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北京交通大学附属中学2025-2026学年第二学期期中练习
高二数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则的公比是( )
A. B. C. D.
2.曲线在点处的切线方程为，则
A. B. C. D.
3.端午节是中国四大传统节日之一，端午节当天，名同学要从超市购买粽子，现有种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则不同的购买方式种数是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则“”是“有极值”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数，则的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数( )
A. B. C. D.
8.已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
9.已知函数，以下结论中错误的是( )
A. 是偶函数 B. 有无数个零点
C. 的最小值为 D. 的最大值为
10.设函数，则( )
A. 若在区间和都有零点，则在区间也有零点
B. 若在区间和都有零点，则在区间没有零点
C. 若在区间和都没有零点，则在区间有零点
D. 若在区间和都没有零点，则在区间也没有零点
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的单调递减区间为 ．
12.在数列中，，，且，则 ．
13.在的二项展开式中，项的系数是 ．
14.已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为 ．
15.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是 ．
函数有个不动点；
函数至多有两个不动点；
若函数没有不动点，则方程无实根；
设函数为自然对数的底数，若曲线上存在点使成立，则的取值范围是．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知公差不为的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列．
求的通项公式；
求使成立的的最小值．
17.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若，求的最大值与最小值．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求的值；
求的通项公式；
若的各项都为正数，记，求．
19.本小题分
设函数，曲线在处的切线方程为．
求的值；
证明：；
已知曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标为，证明：．
20.本小题分
对于行列的数表，定义变换：任选一组，其中，，对于中第行和第列个数，将每个数同时加，或者将每个数同时减，其余的数不变，得到一个新数表．
已知对依次进行次变换，如下：，写出，，，的值．
已知，，那么是否可以依次进行有限次变换，将变换为？说明理由．
已知行列的数表，那么是否可以依次进行次变换，将其变换为？若可以，求的最小值；若不可以，说明理由．
参考答案
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16.
17.解：因为．
令，得或，
当变化时，的变化情况如表所示．
单调递增 单调递减 单调递增
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
由知当时，取得极小值．
因为
．
所以．

18.对于，令，
可得，解得或．
当时，，此时，
则，
当时，则，可得，
得到，即，
则，化简得，
可得是以为首项，为公比的等比数列，
故．
因为的各项都为正数，所以，
则．

19.解：由题意有：，
所以，
所以切线方程为，
所以，解得；
方法：由，，
由，等价于，
令，
，
令，解得，
变化如下表
递增 最大值 递减
所以，
因此，从而，
方法：由，，
所以，
令，
所以所以在上递减，
又因为，
因此存在唯一的，
即，推出，
的变化如下表
递增 最大值 递减
在上递增，上递减，
所以，
由题意得的方程为，
令，得到，
由等价于，
等价于，等价于，
令，证明即可，
，
解得舍，舍，，
的变化如下表
递增 最大值 递减
从而，
即．

20.解：经过变换得到，显然没有变，从变为，
所以和均增加，故，
经过变换得到，显然没有变，从变为，
故和均增加，故，，
经过变换得到，满足要求，
综上，，，，；
不可以，理由如下：
由题可知，每次变换，数表中的所有数的和增加或减少，
因为中所有数的和为，所以经过有限次变换后，各数之和应为的倍数，
而中所有数的和为，不合要求，
故不可以依次进行有限次变换，将变换为．
可以，且的最小值为，
当所选，时，所有加的变换与减的变换次数之差设为，
当所选且，或者且时，
所有加的变换与减的变换次数之差设为，
当所选时，加的变换与减的变换次数之差设为，
由于，
由于，，，和为，故，
由于，或，时，，和为，
故，
由于，故，
联立可得，解得
所以，
其中符合题意的次变换构造如下：
当所选，时，各进行一次减的变换，共进行次变换，得到
当所选且，或者且时，
各进行次加的变换，共进行次变换，得到
当所选时，进行次减的变换，得到

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