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2026 年高考模拟考试 数学试题
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 设全集 ，集合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知 ,则
A. B. C. D. 2-i
3. 已知 ,则 的充要条件是
A. B. C. D.
4. 抛掷一枚质地均匀、六个面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6 的正方体骰子,当出现 6 点时,就说这次试验成功,每次试验的结果相互独立,则在 30 次试验中成功次数 的均值和方差分别为
A. B. C. D.
5. 在 中,内角 所对的边分别为 ,则角 的大小为
A. B. C. D.
6. 用模型 拟合一组数据,令 ,若根据样本数据计算可得 ,且 与 的经验回归方程为 ,则 (参考数据 )
A. 1.2 B.0.92 C.0.3 D. 0.4
7. 设 ,则
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 为第一象限内一点且在椭圆 上, 交 轴于点 ,若 ,则 的离心率为
A. B. 或 C. D. 或
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 的展开式中,第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则
A. 展开式共 9 项 B. 展开式中常数项为 70
C. 展开式中所有项的二项式系数之和为 256 D. 展开式中所有项的系数之和为 1
10. 已知函数 的一条对称轴为直线 ,若 在区间 上单调,且 ,则
A.
B. 在区间 上单调递减
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11. 如图 1, 与 是两个等腰三角形, . 将 沿着 翻折到 ,如图 2,设二面角 的平面角为 ,
分别为 和 的中点,则
图1
图2
A.
B. 四面体 体积的最大值为 1
C. 时,过直线 且与 平行的平面截四面体 所得截面面积为
D. 时,四面体 外接球表面积为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 曲线 在点 处的切线方程为_____▲_____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ,直线 过点 且与 交于 两点， 为坐标原点， 若 是 的等比中项,则 _____▲_____.
14. 是 的重心，过点 且不过 顶点的直线 分别交边 ， 于点 ， ， 记 和 的面积分别为 ， ，则 的最小值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
记 为数列 的前 项和,已知 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 为数列 的前 项和，求 .
16.(15 分)
随着量子计算技术的突破，传统密码的安全性受到挑战. 某实验室为研究“量子算力等级”与 “密码破译成功率”的关系，进行了模拟测试，统计数据如下:
量子算力等级 密码破译成功 密码破译失败 合计
高算力量子机 64 16 80
低算力量子机 36 24 60
合计 100 40 140
(1)依据小概率值 的独立性检验，分析密码破译成功率是否与量子算力等级有关；
(2)该实验室使用两台不同算力的量子机 (记高算力量子机为 机、低算力量子机为 机) 对同一套传统密码进行破译测试,已知 机单次破译成功的概率为 ,失败的概率为 ; 机单次破译成功的概率为 ,失败的概率为 ; 两台机器的破译过程相互独立. 测试方案:先随机选择一台机器进行第一次破译，选中A 机的概率为 ，选中B 机的概率为 ; 若第一次破译成功则停止测试; 若第一次破译失败,则换用另一台机器进行第二次破译,无论第二次破译是否成功都停止测试,求破译成功的概率.
附: ,
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17. (15 分)
如图,四棱锥 的底面是矩形, 底面 为 的中点, 且平面 平面 .
(1)求证: ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值。
18.(17 分)
已知实数 ,设函数 .
(1)若 ，讨论函数 的单调性；
(2)若 ，证明:函数 有唯一极大值点 ，且 ；
(3)记函数 在 内的从小到大的第 个极值点为 ，判断数列 是否为等比数列，若为等比数列，求出该数列的公比；若不为等比数列，请说明理由.
19. (17分)
已知双曲线 过点 ,其渐近线方程为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)圆 与 轴交于 、 两点. 记直线 与双曲线 的另一个交点为 ,直线 与双曲线 的另一个交点为 . 过坐标原点 作 ,垂足为 .
(i) 求直线 和直线 的斜率之积;
(ii) 若 恒成立,求 的取值范围.
2026 年高考模拟考试 数学试题参考答案
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分，共 40 分。
1. B 2. A 3. C 4. B 5.C 6.D 7.A 8.C
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. ACD 10. BC 11. ABD
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. (注:其它等价形式也可以) 13.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。
15.(13分)
解: (1) 由条件 可得, , 1 分
两式相减得, 。 2 分
所以, , 3 分
累乘得, ,
所以, 5 分
当 时， 也符合上式； 6 分
所以，数列 的通项公式为 ； 7 分
(2)记 ，由(1)可得
所以, 10 分
所以， 11 分
12 分
13 分
16.(15分)
解:(1)零假设为 :分类变量“量子算力等级”与“密码破译成功率”，之间无关联. 2 分根据列联表中的数据计算得到
5 分
根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,即认为密码破译成功率与量子
算力等级有关联, 此推断犯错误的概率不大于 0.01 . 7 分
(2)第一次破译成功的概率 , 10 分
第二次破译成功的概率 , 14 分
所以，破译成功的概率 15 分
17. (15 分)
证明: (1) 设 与 交于点 ,连接 ,
在平面 内过点 作 的垂线,垂足为 ,
1 分
因为平面 平面 ,平面 平面
平面 ,
所以， 平面 ， 3 分
又因为 平面 ,所以 ,
因为 底面 平面 ,
所以 5 分
又因为 平面 平面 ,
所以, 平面 , 6 分
又因为 平面
所以, ; 7 分
(2)设 ， 为 中点， ， ，
因为 ,所以 ,得 . 9 分因为底面 是矩形, 底面 ,以 为坐标原点,分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 10 分
则
11 分
设平面 的法向量为 ,则 即
得 ,令 ,得 ,可得 ,
设平面 的法向量为 ,则 即
令 ,得 ,可得 , 13 分
设平面 与平面 夹角为 ,则 .
所以,平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
18.(17 分)
解: (1) 时, 1 分
令 ,得, 2 分
令 ,得, 3 分
所以， 在区间 上单调递增；
在区间 上单调递减。 4 分
(2)证明: .
令 ，因为 ，
所以, 5 分
所以，存在唯一实数
时, 在区间 上单调递增
时, 在区间 上单调递减
所以，函数 有唯一极大值点 . 6 分
要证 成立
即证 7 分
即证 ,即证
即证 成立 8 分
设 ,则 ,令 ,则
所以，函数 在区间 上单调递增 9 分
所以,
所以, ,
即 成立 10 分
所以， . 11 分
(3) 时， ,
其中 12 分
时,
所以, 13 分
所以， 14 分
所以, . 16 分
所以，数列 是等比数列，公比为 . 17 分
19.(17 分)
解:(1)由题意可得 ，所以 ，
则双曲线 的标准方程为 . 3 分
(2)(i)设 ，
则 ， 是方程 的两个实数根，
所以， ， 5 分
所以， . 7 分
(ii) 由题意知 斜率不为 0,设直线 的方程为 ,设 ,
联立 ,可得 ,
且
由韦达定理可得
根据 (i) 9 分
所以
所以
化简得:
代入韦达定理:
化简得: 11 分
由于 ，所以 .
所以, 12 分
由 三点共线得, ,同理得,
所以, 13 分
所以, 14 分
由直线 的方程 ,得直线 的方程 、
联立解得， 15 分
所以,
令 ,则
所以， 16 分
当且仅当 时等号成立
所以, . 17 分

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