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福建省南安市侨光中学等校2025-2026学年高一下学期第一次阶段考试数学试题
一、单选题
1．已知是等边三角形，边长为4，则（ ）
A． B．8 C． D．
2．在梯形中，，点在对角线上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知夹角为，且，则等于（ ）
A． B． C． D．10
5．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．已知中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
7．复数满足条件，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．给出下列命题，不正确的有（ ）
A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若为非零向量，则与同向
C．若，则 D．已知λ，μ为实数，若，则与共线
10．已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ）
A．复数z的虚部是 B．
C．复数z的共轭复数是 D．复数z的共轭复数对应的点位于第四象限
11．已知中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．的面积为
C．
D．在的外接圆上，则的最大值为
三、填空题
12．已知，为虚数单位，若为实数，则______．
13．钟楼是银川二中校园的一大特色建筑，每逢新年，悠扬深远的钟声都会为大家祈福．小蓝为了测量钟楼的高度AB，采取了以下方法：在校园内D点处测得塔顶A点处的仰角为45°，后退36.8米后，在F点处测得塔顶A点处的仰角为30°，已知小蓝的眼睛距离地面高度为米，则钟楼高度AB约为_________米．（结果保留小数点后一位，参考数据：）．

14．已知平面单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则的最小值是______.
四、解答题
15．已知向量.
(1)若，求；
(2)若，求；
(3)若，求在方向上投影向量的坐标.
16．已知复数是关于的方程的两个根，且.
(1)求和的值；
(2)记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数.
17．如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.
(1)设，，试用，表示；
(2)求；
(3)设，，求的最小值.
18．在中，角的对边分别是，的面积为，且.
(1)求角的大小；
(2)在中，，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，如图所示，为外一点，，，求外接圆半径的长.
19．折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片中，，，所对的边分别为，，，的面积为，.
(1)证明：；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，是的中点，现需要对纸片做一次折叠，使点与点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积.
参考答案
1．A
【详解】因为是等边三角形，边长为4，
所以.
故选：A.
2．A
【详解】根据题意，作图如下所示：
由题意得，.
故选：A.
3．B
【详解】因为，
且，，三点共线，
所以存在实数，使得，即，
则，解得.
故选：B
4．A
【详解】
故选：A
5．B
【详解】对于A，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误；
对于B，根据正弦定理得，，
又，，B有两解，故B符合题意；
对于C，由正弦定理：得：，
C只有一解，故C不符合题意.
对于D，根据正弦定理得，，
又，，D只有一解，故D不符合题意.
故选：B
6．A
【详解】，，
由余弦定理可得，去分母得：，即，
则为直角三角形.
7．C
【详解】由且，得，
∴，整理得，
∴，
当且仅当，即，时，取得最小值.
故选：C
8．C
【详解】解法一 ：如图所示：

连接，设，连接，依题意得，，，，
则，
．
因为，所以，（三角函数的有界性）
所以．
故选：C．
解法二 如图，

以为坐标原点，以直线为轴，过且和垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，
则依题意可得，，，
因为圆的半径为1，所以可设，
所以，，所以，
又，（三角函数的有界性）
所以．
故选：C．
解法三 如图所示：

设，则．
可看成是在上的投影，
当点与重合时最小，最小值为，
当点与重合时最大，最大值为0，
故．
故选：C．
9．CD
【详解】由相等向量的概念可知A正确；
因为，所以与同向，B正确；
若，则不一定平行，C不正确；
若，则与不一定共线，D不正确.
故选：CD
10．CD
【详解】，
对于A，复数z的虚部是，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，复数z的共轭复数是，故C正确；
对于D，，在复平面内，对应点的坐标为，
复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确.
故选：CD
11．ABD
【详解】在三角形中，由余弦定理，
，故，故正确；
在中，由余弦定理得：，
，故正确；
由余弦定理可知：，，
平分，，
，
在三角形中，由正弦定理可得：，
故，故不正确；
，，，，
，
为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1，
显然当取得最大值时，在优弧上．
故，设，则，，
，
，，
，其中，，
当时，取得最大值，故正确．
故选：．
12．
【详解】依题意，为实数
所以.
故答案为：
13．
【详解】由已知得，
因为
所以，
即，解得，
所以钟楼高度AB约为米.
故答案为：.
14．
【详解】设、的夹角为，由，为单位向量且满足，
可得，解得；
又，，所以，
，，
，的夹角为，则，
所以时，取得最小值为
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）时，，所以，
故.
（2），
由，可得，
解得.
（3）时，，
此时在方向上的投影向量的坐标为.
16．(1)，
(2)
【详解】（1）由复数是实系数方程的一个根，
可知也是方程的一个根，
由韦达定理，可得，
，
所以，.
（2）因为，所以，则，
则得，由（1）可得，，
所以.
17．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由，得，所以.
（2）在等边中，，
由（1）得，
，，，
，
所以.
（3）由（1）知，，而，，
因此，而共线，则，
又，于是，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为的面积为，所以，代入，
得，即，
所以，即，所以.
（2）由（1）知，且，由正弦定理得，
所以，且，
所以
，
因为，所以.
所以的取值范围为.
（3）设，则，，
所以，，
因为，所以，所以.
因为在中，设为的中点，则，且
在直角三角形中，，，
在中，由正弦定理得
，所以.
故外接圆半径.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：由正弦定理可得，则，
又因为，所以；
（2）将代入，
得
即，所以，
即，解得：，
又因为，所以；
（3）由余弦定理得，则，
即，所以解得
则；
设折痕为线段，其中在上，在上，设，，
则，，，
在中，由余弦定理得，解得
在中，由余弦定理得，解得
重叠部分的面积为的面积，.
因为
所以.
所以

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