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重庆八中高 2026 届 4 月强化训练(三)数学试题
一、选择题:本 题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
1. 函数 的定义域为
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，若 ，则
A. B. C. 5 D. 20
3. 某工厂生产甲、乙两种零件,其长度(单位:cm)分别服从正态分布 和 ,已知甲零件的平均长度与乙零件相同,但甲零件数据的离散程度更大,则下列选项中正确的是
A. B.
C. D.
4. 过点 且与圆 相切的两条直线的夹角为 ,则
A. B. C. D.
5. 如图, 向一个高为 3 且底面水平放置的正四棱锥容器注水, 水面高度为 1 时停止注水 (不考虑容器厚度), 将此四棱锥容器倒置时, 水面高度为
A. 2 B.
C. D. 1
6. 在 的展开式中,记 项的系数为 ,其中 ,则所有满足 的系数 之和为
A. 45 B. 60 C. 120 D. 210
7. 某 AI 模型在验证集中有 4 个样本:1 个“正确分类”，1 个“错误分类”，2 个“不确定样本”， 系统随机打乱顺序后不放回地逐个测试，直到遇到第一个正确分类样本时停止，设在此过程中测试到的 “不确定样本” 个数为 ,则
A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2
8. 过坐标原点 可作曲线 的切线条数为
A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 无数条
二、选择 题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知 为实数，若在复数范围内，方程 存在两个虚数根分别为 ，则 A.
B.
C.
D. 的取值范围为
10. 已知函数 ,其中 ,则
A. 函数 在 上不单调
B. 不等式 对 恒成立
C. 若函数 与直线 的图象有且仅有两个公共点,则 的取值范围是
D. 若关于 的不等式 恰有 1 个负整数解，则 的取值范围为
11. 已知 ,若 ,且 ,则下列结论正确的是
A.
B.
C. 的最小值为 -1
D. 的最小值为 -1
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 若数列 满足 ，则 _____.
13. 双曲线 上一点 到两焦点 的距离之和为 6,则 _____.
14. 函数 的最大值为 ,则 在 上的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， 分别为棱 的中点.
(1)证明: 平面 .
(2)求平面 与平面 的夹角的大小.
16.(15 分)
为研究学习时间与成绩的关系,记录 5 名学生的数学学习时间 (小时) 与模拟考成绩 (分,满分 150) 如下:
2 4 6 8 10
w 58 72 80 90 100
设模拟考成绩与学习时间的回归模型为: ,其中 .
为计算简洁,现对数据进行中心化处理: 令 ,则回归模型化为 . 记残差平方和
(1)根据最小二乘原理，要使 最小(假设 )，推导 的估计量 的表达式(写出关键步骤).
(2)利用所给数据，求 关于 的经验回归方程 ，并还原为 关于 的方程. 预测 时的成绩.
17. (15 分)
已知 与 ,点 与点 在直线 的同侧,且边 与边 相交于点 为 中点, .
(1)若 平分 ，求 的长；
(2)若 ，求 的值.
18.(17分)
已知函数 .
(1)证明:曲线 是轴对称图形；
(2)当 时，证明: ；
(3)若数列 满足: ， ， .
证明: .
19. (17 分)
已知椭圆 的长轴长为 4,左焦点为 ,平面内一动点 到点 的距离与到直线 的距离相等,过 作 的两条切线,切点分别为 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)证明:(i) 平分 ；
(ii) 为定值.
重庆八中高 2026 届 4 月强化训练(三)数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C D B D B C
1. 解: 且 . 选 D
2. 解: 由题意, ,则 . 选 A
3. 解: 对 : 由题意,甲、乙平均长度相同,即 错
对 : 对任何正态分布, ,因此 错
对 甲零件数据的离散程度更大, 对
对 D: ,则 错
4. 解: 圆 可化为
圆心 ，半径
设 ,切线分别为 ,则
在 Rt 中:
. 选 D
5. 解: 体积比等于相似比的立方, 四棱锥正放 (底面在下) 时,注水四棱台的高为 1 则空气的体积与四棱锥体积之比为 ,则水的体积占比为 当四棱锥倒放 (底面在上) 时,水面高度与四棱锥高度之比为 则 ,选 B
6. 解: 由题意, ,又
求和: . 选 D
注意到系数 之和,即为
可以理解为从 5 男 5 女 (共 10 人) 中抽取 4 人的所有情况数之和,即:
7. 解: 4 个样本的所有排列共有 种,且等可能. 的所有可能取值为0,1,2. “正确分类” (记为 ),“错误分类” (记为 ),“不确定样本” (记为 )
(1) :表示在抽到 之前没有抽到 . 满足条件的顺序有以下两类:
①第一位是 . 此时第一位固定为 ，其余 3 个位置任意排列，有 种.
②第一位是 ，第二位是 . 此时前两位固定为 ，后两位任意排列，有 种.
共 种. 故 .
(2) 表示两个 U 都在 R 之前出现.
满足条件的顺序: 必须排在第三位或第四位,且它前面的位置必须包含两个 .
①若 在第三位，则前两位必是两个 (顺序可换)有 种，第四位放 有 1 种，共 种
②若 在第四位，则前三位必含两个 和一个 (即全部非 样本)，这三个位置全排列有 种. 共 种. 故 .
(3) 由概率和为 1，得 .
分布列为:
0 1 2
1 1 3 1
. 选 B
不妨直接删去 “错误分类” (因为 “错误分类” 对事件无影响, 直接剔除)
问题转化为: 只需考虑 1 个 “正确分类”, 2 个 “不确定样本”
(也可用 “抽签与顺序无关” 来理解,即第 次抽中 “正确分类” 的概率均为 )
故
【后记】从对称性的角度来审视此题, 正确分类前后的不确定样本个数分布具有对称性, 期望应该是不确定样本总数的一半
8. 解:
过原点
或
①
② 为奇
③ 为偶 ，即:
综上所述, 共 3 条切线. 选 C
二、多选题
题号 9 10 11
答案 ACD ABD ABC
9. 解:
对 : 法一 设
由根与系数的关系: 为实数,
法二 由性质, 显然 对
对 为虚数,不能比较大小, 错
对 : 由韦达定理: ,则 对
对 D: 由韦达定理: ,由判别式 对
10. 解:
对 : 由题意: ,
函数 的单减区间为 ,函数 的单增区间为 对
对 : 由选项
又 当 时,
对
对 : 由 ,显然当 或 时,
直线 与 的图象有且只有两个公共点, 错
对 : 直线 过原点,且 ,
即: ,显然
若关于 的不等式 恰有 1 个负整数解
即函数 在 的图象下方对应的 值恰有 1 个负整数
,即: , D 对
11. 解:
对 A:
即: ,令 , A 对
对 : 联立 , B 对
对 ; 又
由 ,有: ,化简: ,解得:
题干是关于 的轮换对称式 地位等同), 对 错对 CD 的另解:
当 时,必有: ,进时不满足
当 时,必有: ,此时不满足
由对称性,知: 的最小值也不为 -1, D 错
三、填空题
题号 12 13 14
答案 3 2 3
12. 解:
是周期为 3 的数列,则
13. 解: 法一: 由 ,得: ,作 交 轴于点 ,则 在 和 中,由勾股定理: ,解得: 法二: 由焦半径公式,有: ,又
14. 解: 法一: 令 ,两边平方:
,又
当 时， ；
当 时, ;
当 时,
综上所述，
由函数 在 上单减,在 上单增,且
函数 在 上取值范围为
法二: 注意到 的周期为
可简化为: 当 时,
下面，请自行完成(结合图形分析，可以秒得答案)
四、解答题
15.(1)证明: 面 ， 面 ，
， 分别为棱 的中点， ， ，
又 面 2 分
平面 3 分
又 ,即: 5 分又 面 面 平面 6 分
(2)解:如图，以 为坐标原点
所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 7 分
8 分
由(1)知:平面 的一个法向量为 9 分
又
设平面 的法向量为
则 ,即:
不妨取 11 分
设平面 与平面 的夹角为 ,则 12 分 平面 与平面 的夹角为 13 分
16. 解: (1) 推导 3 分
为开口向上的二次函数,在 处取最小值, 6 分
(2)计算与预测中心化 :
1 2 58 -4 -22 88 16
2 4 72 -2 -8 16 4
3 6 80 0 0 0 0
4 8 90 2 10 20 4
5 10 100 4 20 80 16
和 30 400 0 0 204 40
10 分
12 分
还原: ,即 14 分
时, (分) 15 分
17. 解: (1) 平分 ,
又 为 中点,且边 与边 相交于点 ,
在 中， 是 的平分线且过对边 的中点，
故 是等腰三角形,即: 2 分
在 中,由余弦定理:
在 Rt 中, 4 分
又 5 分
同理,在 中, ,由余弦定理:
7 分
(2)法一:在 中， 为 中点， ，平方整理得:
9 分
在 中,由余弦定理:
，故 11 分
在 中,由余弦定理: 12 分
在 中,由余弦定理: 13 分
在 中,由正弦定理: 15 分
【补充法一】得到 以后,用两次余弦定理: 即: ,解得: ，则
法二: 如图,以 为原点, 所在直线为 轴,垂直于 的直线为 轴建立平面直角坐标系:
则 9 分
又 为 的中点, 10 分
设 11 分
,则 14 分
15 分
法三: 取 的中点 ,连接 为 中点,
又 为 中点,
则 (也可用三角形全等证明)
(可用两次余弦解三角形)
在 中，由余弦定理:
，则 (对比法一图形更常见，少解一条边)
法四:
，
法五:
同法四,有:
注意:前面几种方法同样可以利用面积直接得到正弦，而无需通过余弦转化
18. 证明: (1) 函数 的图象关于直线 对称,证明如下:
设点 为 的图象上任意一点,点 关于直线 对称的点为 . 1 分 3 分
故 也在 的图象上, 的图象是关于直线 对称的轴对称图形 4 分
(2)法一:
即证: 当 时, 5 分
令 ,且 在 上单减
由于 ,故存在 使得
当 单增; 当 单减
又 ,故 ,即: 7 分
令 ,则
在 上单增, ,即:
综上所述, 9 分
法二:
在 单减,因此
在 单增
,即:
法三: 放缩法
一方面: 由于 在 其图象是上凸的,考虑过 两点的直线方程 ,
在 时,由于 ,令 ,则有 ,即 . 另一方面: 由于 ,令 ,则 ,
从而有 ,即: .
综上所述,
(3)法一:显然 ,令
则 ,得 11 分由于
13 分
由于 ,故
故 ,于是 15 分
由 (2) 知: 16 分
即 17 分
法二: 放缩法 利用不等式 (切割线放缩)
,
而
于是
从而上界得证, 即右边得证.
再证左边: 由于 ,
而再由函数不等式 ,有:
从而下界得证,左边得证
【注】(3) 思考过程: 证:
由 (2) 知: ,令 ,可证
,即证
可证:
19. 解: (1) 由题意: ,则
椭圆 的标准方程 ,直线 2 分
设 ,则: ,化简:
动点 的轨迹方程为: 4 分
(2)设 ， ， ，显然过点 的切线斜率存在
令 ,即:
联立 ,化简:
令 ,得: ,同理:
又 既在 上,又在 上
,故直线 的方程为: 6 分
联立 ,化简: 7 分
进而有: · 8 分
(i) 由题意:
欲证 平分 ,只需证 与 共线 9 分
即证: 与 共线
即证: ① 10 分下证①成立:
②
③
将②③代入①，有: 显然成立 ① 式成立，即 平分 12 分
(ii) 法一 由题意:
13 分
其中 是椭圆的离心率,则:
. 即: 为定值 17 分
法二 设
联立: ,有:
代入 ,有: ,由对称性:
平分 ，且 (定值)
法三 设 ， ，则 (证明见法一)
在直线 上， ,即:
,由对称性:
平分 ,且 (定值)

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