资源简介

2026 年高中毕业年级第二次质量检测 数学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 复数 为纯虚数,则实数
A. 4 B. 2 C. -4 D. -2
3. 已知两个非零向量 夹角为 ,且满足 ,则向量 在向量 上的投影向量为
A. B. C. D.
4. 已知 是定义在 上的奇函数,且 ,若当 时, , 则
A. B. C. D.
5. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 30 B. 32 C. 34 D. 36
6. 已知 ,若曲线 与 相邻的三个交点构成一个等腰直角三角形,则
A. B. C. D.
7. 正三棱台 中, 与底面所成角的正切值为 2,则正三棱台 的表面积为
A. B.
C. D.
8. 抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，点 ，若直线 平分 ,则直线 的斜率为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的有
A. 若样本数据 的方差为 3,则数据 的方差为 27
B. 设 为两个随机事件,若 ,则
C. 在线性回归分析中,决定系数 用来刻画拟合的效果, 值越大,则模型的拟合效果越好
D. 8 人的成绩(单位:分)分别为81,82,84,84,85,86,88,90，则这 8 人成绩的上四分位数是 85
10. 在四棱锥 中,已知底面 为直角梯形, ,
为等边三角形,记二面角 的平面角为 ,且 ,直线 与底面 所成角为 ,若 ,则 的值可能为
A. B. C. D.
11. 已知数列 的前 项和为 . 对任意正整数 ,记 ,其中 ,令 ,则
A. 数列 的通项公式为 B.
C. D. 数列 为等差数列
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 的上下式中常数项为 180，则实数 的值为_____.
13. 已知双曲线 ，其左右焦点分别为 ， ，过点 的直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点,则 的最小值为_____.
14. 已知一袋中装有标号为1,2,3,4的卡片各一张,现每次从中取出一张,记下号码后再放回袋中,当四种号码的卡片都被取出过时即停止抽取. 则恰好取 7 次卡片后停止抽取的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 已知锐角 的内角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)求 的取值范围.
16. (15 分)某单位为了提高职工业务能力，举行相关的知识竞赛. 规则如下:利用计算机在题库中选出 3 个题由职工作答,已知题库中有 两类题,每个 类题答对可以得到 20 分,每个 类题答对得 30 分. 两类题的数量足够,每位职工正确回答 类和 类题的概率分别是 和 ,且回答 两类题正确与否相互独立.
(1)若职工甲选 3 个 类题作答,试求甲得分 的分布列和方差；
(2)若甲乙两人每人选择 2 个 类题和 1 个 类题作答，求甲得分高于乙的概率.
17. (15 分) 已知直角梯形 ，如图 1 为平面图形， 为 中点， . 将 沿 翻折到 ，形成四棱锥 P-ABCD，如图 2 所示.
(1)求证: ；
(2)若 ，过 的平面与平面 垂直，且与 交于点 ，求 的值.
图1
图2
18. (17 分)已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， ， 分别为 的左、右顶点,直线 与椭圆交于 两点,当 时, 是椭圆的上顶点,且 的周长为 8 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)以线段 为直径作圆 ,点 始终在圆 内 (包括圆周),求 的取值范围；
(3)过点 作直线 的垂线，垂足为 ，求 的最大值.
19. (17 分) 已知函数 .
(1)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)当 时，不等式 是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例；
(3) 当 时,若满足 ,且 ,求证: .
2026 年高中毕业年级第二次质量检测 数学参考答案
一、选择题
1-8 . BCBA CADD
二、选择题
9. ABC 11. BD
三、填空题
12.
四、解答题
15. 解: (1) 因为 ,则 . 1 分由正弦定理得: 2 分则 ,因为 ,则 . 3 分
所以 ,所以 . 5 分
法二、由余弦定理: , 1 分
代入 ,得 ,又 ,
故 , 3 分
整理得 ,故 , 4 分
又 ,故 . 5 分
(2)在锐角 中，由 ，可得 . 6 分又 , 7 分又 ，则 ，故 . 8 分又 ,设 ,设 ,则 ,
在 上单调递减,在 上单调递增,所以 11 分
又因为 ，所以 ，故 的取值范围为 .
13 分
16. 解:(1)设 “甲选 类题答对” 为事件 ，
根据题意, 的可能取值为0,20,40,60. 1 分
2 分
3 分
所以 的分布列是:
0 20 40 60
4 分
设 为甲答对的 类题的个数,则 ,且 , 5 分
由 ,故 的方差为 . 6 分
(2)设甲、乙的最终得分分别为 ，“甲得分高于乙” 为事件 ，甲得分高于乙包括: 甲得 20 分、 30 分、 40 分、 50 分、70 分五种情况，这五种情况之间彼此互斥.
7 分
又 ,
则 ,
故 15 分
17. ( 1 )证明:取 中点 ，连接 ， ， ，因为 ， ，于为 中点， 所以 ，故四边形 BCDF 为平行四边形 1 分
又 ,故四边形 为正方形. 2 分
从而可得 为等腰直角三角形,故 3 分
又 ，即为 ，故 4 分
又 ,故 平面 5 分
又 平面 ,故 6 分
图1
图2
(2)解:由 ，得 . 7 分
由 (1),得 ,又 ，所以 平面 . 8 分
又 平面 ,故 . 又 , 故 平面 . 9 分
易得 ，故 为等腰直角三角形.
取 中点 ,连接 ,则 . 又因为 平面 ,故 . 又 ,故 平面 . 12 分
因为 平面 ,故平面 平面 . 13 分
因为 平面 平面 ,故 平面 .
故平面 与平面 的交线平行于 ,在平面 内过点 作 交 于 ,由 是 中点,得 为 中点,故 . 15 分
法二、由 ,得 . 7 分
由 (1),得 ,又 ，所以 平面 . 8 分
故 ,又 ,故 两两垂直.
以 为坐标原点,分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 9 分
则 .
故 ,设平面 的一个法向量为 ,
则由 所以 可取 . 10 分
设 ,令 ,则 , 13 分
即 解得 14 分
所以 ,故 . 15 分
18. 解:(1)当 时，直线 ,令 ，得 ，即椭圆的上顶点为 ,故 . 1 分
又 的周长为 8,即 ,又 ,解得 . 3 分所以椭圆 的方程为 . 4 分
(2)由(1)知， ， ，设 ， ，直线 与椭圆 方程联立 得 , 5 分
则 6 分
进而可得 .
由题意知, 对于任意的 恒成立,即 ,
即 , 8 分
将上面的 代入上式，整理得
对于任意的 恒成立,
故 解得 ,故 的取值范围为 . 11 分
(3) . 14 分
16 分
故 的最大值为 . 17 分
19. 解: (1) 设 ,据题意, 对 恒成立,由 ,令 ,则 , 1 分
(i) 当 ,即 时, 在 上单调递增, 0,即 在 上单调递增, ,故 ,所以 满足题意. 3 分
(ii) 当 时,令 ,解得 ,则当 时,
在 上单调递减, ,即 在 上单调递减, ,故当 时, ,与题意矛盾.
综上, . 5 分
(2) 即为 ，当 时，上式等价于 ,令 ,则 , 6 分
令 ,则 , 7 分
所以 在 上单调递增, ,即 ,故 在 上单调递增,故 ,即 . 8 分故当 时,不等式 恒成立. 9 分
(3)证明:令 ，易知 在 上单调递增， 故当 时,必有 . 10 分
要证 ,只需证 . 12 分
由已知, ,故只需证 且 . 13 分
由 知,取 ,故 ,
又 ,故 . 15 分
由 (2) 知,当 时, ,
故 ,
又
故 .
综上, ,故 . 17 分

展开更多......

收起↑