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数 学 试 卷
注意事项:
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
一、单项选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 样本数据1,2,2,3,3,3,4,4,4,4的第一四分位数是
A. 1 B. 2
C. 2.5 D. 3
2. 已知抛物线 ，其焦点为 ，若点 在抛物线 上，则
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
3. 已知 是不共线向量，且 ，则以下选项正确的是
A. 三点共线
B. 三点共线
C. 三点共线
D. 三点共线
4. 等差数列 的前 项和为 ,已知 ,则
A. 11 B. 12
C. 13 D. 14
5. 已知 为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则以下选项正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
6. 高三年级 1, 2, 3, 4, 5 五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域, 每个区域至少一个班级负责, 其中 1 班和 2 班都不去区域甲, 则不同的任务分配方法种数为
A. 108 B. 120 C. 126 D. 144
7. 已知函数 的最小正周期为 ,且 ,则函数 的最小值为
A. -3 B. -2 C. 0 D. 1
8. 已知函数 的定义域为 ,满足 ,则下列结论正确的是
A. B. 方程 有解
C. 函数 在定义域内单调递减 D. 的最小值为 2
二、多项选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的 得0 分)
9. 已知角 与角 的顶点为原点,始边与 轴的正半轴重合,角 为第三象限角,且 ,角 的终边与角 的终边关于 轴对称,则下列结论正确的是
A. 角 的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点
B.
C.
D.
10. 设 ,则以下选项正确的是
A.
B.
C.
D.
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,直线 过点 ,且与双曲线的右支交于 两点,其中点 在第一象限,则下列说法中正确的是
A. 点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为
B. 直线 斜率的取值范围为
C. 若 , 的内切圆的半径分别为 ,则 的取值范围为
D. 的最小值为 9
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 设集合 ,且 ,则实数 的取值集合为_____.
13. 一个质点在 轴上运动,每次向左或向右移动一个单位长度,质点每次向右移动的概率为 . 质点从原点 出发，移动五次后到达点 的概率为_____.
14. 已知三棱锥 为正三棱锥， ，若 为正三棱锥 的外接球球面上的一个动点, 为 内切圆上的一个动点,则 的最大值为_____.
四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角 ；
(2)若 的外接圆半径为 ，求 的值.
16. (本小题满分 15 分)
某研究小组为调查居民对一项政策落实的情况，从某社区随机调查了 1200 位居民
(其中出生月份在 6~8 月的有 400 人). 每位居民首先独立抛掷一枚质地均匀的骰子:
若骰子朝上点数为奇数, 则回答问题 1: 你的出生月份是 6 月、7 月或 8 月吗
若骰子朝上点数为偶数, 则回答问题 2: 你对该政策的落实是否感到满意
调查结束后, 统计得到回答 “是” 的居民共有 620 人. 调查员不知道每位居民具体回答了哪个问题, 并假设所有居民都如实回答了自己的问题.
(1)试估计该社区居民对该项政策落实感到满意的比例；
(2)从该社区随机抽取一位居民，已知该居民在调查中回答 “是”，求他所抛骰子是偶数点朝上的概率.
17. (本小题满分 15 分)
如图,在四棱锥 中, .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若 ， 为锐角，且平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ,求 .
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)求 的最大值；
(2)当 时， ，求 的取值范围；
(3) 证明: .
19. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的离心率等于 分别为 的左、右焦点, 为 上任意一点,当线段 的中点在 轴上时, 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与椭圆交于另一个点 ，过点 且与 轴垂直的直线与椭圆 交于 两点.
(i) 求证: 直线 与 的交点在一条定直线上;
(ii) 平面上点 ,使得直线 的斜率成等比数列. 求证: 、 三点共线.
数学参考答案
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D C B C B D
1. 因为共有 10 个数据,所以第一四分位数是 ,所以第一四分位数是第 3 个数,故选 B.
2. 因为点 在抛物线 上,所以 ,则 ,故选 .
3. 由题可得 ,又线段 与线段 有公共点 ,所以 三点共线,故选 .
4. ,故选 .
5. 对于 ,面面平行的判定定理要求 相交,若 ,则 可能相交,故 错误; 对于 ,过 作平面 交 于 ,则 ,过 作平面 交 于 ,则 ,故 ,又 ,又 平面 ,所以 ,而 ,故 ,故 ,故 正确; 对于 ,若 ,则 或 ,故 错误; 对于 ,若 , 如果 或 ,则不能判断 ,故 错误,故选 B.
6. 分为两类,第一类: 只有一个班去区域甲,在3,4,5三个班级中任选一个,剩下的四个班级去三个区域,方法种数为: ; 第二类: 有两个班去区域甲,在3,4,5 三个班级中任选两个，剩下的三个班级去三个区域，方法种数为: ，两类相加得 126种方法, 故选 C.
7. ,且 ,所以 ,且 ,当 时, 取得最大值; 当 时,取得最小值为 -2,故选 B.
8. 对于 ,因为函数 的定义域为 ,且满足 , 取 ,得 ,则 ,取 ,得 ,则 ,故 错误; 对于 ,取 ,得 ,则 ,所以
2,以上各式相加得 ,所以 ,经检验, 也满足上式,所以 ,令 ,得 , 此方程无解,故 错误; 对于 ,由 知, ,由此函数的性质得, 故 C 错误, D 正确, 故选 D.
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
题号 9 10 11
答案 BD ABD AC
9. 对于 A: 由 ,且 为第三象限,则 ,故角 的终边与单位圆的交点为 错误; 对于 和 : 因为角 的终边与角 的终边关于 轴对称,即 为第四象限,则 ,所以 正确,且 正确; 对于 : 由于角 的终边与角 的终边关于 轴对称,所以 ,故 错误,综上所述,故选 BD.
10. 对于 正确; ,故 正确; 对于 : 因为 ,所以 ,故 C 错误; 对于 D: ,故 D 正确,故选 ABD.
11. A. 设 ,双曲线的渐近线方程为 ,设 到直线 的距离为 ,设 到直线 的距离为 ,则 ,故 A 选项是正确的; B. 因为直线1与双曲线的右支交于两点,根据图象与双曲线的性质,可知直线1的斜率的取值范围为 ,故 选项是错误的; . 设直线 的倾斜角为 ,因为渐近线的倾斜角分别为 ,所以 . 设 的内切圆的圆心分别为 的内切圆 与各边切于 D, G, H, 的内切圆 与1切于 ,设 ,根据圆的切线性质与双曲线的定义可知 ,所以 在直线 上,同理可得 也在直线 上,且 . 由几何关系可得 ,所以 . 因为 ,所以 ,所以 ,令 ,由对勾函数性质可知 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 ,所以 ,所以 ,故 选项正确; . 由双曲线的焦半径公式可知 ,则 ,根据 , 所以 ,故 选项是错误的,故选 .
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
题号 12 13 14
答案 80 243
12. 当 时, ; 当 时, ,由 ,可得 或 . 综上所述,实数 的取值集合为 .
13. 五次中四次向右,一次向左, .
14. 如图 1,设球心为 ,外接球的半径为 内切圆圆心为 ,则 三点共线,连接 ,在 中,由勾股定理得 ,在 中,由勾股定理得: ,即 ,解得 . 设内切圆的半径为 ,则有 ,解得 . 由 是 内切圆上一点,则 ,在 中,由勾股定理得 ,解得 , 当且仅当 三点共线且 在 之间时等号成立.
图 1
四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
解: (1) 在 的内角 中,有 ,
由正弦定理及二倍角公式得 ,
(3 分)
又 , (4 分)
. (5 分)
,即 . (6 分)
(2)由(1)及正弦定理得 ,
(7 分)
, (8 分)
. (9 分)
由余弦定理得 ,
(12 分)
. (13 分)
16. (本小题满分 15 分)
解: (1) 因为骰子朝上点数为奇数、偶数的概率各为 ,
所以估计回答问题 1 和问题 2 的居民各有 600 人. (2 分)
由题意,出生月份在 月的比例为 ,
从而回答 “是” 的居民中回答问题 1 的应为 200 人， (4 分)
所以回答 “是” 的居民中回答问题 2 的为 (人)，
(6 分)
故估计该社区居民对该项政策落实感到满意的比例为 . (7 分)
(2)由(1)知，该社区居民对该项政策落实感到满意的比例为 ,
设事件 A 表示居民回答 “是”，事件 B 表示居民所抛骰子是偶数点朝上.
回答 “是” 的概率为 .
(9 分)
回答 “是” 且点数是偶数的概率为 .
(12 分)
因此,所求条件概率为 ,
故已知学生回答 “是” 的条件下,他所抛骰子是偶数点朝上的概率约为 .
(15 分)
17. (本小题满分 15 分)
(1)证明:作 ,垂足为 ,连接 .
在 Rt 中,由 ,
解得 . (2 分)
,
四边形 是平行四边形,
,
则
,即 . (4 分)
,
平面 . (5 分)
平面 ,
平面 平面 .
(6 分)
(2)解: ， . (7 分)
如图 2,以 为坐标原点,以 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz ，设 OD ，
,
, 图 2
(8 分)
设平面 PAB、平面 PCD 的法向量分别为 ,
由 取 ,得 .
(10 分)
由 取 ,得 .
(12 分)
因为平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的正弦值为 ,则其余弦值的绝对值为 ,
所以 ,
解得 或 46 . (14 分)
当 时， ，此时 为钝角，不符合题意；
当 时， ，此时 为锐角，符合题意，
故 . (15 分)
18.(本小题满分 17 分)
(1)解:由题得 ， (1 分)
当 时, ,所以 在 上单调递增;
当 时,令 ,
则 , (3 分)
则 在 上单调递减, ,所以 在 上单调递减.
所以 ,所以 的最大值为 -2 .
(5 分)
( 2 )解:由 ，整理得 ，
当 时, 恒成立,符合题意; (6 分)
令 ,则 ,
令 ,则 ,
当 时, ,所以 在 上单调递增,
所以 .
① 当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ,符合题意; (8 分)
② 当 时， ,
所以存在 ,使得 ,当 时, ,
所以 在 上单调递减,则当 时, ,不符合题意. (10 分)
综上,实数 的取值范围是 . (11 分)
(3)证明:由(1)知，当 时， ，取 ， 有 , (13 分) 故 , (15 分)
所以 , 即 . (17 分)
19. (本小题满分 17 分)
(1)解:设椭圆 的焦距为 ，则 ，则 ，
从而 轴,且 .
又离心率 以及 ,所以 ,
所以椭圆 的方程为: . (4 分)
(2)(i)证明:当直线 的斜率为 0 时，由题知 ，
因为 ,所以 .
由 和 方程联立解得交点 ; (6 分)
当直线 的斜率不为 0 时,设直线 的方程为 .
由 有 ,
因为直线过椭圆内一定点,所以直线与椭圆恒有交点.
设 ,则直线 ①,
同理 BQ: ②, (8 分)
② 一①得 ，化简得 ， .
综上可知,直线 的交点在定直线 上.
(10 分)
(ii) 证明: 由 (i) 知,设直线 的方程为 ,
则 .
因为点 ，且 、 、 成等比数列，所以 ，
化简得 . (14 分)
(法一) 设点 到直线 的距离为 ,则 ,
所以 三点共线. (17 分)
(法二) 直线 PM 的斜率 ,因为 ,
所以 ,
所以 三点共线. (17 分)
(法三) 向量 ,
,
,
所以 ,又两个向量有公共点 ,所以 三点共线.
(17 分)

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