 人共有 种分配方法; 11 分
③6名学生平均分配做三项不同的社区服务有 种分配方法; 13 分
则 6 人分配进行三项不同的社区服务，每组至少一人一共有:
种方法. 15 分
17. 解: (1) 用 分别表示第一次、第二次取到 号球, ,则第一次抽到 3 号球的条件下,第二次抽到 1 号球的概率 ; 7 分
(2)依题意 两两互斥，其和为 ，并且 9 分 11 分
应用全概率公式,有 . 15 分
18. 解:(1)连接 ，则 ，且 ，由题意知面 面 ，且面 面 ， 又 面 ,所以 面 . 取边 的中点记为 ,则 .
以 为正交基底建如图所示空间直角坐标系,
易知 ,所以 ; 4 分
(2)由题知 ，
记面 的一个法向量 ,
易知 ,
所以 ,不妨取 ,得 ,即 , 记直线 与平面 的所成角为 ,
则 , 8 分
考虑到 ,有 ,从而
所以直线 与平面 的所成角的余弦值为 10 分
(3)设 ，其中 . 12 分
,
,记平面 的一个法向量为 ,
则有 ,
不妨取 ,解得 ,即 ,
则点 到平面 的距离 ,
整理得: ,即 ,
解得 或 , 16 分
所以当点 位于线段 的靠近点 的三等分点时, 17 分点 到平面 的距离为 .
19. 解: (1) 当 时, 的各种排列方式如下表:
1 1 2 2 3 3
2 3 1 3 1 2
3 2 3 1 2 1
0 2 2 4 4 4
的可能取值集合为 , 3 分
(2)① 当 时，
考虑到在1,2,3,4中奇数和偶数各有两个,所以 中的奇数个数等于 中的偶数个数,那么 与 的奇偶性相同,
所以对于 必为偶数,
而 ,且易知
从而 的可能取值为 ; 6 分
(或者通过列举法列出 的所有可能的取值)
的分布列为:
0 2 4 6 8
2 4 1 8 7 24 3 8 1 6
11 分 (注: 每对一项得 1 分)
从而 的数学期望 . 12 分
② 记“在相继进行的三轮测试中都有 为事件 ，
“在某轮测试中有 为事件 ,则 ,
又各轮测试相互独立,
16 分
考虑到 ,该可能性非常小.
根据概率的实际推断原理, 这样的小概率事件在试验中几乎不可能发生, 从而我们认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能，而非靠随机猜测. 17 分

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