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岳阳市 2026 届高三教学质量监测 ( 二 ) 数 学
本试卷共 19 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项:
I. 答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3. 非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后, 只交答题卡。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分、在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 中的元素个数是
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
2. 设复数 满足 ，则
A. 1 B. C. D. 2
3. 已知向量 与 的夹角为 ， ，则
A. 3 B. 7 C. D.
4. 设 为实数，则 “ ” 是 “ ” 成立的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若函数 的图象上所有点的纵坐标不变. 横坐标缩小为原来的 ，然后再将图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若函数 为奇函数. 则 可能的取值为
A. B. C. D.
6. 等差数列 的首项为 1,公差不为 0 . 若 成等比数列,则数列 的前 6 项和为
A. -24 B. -3 C. 26 D. 24
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 且斜率为 的直线与双曲线 的右支交于 、 西点，若 ，则双曲线 的离心率为
A. B. 2 C. 2 或 D. 或
8. “太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图所示，将“太极图”放在平面直角坐标系中, 图中所有曲线均为圆或半圆, 其中最大的圆半径为 2.已知点 是阴影区域(含边界)上的一个动点，则 的值不可能是
A. 0 B. 6 C. 8 D. 10
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错 的得 0 分.
9. 下列说法正确的是
A. 数据2,3,4,7,8,10,12的第 70 百分位数是 7.5
B. 若一组数据的标准差为 0 , 则这组数据中的每个数值均相等
C. 若事件 相互独立,则
D. 若事件 两两独立，则
10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正三角形 沿着 轴连续滚动(滚动时无滑动),若顶点 在滚动中恰好经过坐标原点,设顶点 满足函数关系式 , 则下列判断正确的有
A.
B. 函数 图象的对称轴方程为
C. 不等式 的解集为
D. 直线 与函数 的图象恰有 3 个交点
11. 如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 为 中点,动点 满足 ,则
A. 若点 到直线 和 的距离相等，则 点的轨迹为抛物线的一部分
B. 存在这样的点 使 平面
C. 若点 与点 重合,则三棱锥 的外接球半径为
D. 若 与 的夹角为 ， 为线段 上的动点，则 的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式中的常数项为_____.
13. 在 中,角 所对的边分别为 ,若 且 ，则 的最小值为_____.
14. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 6 次，在出现了正面朝上的条件下，未出现连续 3 次正面朝上的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. (本题满分 13 分) 已知数列 的前 项和为 ,若数列 是等差数列. 且 , .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
16. (本题满分 15 分)某高校快递站统计了某年度新学期前 5 天的取件人数 (单位:人)， 得到如下样本数据:
天数 (序号) 1 2 3 4 5
每日取件人数 120 100 80 70 55
(1)计算样本相关系数 ，并据此判断变量 与 之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数);
(2)从这 5 天中随机选取 3 天，记 为所选日期中取件人数小于 100 的天数，求 的分
17. (本题满分 15 分) 如图 1, 、 、 分别为边长为 4 的正方形三边 , 的中点. 将四边形 沿着线段 折起 (如图 2),且点 是线段 上一点.
(1)求证: ；
(2)若二面角 的大小为 . 且三棱锥 的体积为 ，设过直线 且与直线 平行的平面为 ,求平面 与平面 所成角的余弦值.
(图1
图2
18.(本题满分 17 分)已知函数 .
(1)求函数 的极值;
(2)若存在两个不相等的正实数 ，使得 .
(i) 求证: ;
(ii) 设 为正实数,证明: 和 中至少有一个小于 .
19. (本题满分 17 分)如图，椭圆 与抛物线 有相同的焦点， 坐标原点为 ,椭圆右顶点为 ,椭圆与抛物线在第一象限交于点 ,在第四象限交于点 ,且 .
(1)求椭圆方程；
(2)若封闭曲线 围成的区域面积为 ，证明: ;
3)将封闭曲线 绕 轴旋转一周得到一个几何体 ，
3内部有一个以 轴为轴的圆台,圆台体积为 ,证明: .

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