资源简介

2026 届高三年级数学学科试卷
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 满足 ,则 ( )
A. 1 B. C. 2 D. 3
2. 设集合 ，若 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 已知平面向量 . 若 ，则 ( )
A. B. C. -2 D. 2
4. 若 ，则 ( )
A. B. C. D.
5. 圆 与圆 的公共弦长为( )
A. 2 B. 4 C. D.
6. 对于事件 ,则 ( )
A. 0.7 B. 0.75 C. 0.85 D. 0.9
7. 抛物线 是其焦点，点 、 在曲线 上，且 为线段 的中点， 过点 作 的准线的垂线,垂足为 ,则 的最小值为( )
A. B. C. D. 3
8. 已知 中, 分别是角 的对边, 的面积 ,角 的平分线交 于 点，且 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知一组数据由 5 个正整数组成，且这组数据中至少有 1 个 8，则关于这组数据的描述可能是( )
A. 中位数为 3 且平均数为 5 B. 平均数为 4 且众数为 4
C. 平均数为 4 且方差为 3.2 D. 中位数为 5 且方差不小于 7.2
10. 如图，在长方体 中， ，点 是棱 上的动点(不含端点)，过点 作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为 ，则()
A. 截面是平行四边形
B. 若 ，则
C. 存在点 ,使得截面为长方形
D. 截面的面积存在最小值
11. 为首项为 1 的正项数列,前 项和为 ,若存在实数 使得 ,则称该数列为 “ . 数列”，则下列说法中正确的有( )
A. 若 是公差为 2 的等差数列,则 是 “3-数列”
B. 若 是 “2-数列”,则 可以是常数列
C. 若 是 “2-数列”，则对任意的正整数 ，
D. 对任意的 ， ，则 “ ” 是 “ 是 “ -数列” 的充要条件
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式中 的系数为_____.
13. 已知椭圆 ，直线 过坐标原点并交椭圆于 ， 两点( 在第一象限)， 点 是 轴正半轴上一点,其横坐标是点 横坐标的 2 倍,直线 交椭圆于点 ,若直线 恰好是以 为直径的圆的切线,则椭圆的离心率为_____.
14. 若函数 有且仅有一个零点 ,且 ,则实数 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 .
(1)求 的最小正周期和单调增区间；
(2)已知锐角 的内角 、 、 的对边分别为 ，且 ，求 边上的高的最大值.
16. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次，若 3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为 0 分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 3 次，每次投中得 5 分，未投中得 0 分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 ，乙每次投中的概率为 ,各次投中与否相互独立.
(1)若 ， ，甲参加第一阶段比赛，在该队成绩为 0 分的情况下，求甲第一阶段被淘汰的概率;
(2)若 ，试分析:应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？
17. 如图，在四棱锥 中， 平面 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成的角为 ，求线段 的长；
(3)是否存在线段 上一点 ，使得 到点 的距离都相等？说明理由.
18. 已知双曲线 的右焦点为 ，离心率为 2，过 且与 轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为 6 .
(1)求曲线 的方程；
(2) 、 、 为曲线 上的三个点，且 、 关于原点对称，直线 过点 ，若 的面积为 12，求直线 的方程；
(3)已知 ，过点 的直线 与 在 轴右侧交于不同的两点 、 ，则直线 上是否存在点 使得 若存在,求出 的坐标,若不存在,说明理由.
19. 已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2) 成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，当 时，直线 与 的图象有三个交点，横坐标分别为 ,求证: .
1-8 CDAABAAD
9~11 ABD AD ABC
12. 40
13.
14.
15. 已知 .
(1)求 的最小正周期和单调增区间;
(2)已知锐角 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ， ， 求 边上的高的最大值.
【答案】(1)由已知 , 2 分最小正周期为 . 3 分
当 时,即 时,函数 单调递增,所以 的单调增区间为 6 分
(2)由 得 ，而 ，故 ， 9 分
由余弦定理可知: ,故 .
设 边上的高为 ,所以有 ,故 . 11 分
而 ,故 ,所以 ,当 时,取等号.
所以 ,因此 边上的高的最大值 . 13 分
由参赛队中一名队员投篮 3 次, 若 3 次都未投中, 则该队被淘汰, 比赛成绩为 0 分; 若至少投中一次, 则该队进入第二阶段, 由该队的另一名队员投篮 3 次, 每次投中得 5 分, 未投中得 0 分, 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲乙两名队员组成, 设甲每次投中的概率为 ,乙每次投中的概率为 ,各次投中与否相互独立.
(1)若 ， ，甲参加第一阶段比赛，在该队成绩为 0 分的情况下，求甲第一阶段被淘汰的概率;
(2)若 ，试分析:应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？
解:(1)记事件 “该队成绩为 0 分”，事件 “甲第一阶段被淘汰”，则 ， 2 分
于是所求为
5 分
(2)若甲、乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩 、 的所有可能取值为0,5,10,15, 则
9 分
则 ,
同理有 , 11 分
所以 .
因为 ,则 , 15 分故应该由甲参加第一阶段比赛.
17. 如图,在四棱锥 中, 平面 .
(1)若直线 与平面 所成的角为 ，求线段 的长；
(2)是否存在线段 上一点 ，使得 到点 ， ， ， 的距离都相等？说明理由.
【答案】
(1) 平面 ， 平面 ， ， 又 平面
平面
又 平面 , 平面 平面 . .5 分
(2)以A为坐标原点，以 为空间正交基底建立空间直角坐标系，设 则
,设平面 PCD 的法向量为 , 则由
,不妨取 ,则 ,即
化简可得 ,解得 ,即 10 分
(3)由(2)设 ，则有
所以 , 11 分解得 , 13 分
消去 ,有 ,此方程的判别式 , 记函数 ,可 所以存在点 使得 到点 的距离都相等 15 分 18.
【解析】(1) 令 ,解得 ,所以有 , 1 分
又由离心率为 2,得 , 2 分
解得 ,所以双曲线 的标准方程是 . 3 分
(2)设 ，由已知，得 ，根据直线 过原点及对称性，
知 , 4 分
联立方程,得 ,化简整理,得 , 5 分
所以 ,且 , 6 分
所以 ,解得 或
所以直线 的直线方程为 或 8 分
(3)若直线 斜率不存在,此时直线 与双曲线右支无交点,不合题意, 故直线 斜率存在,设直线 方程 ,联立方程,得 , 化简整理,得 , 9 分
依题意有 ,因为 恒成立,
所以 ,故 ,结合 解得: , 10 分
设 ,由韦达定理,得 , 11 分设 由 ,
则 ,变形得到 , 12 分
将 代入，解得 ,
将 代入 中，解得 , 13 分
又因为 ,可得
即 , 14 分将点 的坐标代入该方程得到 ,
整理得 ,即 15 分
令 ,则 在区间 上单调递减,又 ,故当 时， 恒成立，即方程 在 内无解， 16 分
所以不存在 T 使之成立. 17 分
19.(1)当 时，可得 ，可得 ， 1 分令 ,可得 ,
当 时, ,可得 ,
即 单调递减; 2 分
当 时, ,所以 单调递增,
则 ,即 单调递增,
所以函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 . 4 分
(2)解:令 ，
可得 ,令 ,
则 ,
当 时, ,故 ,
5 分
当 时, ,故 ,
所以当 时,可得 单调递增,即 单调递增, ,
6 分
当 时, ,则 在 上单调递增,
所以 ,所以 成立,满足题意; 7 分
当 时,存在 ,使得 ,
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
当 时, ,不满足题意,
综上可得,实数 的取值范围为 . 9 分
(3)当 时， ，可得 ，
设 ,可得 ,
设 ,可得 ,
设 ,可得 ,
当 时, ,可得 ,
则 在 上单调递增, 10 分
因为 ,
所以存在唯一 ,使得 ,
可得 在 上单调递减,在 上单调递增, 11 分
所以存在唯一的 ,使得 ,
且 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
12 分
由 ,
又由
因为 ,可得 , 可得 ,所以 ,
则存在唯一 ,使得 ,
且 在 上单调递增,在 上单调递减, 13 分
当 时, ,则 在 上单调递增,
则 ,则存在唯一 ,使得 ,
当 时, ,当 时, ,
当 时, ,可得 ,
在 上单调递增, ,
综上可得,函数 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增, 15 分
要使得 与 的图像有三个交点,
则 ,
,则 ,
又因为 ，则 ，则 ，
所以 ,得证. 17 分

展开更多......

收起↑