资源简介

福建龙岩市高级中学等学校2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，为相互垂直的单位向量，则（ ）
A．2 B． C． D．4
3．已知中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的斜二测直观图，其中为正三角形，，则的面积是（ ）
A． B． C．2 D．
6．猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．任何一个复数z＝a＋b（其中a、b∈R，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．
C．
D．在复平面内对应的点的坐标在第三象限
9．已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）= i2020，则下列说法错误的是（ ）
A．复数z的模为 B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为 D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
10．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．与同向的单位向量为
C．在上的投影向量为
D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
11．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（ ）
A．圆锥SO的高为8m B．圆锥SO的侧面积为
C．圆锥SO的体积为 D．圆锥SO外接球的表面积为
三、填空题
12．已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______．
13．在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________．
14．如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________．
四、解答题
15．已知复数是实数，是虚数单位．
(1)求复数；
(2)在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
16．平面内给定三个向量．
（1）求满足的实数m，n；
（2）若，求实数k；
（3）设满足，且，求．
17．如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是，且底面直径与母线长相等．
(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱的体积．
18．已知在中，为中点，，，.

(1)若，求；
(2)设和的夹角为，若，求证：；
(3)若线段上一动点满足，试确定点的位置.
19．在中，内角所对的边分别为，已知
(1)求角；
(2)若为边上一点(不包含端点)，且满足，
(i) 若，求的长；
(ii) 求的取值范围.
参考答案
1．B
【详解】由.
故选：B
2．C
【详解】解：因为向量，满足，，，
所以，
则
故选：C
3．D
【详解】因为，
所以，
故选：D
4．C
【详解】依题意，设球的半径为，则圆锥的底面半径是，再设圆锥的高为，
则有，解得，
所以圆锥的高与底面半径之比为．
5．D
【详解】在直观图中，，
在三角形中，过点作⊥于点，则，，
故，
还原直观图得原图如下，
，
由得，
所以的面积为.
故选：D
6．D
【详解】由题意，可得，
且，在中，可得，
在中，可得，
在中，由余弦定理得：
所以．
故选：D．
7．D
【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，，，，
所以，
因为的取值范围是，所以的取值范围是.
故选：D．
8．AC
【详解】对A，由题意可知，当时，，所以，A正确；
对B，，所以B错误；
对C，，，所以C正确；
对D，由，所以在复平面内对应的点的坐标在第四象限，D错误．
故选：AC．
9．ABC
【详解】解：复数满足，整理得．
对于A：由于，故，故A错误；
对于B：由于，故，故B错误；
对于C：复数的虚部为，故C错误；
对于D：复数在复平面内对应的点为，故该点在第一象限内，故D正确；
故选：ABC．
10．AB
【详解】对于，故A正确；
对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确；
对于在上的投影向量为，故C错误；
对于D，因，则，
由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误．
故选：AB.
11．ABD
【详解】对A，母线的长为10m，底面半径OA长为6m，圆锥SO的高为，A选项正确；
对B，圆锥SO的侧面积，B选项正确；
对C,圆锥的体积,C选项错误，
对D，设圆锥SO的外接球半径为，则，解得，
所以圆锥SO外接球的表面积为，D选项正确.
故选：ABD
12．4
【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上，
而表示圆上的点到定点的距离，
圆心到定点距离为：
所以（是虚数单位）的最小值为：.
13．
【详解】在正方体中，
,
所以，
所以三棱锥的表面积．
14．4
【详解】在中，由，
又，所以，
所以
，
又，所以，
所以
又D，E，F三点共线，且在直线外，
所以有：，且，
所以，，
当且仅当时，等式成立，
所以的最小值为4．
故答案为：4．
15．(1)
(2).
【详解】（1）因为，
所以.
又因为是实数，所以，所以.
所以.
（2）因为，
所以.
又因为复数在复平面内对应的点在第一象限，所以，
解得，即实数的取值范围是.
16．（1）；（2）；（3）或．
【详解】（1）∵,
∴.
∴解得
（2）∵,∴.
解得.
（3）∵,,
∴
解得或
∴或.
17．(1)3
(2)
【详解】（1）设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为.
由题意：.
即圆柱的底面半径为3.
（2）因为为等边三角形，且其外接圆半径为3，
所以，
又三棱柱的高为6，所以.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)点为线段的中点
【详解】（1）因为，则，可得，
因为，，，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，
.
（2）因为为的中点，则，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，，
又因为、均为非零向量，故，即.
（3）因为点在线段上的一点，设，其中，
则，所以，，
又因为，且、不共线，
所以，，解得，此时，点为线段的中点.
19．(1)
(2)(i) (ii)
【详解】（1）∵，
由正弦定理可得，
∵，∴，∴，
∴，即，即，
∵，∴.
（2）(i)∵，∴，
∴，∴，∴.
∴，
∴
∴.
(ii) ∵，∴，∴，
∵，∴，
由∵点在边上且不包含端点，
∴，
在中，，
在中由正弦定理可得，又∵，
∴，
∵，则，∴，
∴的取值范围是.

展开更多......

收起↑