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孝感市 2026 届高三年级第二次统一考试 数学
本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
1. 集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 方程 的一个复数根是( )
A. B. C. D.
3. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 等于( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
4. 若 是夹角为 的两个单位向量,则 与 的夹角为( )
A. 30° B. 60° C. 90° D.
5. 设一个圆台的侧面积、体积分别为 、 ，将它的高扩大到原来的 2 倍(上、下底面圆的半径均不变)， 得到的圆台的侧面积、体积分别为 、 ，则()
A. B.
C. D.
6. 在 中， ， 边上的高等于 ，则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 为偶函数，且 ，则 的解集为_____萏( )
A. B. 或
C. 或 D.
8. 以 为焦点的椭圆与直线 有且仅有一个公共点,则该椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 如图，四面体 中， 平面 ， ，垂足为 ， ，垂足为 ，则下列说法正确的是( )
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ,则 平面 D. 若 ，则
10. 数列 满足 )，且 ，数列 的前 项和为 ，从 的前 项中任取不同的两项，它们的和为偶数的概率为 ，数列 的前 项积为 ，则( )
A. B. C. D.
11. 已知函数 的定义域是 ,满足 ,且 , 若存在实数 ,使函数 在区间 上恰好有 2026 个零点,则实数 的值可能为( )
A. B. 0
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 曲线 在点 处的切线与直线 垂直,则点 的坐标为_____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线上一点，且满足 ，过点 作抛物线准线的垂线， 垂足为 ,则 的内切圆半径为_____.
14. 在一组数2,2,7,12,27中插入两个整数 ,使得新的一组数极差为原来极差的两倍,且众数和中位数保持不变，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分) 如图，正方形 所在的平面与平面 垂直，且 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
16. (本小题满分 15 分) 已知函数 在区间 单调,其中 为正整数， ， 且图象关于点 对称.
(1)求 的最小正周期；
(2)在 中， ， ， 边上的中线长为 ，求 的面积.
17. (本小题满分 15 分)甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的概率为 ，且每局比赛的结果相互独立. 比赛有两种方案，方案一:采用“三局两胜”制，即累计先胜两局的队最终获胜; 方案二: 采用 “五局三胜” 制, 即累计先胜三局的队最终获胜.
(1)当 时，采用方案一还是方案二对乙更有利(不用说明理由)，并求该方案下乙队最终获胜的概率；
(2)当 时，若比赛采用方案二.
(i)求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率；
(ii)若比赛结果为 或者 时，胜方得 3 分，负方得 0 分，比赛结果为 时，胜方得 2 分，负方得 1 分,求甲队本次比赛的得分 的分布列及均值.
18. (本小题满分 17 分) 已知函数 .
(1)函数 ，讨论其单调性；
( 2 )若 对 恒成立，求 的值；
(3)函数 ，若该函数有且仅有三个极值点 ， ， ，且 ，若 ， 求证: .
19. (本小题满分 17 分) 是一个动点， 与直线 垂直，垂足 位于第一象限， 与直线 垂直，垂足 位于第四象限，若四边形 ( 为原点)的面积为 1，设 的轨迹为 .
(1)求轨迹 的方程；
(2)已知 ， ，在 中，试确定 是否为定值,若是,请求出此定值,若不是,请说明理由;
(3)记坐标原点为 ，过 的直线 交曲线 于点 ，将 绕点 旋转，与直线 在第一象限交于点 ,即点 满足 ,以此类推,过点 作斜率为 的直线交曲线 于点 ，将 绕点 旋转，与直线 在第一象限交于点 ，即点 满足 . 在 中,设底边 上的高为 ,求 .
参考答案
1. C 2. A 3. D 4. C 5. C 6. A 7. B 8. B 9. BC 10. ABD 11. AB
1. C
或
A
由 可得
设公差为 ,则 ,联立解得 ,
C
,又 ,则 .
C
设原圆台底面半径分别为 、 ，高为 ，母线长为_____，则 ， 扩大后圆台母线长为 ,可得 ; 由台体体积公式 可知 .
A
设 边上的高为 设 ，则 ，从而点 在线段 上， . 故 ， ， ，
.
由函数 为偶函数可知函数 是二次函数且关于 轴对称,则 ,由 可知 .
,解得 ,或 .
故不等式 的解集为 或 .
依题意,直线 与椭圆相切,直线 上除切点外任意一点均在椭圆外. 由椭圆的定义可知切点是直线 上与 、 两点距离和最小的点. 关于直线 对称的点为 , ,故椭圆的长轴长为 7,焦距 ,离心率 .
A: 与 异面，显然不正确；
B:若 ，易得 _と ，
又 , ,则 ,所以 ,故 正确;
对于选项 与 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 , , 是平面 内两条相交直线,
所以 平面 ，又 平面 ，故 .
又 ，且 ， 是平面 内两条相交直线，所以 平面 .
又 平面 ，故 .
又 ，且 ， 是平面 内两条相交直线，所以 平面 . 故选项 C 正确； 又 平面 ，故 .
若 与 也垂直，由 、 与 共面，则 与 重合，故选项 D 不正确.
10. [解析]A: 当 时, 又 ,故 .
,
,
所以 为偶数时, 为奇数时, .
的奇数项所成的数列是首项为 -2,公差为 -2 的等差数列,偶数项所成的数列是首项为 3,公差为 2 的等差数列. 故 ,选项 A 正确;
B. ，选项 B 正确；
C:由于 的奇数项都是偶数，偶数项都是奇数，
,故选项 C 错误; (或由 可知选项 C 错误)
D:
, 又 ，所以 ，故选项 D 正确.
11. [解析] (1) 当 时，显然成立；
( 2 )若 ，则 ，即 ，解得 ；
(3)若 ，则 ，即 ，解得 ； 综上,得 .
12.
设切点 ,则有 ,由题意得 ,
,
点 的坐标为 .
13. [解析]如图,不妨设点 在第一象限,则 , ,所以 ,此时 ,所以 . 易知点 , ,所以 .
的面积为 .
设 的内切圆的半径为_____，内心为点 ，则由 ，
得 ，解得 .
31
若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是 “两个都是 2 ”，或是 “一个为 2，另一个不是 2”， 或是 “两个不相等的且不是 2,7,12,27 .
①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是 2;
②因为中位数保持不变，若插入的数 “一个为 2，另一个不是 2”，则一个为 2，另一个数不小于 7，又因为极差加倍,则另一个数为 52,此时 ;
③若插入的两个数是不相等的且不是 2, 7, 12, 27, 且极差为 50, 中位数保持不变,
则两个数可以为:
所以， 的最小值为8-(-23) = 31 .
15. 解:(1) 平面 平面 ，交线为 ， ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，故 .
，且 是平面 内两条相交直线
平面
平面
故平面 平面
(2)解法一:以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .
因为 ，设 ，由题设得，
设 是平面 的法向量,则
,即 ,令 ,可得
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值是
解法二: 由 (1) 得 平面 ，由 平面 可知 、 到平面 的距离相等，设 到平面 的距离为 ,则
设 ，由 得 ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值是
16. 解: (1) 由题意, 的最小正周期 ,所以 ,
由 为正整数可得 ,
又因为图象关于点 对称,所以 ,即 .
由 ,若 ,无解;
若 ;
若 ,无解.
所以 的最小正周期为 .
( 2 )由 可得 ，又 ， ，
从而 ，故 .
设 边上的中线为 ， ，则
,
解得 .
所以 的面积 .
17. 解:(1)采用方案一对乙对更有利
当 时，乙队每局获胜的概率为: .
所以乙队最终获胜的概率为 .
(根据 “比赛局数越多，对实力较强者越有利” 可知，采用方案一，乙队最终获胜概率较大. 也可以算出两种方案乙最终获胜的概率, 对比可知采用方案一, 乙队最终获胜概率较大.)
(2)(i)记“甲队最终获胜”为事件 ，“比赛恰好进行了四局”为事件 .
三局甲队最终获胜的概率为: .
四局甲队最终获胜的概率为: .
五局甲队最终获胜的概率为: .
甲队最终获胜的概率
甲队最终获胜且比赛恰好进行了四局的概率
在甲队最终获胜的条件下,比赛恰好进行了四局的概率
(甲队乙队每局获胜的概率相等,因此最终获胜的概率也相等,从而 ,酌情给分)
(ii) 的可能取值为0,1,2,3.
,
的分布列为:
18. 解: (1) .
.
当 时, 恒成立,因此 在 上单调递增.
当 时,由 ,因此 在 上单调递增,在 上单调递减.
综上可知: 当 时, 在 上单调递增.
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减.
(2) .
设 .
又 ,所以 为 的极小值点,故 .
.
下面证明,当 时, .
当 ,即 时, 恒成立.
当 ,即 时,由 可知:
.
当且仅当 时等号成立,故 满足条件.
综上可知:
(3) .
.
,设 .
.
在 上单调递减,在 上单调递增.
因为函数 有且仅有三个极值点,即 为方程 的三个实根,
由图象知方程 最多有三个实根,且 .
注意到 ,假设 ,则 ,从而 ,与已知矛盾,故 .
即有: .
(本题用其它解法, 过程详细、推理清晰可得全分, 过程不全的可酌情给分)
19. 解: (1) 设 ,由题意可知四边形 的面积 .
.
因为点 位于第一象限，点 位于第四象限.
,且 .
所以动点 的轨迹 的方程为: .
(未限定 的范围的扣 1 分)
(2)不妨设点 位于第一象限，设直线 的斜率为 ，则 ，直线 的斜率为 ，
则: . 综上可知: 为定值 0 .
(3)问题可以转化为曲线 与坐标轴之间的各等腰三角形底边上高的和，如图所示
设 ,过 作 轴于
由 可知,
记 ,则各等腰三角形底角的正切值
即
由题意可知:
联立 与 可解得 ,从而 ,
所以数列 是以为首项, 为公差的等差数列,
(不转化直接研究也可以得出答案，酌情给分)

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