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永州市 2026 年高考第三次模拟考试 数 学
注意事项:
1. 本试卷共 150 分, 考试时量 120 分钟.
2. 全部答案在答题卡上完成, 答在本试题卷上无效.
3. 考试结束后, 只交答题卡.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则
A. B.
C. D.
2. 已知函数 ，则 的一个对称中心为
A. B. C. D.
3. 已知随机变量 服从正态分布 ,则
A. 0.7 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.3
4. 某学校派甲、乙、丙、丁 4 名同学参加 “永超” 足球比赛中 3 个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，甲、乙两位同学不能参加同一场次, 则不同派法的种数为
A. 12 B. 24 C. 30 D. 36
5. 已知数列 是公比为 的等比数列,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知 是抛物线 的焦点, 是 上一点,直线 交 轴于点 . 若 为 的中点,则
A. 3
B.
C. 4
D.
7、已知 ,则 的最大值为
A. B. C. D.
8. 已知数列 满足 ,则
A. B.
C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 ,则
A. B. 的虚部为 -i
C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 为方程 的一个根
10. 已知函数 ,则
A. 的图象关于 轴对称
B. 有两个零点
C. 不等式 的解集为
D. 若 ,则 的最小值为 2
11. 在三棱锥 中, 平面 ,点 为 的垂心,且 ,则
A. 平面
B.
C. 三棱锥 体积的最小值为
D. 三棱锥 外接球表面积的最小值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ,则 _____.
13. 已知曲线 在点 处的切线与圆 相切,则 _____.
14. 已知椭圆 为 的左、右焦点,过 的直线交 于 两点， 的面积为 的内切圆与 相切于点 ，若 ，则 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题满分 13 分) 如图,在四棱锥 中, 平面 ， ， 与 相交于点 ， .
(第 15 题图)
(1)证明: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
16.(本题满分 15 分)记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 的内切圆半径为1，求 的面积.
17. (本题满分 15 分) 在平面直角坐标系 中,已知点 、动直角调足 ,记点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程:
(2)已知点 ， ，过点 作斜率为 的直线 交 于 ， 两点，设置线 的斜率分别为 ,若 成等差数列,求 .
18.(本题满分 17 分)甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中重组为 ，乙每次投篮的命中率均为 。
(1)若甲单独投篮，规定:首次出现连续两次命中，则停止投篮。求甲投篮 4 次即停止投篮的概率;
(2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的透球总数. 规定:首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负,比赛也停止. 记 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 的分布列与数学期望;
(3)若甲单独投篮，规定:首次出现连续 次命中，则停止投篮. 设停止投篮时甲投篮总次数为 ,随机变量 的数学期望为 ,记 . 写出 与 的递推关系,并求数列 的前 项和 .
19. (本题满分 17 分) 已知函数 有唯一的极值点 .
(1)求 的取值范围；
(2)设 是 的两个零点，记 ， ， .
(i) 证明: ;
(ii)判断 是否可能为直角三角形，并说明理由。
永州市 2026 年高考第三次模拟考试 数学参考答案及评分标准
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C B D A B
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 AD ACD ABC
三、填空题
12. 2 13.
14.
四、解答题
15. (本题满分 13 分)
解析:
(1)证明:在梯形 中，因为 ，所以 1 分
因为 ,所以 ,所以 3 分
因为 ,所以 ,所以 .4 分
又因为 平面 平面 .5 分
所以 平面 .6 分
(2)由 平面 ，故以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设 .7 分
则 .8 分
所以 .9 分
设平面 的法向量 ,则 , .10 分
令 ,则 ,则 .11 分
设直线 与平面 所成角为 ,则 12 分所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . .13 分
16. (本题满分 15 分)
解析:
(1)因为 ，
由正弦定理得: .1 分
即 2 分
即 3分
又因为 ,所以 .4 分
所以 .5 分
所以 . .7 分
(2)因为 ，所以 .8 分
设 的内切圆半径为 ,由等面积法得: .9 分
又 所以 .10 分
整理得: ①.11 分
由余弦定理得: ，即 .12 分
整理得: ②.13 分
联立①②，得 ，解得 或 (舍) .14 分
所以 的面积为 . .15 分
17. (本题满分 15 分)
解析:
(1)因为 ，所以点 的轨迹为以 ， 为焦点的双曲线...1 分其中 .2 分
故点 的轨迹方程为 3 分
又因为 ,设点 ,则点 .4 分
将 坐标代入 ，得: ，故 的方程为 5 分
(2)易知直线 斜率存在且不为 0，设 ，点 ，点
联立方程 ,得: .6 分
故 ,且 ,得 .7 分
则 .9 分
,同理 .10 分
因为 成等差数列,所以 .11 分
即 .12 分
即 .13 分
代入 ,得: .14 分
故 . .15 分
18.(本题满分 17 分)
解析:
(1)设事件 :甲第 次投篮命中，则 1 分
则甲投篮 4 次即停止投篮的概率 .2 分则 ,故甲投篮 4 次即停止投篮的概率为 .3 分
(2)依题意可得，随机变量 的可能取值为: 2，3，4 .4 分
.5 分
3 局结束时,甲胜概率
3 局结束时,乙胜概率
.7 分
.8 分
分布列:
2 3 4
5 36 5 36 13
.9 分
则数学期望 . 10 分
(3)当 时， ，则 .11 分
当 时, .13 分
则 ,即 .14 分
则 .15 分
故 为首项为 ,公比为 的等比数列
故 ,即 .16 分
故 . .17 分
19. (本题满分 17 分)
解析:
(1)当 时， 是增函数，无极值点 .1 分
当 时, ,
又因为 有唯一的极值点 等价于 有唯一的变号零点
令 ,则 .2 分
令 ,则
则 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减. .3 分
当 时, 时,
则当 时,直线 与 的图象有一个交点, 有唯一的极值点 所以 的取值范围为 . .4分
(2)(i)由(1)知 ，因为 为极值点，所以 ，即
因为 ,所以 ,所以 .5 分
因为 为增函数,且 ,所以 , ,所以 在 单调递减,在 单调递增,又因为 所以 ,又因为 ,所以
所以 .6 分
要证: ,只需证: ,只需证:
只需证: .7 分
令 ,则 .8 分
则 在 上单调递增, 故不等式 得证. .9 分
(ii) 由 (i) 证明过程知 为极小值点所以 10 分
由 ( i ) 知 ,所以 .11 分因为 ,所以 .12 分
先证明: ,证明过程如下:
因为 在 单调递减
所以只需证
又因为 ,只需证: .13 分
即证明: ,即证:
令 ,则 .14 分
令 ,则
所以 在 单调递减,所以
所以 在 单调递增
所以
因为 ,所以 ,即 得证 .15 分
因为 ,所以 ,所以
因为 ,所以
因为 ,所以 16 分
所以
不可能为直角三角形. .17 分

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