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2026 年呼伦贝尔市普通高中高三联合考试 数学试卷
本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置. 考试结束后, 将答题卡交回.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.
3. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个 选项是正确的.
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知 ( 为虚数单位),则
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
3. 已知数列 为等差数列， 的前 项和为 ， ， ，则
A. -1 B. C. D. 3
4. “ ” 是 “ ” 的 ( ) 条件.
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
5. 在数学史上，为了三角计算的简便和精确，曾经出现过下列两种三角函数:定义 1- 为角 的正矢，记作 ，定义 为角 的余矢，记作 . 若 ,则
A. B. C. D.
6. 当 且满足 时，若 恒成立，则 的取值范围为
A. B. C. D.
7. 已知平面向量 满足 与 的夹角为 ,记 , 则 取最小值时
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,则不等式 的解集是
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是
A. 样本相关系数 越大,则线性相关性越强
B. 回归直线 必过样本中心点
C. 数据8,6,4,11,3,7,9,10的第 75 百分位数为 9.5
D. 若随机变量 ，则 越大 越小
10. 已知函数 ，其中实数 ，则下列说法正确的是
A. 函数 有两个极值点
B. 若函数 有 3 个零点,则实数
C. 有两条与直线 平行的切线,且切点坐标分别为 , 则 的最小值为 2
D. 若直线 与曲线 有 3 个不同的交点 ,且 则
11. 已知直线 与抛物线 交于 两点，且 交 于点 ， 则以下正确的有
A. 若点 的坐标为 ，则 B. 点 的轨迹方程为
C. 面积的最小值为 D. 线段 长度的最小值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 在 的二项展开式中，则 的系数为_____(用数字作答)
13. 某校人工智能社团共有甲、乙等 6 名成员，指导老师要从中选出 3 人组队参加全国青少年 AI 创新大赛，参赛队中 1 人负责主程序编写，另外 2 人负责数据标注，若甲、乙两人有且只有一人参赛，则参赛队的人员安排方法数为_____(用数字作答)
14. 在直三棱柱 中， ，该三棱柱存在体积为 的内切球(与侧面、底面均相切) 则 _____ (2 分),当 为 的中点, 为棱 上的点, 时，四面体 外接球的表面积为_____(3 分).
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数
(1)求 ；
(2)在 中， ，求 的面积.
16. (15分)如图，在平行六面体 中，底面 是边长为 1 的正方形， 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的大小.
17. (15分)近年来人工智能与机器人技术快速发展，智能巡检机器人已成为智慧城市安防的重要装备。某科技公司研发的智能巡逻机器人，在 、 两个核心区域间按如下规则巡逻: 若当前在 区，则下一时刻留在 区的概率为 ，移动到 区的概率为 ；若当前在 区， 则下一时刻留在 区的概率为 ,移动到 区的概率为 . 已知机器人第 1 次巡逻时，在 区和 区的概率均为 . 记第 次巡逻时,机器人在 区的概率为 .
(1)求第 2 次巡逻时,机器人在 区的概率；
(2)求 的表达式(用 表示).
18.(17分)已知椭圆 的离心率为 ，左焦点为 ，右顶点为 ，短轴长为 8 .
(1)求 的方程；
(2)已知点 在直线 上且直线 的斜率为 ，过点 的直线与椭圆相切点 (异于点 .
(i) 求直线 的方程;
(ii) 求证: .
19. (17 分) 已知函数 .
(1)求 在 处的切线方程；
(2)设函数 .
(i) 证明: 恒成立；
(ii) 若 ,证明: .
2026 年呼伦贝尔市普通高中高三联合考试 数学试卷参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是正确的.
1 2 3 4 5 6 7 8
C A D B C D D B
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9 10 11
BCD AD AC
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 14. .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 若函数
(1)求 ；
(2)在 中，已知 ，求 的面积.
【详解】(1)
. 2 分
又 . .4分
(2) . .6分
又
. .8分
由正弦定理得 即
或 . .10分
. 12分
. 13分
(方法二) 由余弦定理可知 8 分
解得 10 分
所以 12 分
. 13 分
16.(15 分)如图，在平行六面体 中，底面 是边长为 1 的正方形， ， 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；(2)求平面 与平面 夹角的大小.
(1)证明:(方法一)连结 交 于点 ，连结 .
四边形 为平行四边形.
为 的中点又 为 的中点
平面 平面
平面 . .7分
(方法二)设 , 1 分
则 4 分
所以 5 分
又因为 平面 平面 6 分
所以 平面 7 分
(方法三) 取 的中点 连结 .
取 的中点 连结 . .2分
四边形 为平行四边形. .3分
又
四边形 为平行四边形. .4分
又 分别为对应棱的中点
四边形 为平行四边形 .6分
又 平面
平面 . .7分
(2)(方法一)以 为原点， 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系......8分 (考生作图中, 轴未通过 不扣分)
设
解得
解得
解得 即 10分
解得 . .11分
又
设平面 的法向量 ,则
解得 . 13分
平面 的法向量
平面 与平面 的夹角设为 ,它的余弦值
又 . 15分
(方法二) 连结 ,
,又
平面
同理可得 平面
又
平面 .10 分
连结 AC,解得
以 为原点 为 轴建立如图所示的坐标系. .11分则
，由 得到 . .12分
又 ，由 得到
设平面 的法向量 ,则
解得 . .13分
平面 的法向量
平面 与平面 的夹角设为 ,它的余弦值
又 . .15分
方法三: 连结 ,
,又
平面
同理可得 平面 9 分
又
平面 10 分
连结 AC,解得
过点 做 交 的延长线于点
则 平面 . .11分
延长 与 的延长线交于点 ，则 为平面 与平面 的交线
连结 ,在 中
,满足勾股定理
为二面角 的平面角. 12分
. 14分
平面 与平面 的夹角为 . .15分
17. (15 分)近年来人工智能与机器人技术快速发展，智能巡检机器人已成为智慧城市安防的重要装备。某科技公司研发的智能巡逻机器人，在 、 两个核心区域间按如下规则巡逻:若当前在 区， 则下一时刻留在 区的概率为 ，移动到 区的概率为 ；若当前在 区，则下一时刻留在 区的概率为 ,移动到 区的概率为 . 已知机器人第 1 次巡逻时,在 区和 区的概率均为 . 记第 次巡逻时,机器人在 区的概率为 .
(1)求第 2 次巡逻时，机器人在 区的概率；
(2)求 的表达式(用 表示).
【详解】设事件 : 为第 1 次巡逻在 区,事件 : 第 2 次巡逻在 区,则由题意可知, , 分
(1)第 2 次在 区的情况分为两类:
第 1 次在 区,第 2 次移动到 区: , 3 分第 1 次在 区，第 2 次停留在 区: , 5 分由全概率公式,第 2 次在 区的概率为:
7 分
(2)从第二次起，第 次在 区的情况分为两类:
若第 次在 区,则第 次移动到 区的概率为: ; 8 分
若第 次在 区,则第 次移动到 区的概率为: ; 9 分
第 次在 区的递推关系为: ; 10 分
构造等比数列: 设 ,代入得 ,解得 ; 11 分
又因为 ,所以 ; 12 分
故数列 是首项为 、公比为 的等比数列. 13 分
故: ,整理得: . 经检验 时式子也成立....15 分
18.(17 分)已知椭圆 的离心率为 ，左焦点为 ，右顶点为 ，短轴长为 8.
(1)求 的方程.
(2)已知点 在直线 上且直线 的斜率为 ，过点 的直线
1).
(i) 求直线 的方程；
(ii) 求证: .
【详解】(1)由已知椭圆短轴长为 8,椭圆离心率为
则 2 分
解的 4 分
所以椭圆方程为 。 5 分
(2)(i)由(1)知 ，设 ，
. 6 分
设过点 的椭圆切线方程为 ,
代入 ,并整理得 .
8 分
由直线与椭圆相切, ,
化简得 . 10 分
故切线方程为 .
联立椭圆方程,解得切点为 . 11 分
又因为 ,所以直线 的方程为 12 分
(ii) 方法一:二倍角正切公式法
由题意可知 . 13 分
. 14 分
又 , 15 分
故 .
故 , 16 分
所以 . 17 分
方法二: 向量夹角公式法
. 13 分
14 分
15 分
故 , 16 分
所以 , 17 分
19. (17 分) 19. 已知函数 .
(1)求 在 处的切线方程；
(2)设函数 .
(i) 证明: 恒成立;
(ii) 若 ,证明: .
【详解】(1) , ..1 分
则 , .3 分
故 在 处的切线方程为为 . ..4 分
(2) (i) .
令 , .5 分
则 ,
由 ,
故函数 在 单调递增,在 单调递减,
所以 ,即 , .7 分
而 ,所以当 时, ,
综上, 恒成立; ..9 分
(ii) 由 (i) 可知 ,
.10 分
所以 , ..11 分
先证 ,
令 ,则 ,故 在 单调递增,
故 ,故 ,
所以 , ..13 分
再证 ,
设 ,则当 时, 单调递减,
当 时， 单调递增，
故当 ,故 ,当且仅当 时取等号, .15 分
故令 ,则 ,故 ,
因此 , .16 分
故 ,
综上可知: .17 分

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