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高三数学学科练习
注意事项:
1. 本卷共 4 页满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3. 所有答案必须写在答题纸上, 写在试卷上无效.
4. 结束后, 只需上交答题纸.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则复数 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 在 中，若 ，则 ()
A. 30° B. 120° C. 135° D. 150°
4. 如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的平面图形, 图中四边形 的对角线相交于点 ，已知 ，则 ()
A. 1 B. -1 C. 0 D.
5. 将椭圆 的长轴 分成 6 等份,过每个分点作 轴的垂线,交椭圆的上半部分于 五点, 是椭圆的右焦点. 若 ,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6. 已知 ,则 ( )
A. -3 B. 3
C. D.
7. 已知函数 ,若 且 ,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 已知集合 ，现随机选取 中 5 个元素构成子集，记该子集中的最小数为 ， 则随机变量 的数学期望是( )
A. B. C. D. 2
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.
9. 如果 ,则下列说法正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 已知四棱锥 中, 为 的中点, 平面 平面 , ，且 . 则下列结论正确的有( ) 浙考神墙750
A. 平面
B. 平面 平面
C. 三棱锥 的体积为 2
D. 直线 与平面 所成角的余弦值为
11. 在平面直角坐标系中, 为坐标原点. 在曲线 上取点 满足 . 设直线 的斜率为 ,则下列结论正确的是 ( )
A. B.
C.
D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知等比数列 的公比为 ,若 ,则 _____.
13. 若在 的二项展开式中， 项的系数为 5，则实数 _____.
14. 已知 为抛物线 的焦点， 为 上的动点，过点 的直线与 相交于 两点，记线段 的中点为 ，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题 13 分)
为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了 100 名，统计他们的成绩(满分 100 分)，其中成绩不低于 80 分的学生被评为 “航天达人”， 将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计参加这次竞赛的学生成绩的第 85 百分位数和平均数;
(2)若在抽取的 100 名学生中，利用等比例分层随机抽样的方法从成绩不低于 60 分的学生中随机抽取 8 人，再从 8 人中随机选择 3 人作为学生代表，设被选中的 “航天达人” 人数为随机变量 ,求 的分布列.
16. (本小题 15 分)
如图,四棱锥 中, ,底面 是边长为 6 的正方形. (1)证明: 平面 ；
(2)若 是 的中点， 是 的中点，点 满足 ，平面 与棱 交于点 ,求 的长度.
17. (本小题 15 分)
已知函数 ,其中 且 .
(1)当 时，求 的极值点；
(2)当 时，讨论 的单调性；
(3)若不等式 恒成立，求 的取值范围.
18.(本小题 17 分)
已知 为坐标原点，点 是焦距为 4 的双曲线 上的三个点， 分别是线段 的中点， 是 的两条互相垂直的渐近线.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与 分别交于 和 ，求证: ；
(3)判断 的外接圆是否过定点；若是，请写出定点坐标并证明，若否，请说明理由.
19. (本小题 17 分)
已知函数 .
(1)若 ，求 的值域；所考神墙750
(2)若 ，求 在 上的所有零点；
(3)若对于满足 的所有 ，都存在 使得 ，求正实数 的最小值.
数学答案与评分标准
一、单项选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B A C D A B
二、多项选择题:
题号 9 10 11
答案 BD ABD ABD
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 13.1 14.5
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1)第 85 百分位数位于累计频率首次超过 0.85 的区间 内
设第 85 百分位数为 ,则: , 2 分
解得: 3 分
平均数=45×0.05+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.20+95×0.10=72.5 5 分
答: 第 85 百分位数约为 87.5 分, 平均数为 72.5 分. 6 分
(2)非航天达人与航天达人人数比为 5:3 ，故从 8 人中抽取非航天达人 5 人，航天达人 3 人 8 分 的可能取值为0,1,2,3
. (每个概率 1 分) 12 分
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
5 2
13 分
16. (1)设 是 中点， ， 平面 , 平面 , 2 分
又 平面 , 4 分
,
平面 平面 7 分
(2)由(1)得直线 两两垂直，以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系,
,则 ,设 ,
, 10 分
由点 平面 ,得 ,
即 ,则 ,
因此
17. (1) .
令 ,得 . 当 时, . 2 分
当 时, ,所以 的单调递减区间为 .
当 时, 的单调递增区间为 .
所以 是极小值点,无极大值点 4 分
(2) ，令 ，得 6 分
又因为当 时, 单调递增,
所以当 时, 在区间 上单调递减,
当 时, 在区间 上单调递增 7 分
(3)依题 ， 恒成立，可得 8 分令 ,则 且 单调递增,
,即 恒成立 9 分
① 当 时， 11 分
② 当 时， ，
由(2)当 时， 取得极小值，也是最小值 12 分所以 的最小值为 ,其中 分由 ,得 ,即 ,得到 ,
所以 14 分
综上,实数 的取值范围是 . 15 分
18. (1)由 垂直 ，得 . 1 分
双曲线的焦距为 4,故 2 分
知双曲线 3 分
(2)易知 ，只需证明 为线段 中点， 5 分
当 斜率不存在时显然成立 6 分
一方面,当 斜率存在时,设 ,分别与 交于
和 ,则 中点坐标为 ; 8 分
另一方面,联立 与 ,可知 ,
结合韦达定理可知 10 分
综上可知, 为 中点,证毕.
(3) 方法一:由对称性可知，若 外接圆过定点，则定点为坐标原点 ，
下面证明: 四点共圆 12 分
注意到, 和 中,至少有两条直线的斜率存在,不妨 的斜率存在,
设 14 分
由(2)知， ，则 . 16 分
故 ，即 ， ， ， 四点共圆 17 分
方法二: 由对称性可知,若 外接圆过定点,则定点为坐标原点 ,
下面证明: 四点共圆
12 分
14 分
16 分
17 分
-1 分 19. (1) 时,
如图所示: 分别是直角三角形
斜边上的中点,
记 ,
可知
;
,
可知 ,
于是 四点共圆.
从而 3 分
的值域为 . 4 分
(2)当 时，
令 ,则有 ,
6 分
,同理
由于 在 上单调递减, . 8 分
,由于
在 上的零点为 10 分
(3)一方面，当 时，取 ，则 不满足条件,故 ; 12 分
另一方面,当 时, ,而
,使得 .
,满足条件; 分
综上: 正实数 的最小值为 17 分

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