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第四章 因式分解
章末复习
知识梳理
概念
把一个多项式化成几个整式_____的形式，这种变形叫作因式分解
乘积
与整式乘法的关系
提公因式法
概念：公因式、提公因式法
依据：ma+mb+mc=__________
m(a+b+c)
步骤：①找公因式；②提公因式
多项式 几个整式的积
因式分解
整式乘法
知识要点
一、因式分解
1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫
做多项式的_________，也叫将多项式__________.
2. 因式分解的过程和　 　的过程正好______：
前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者
是把几个整式的______化为一个________.
因式分解
乘积
分解因式
整式乘法
相反
多项式
乘积
乘积
知识要点
二、提公因式法
1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个
多项式各项的________，简称多项式的________.
2. 公因式的确定：
(1)系数：多项式各项整数系数的 ；
(2)字母：多项式各项　 　的字母；
(3)各字母指数：取次数最　　的．
公因式
公因式
最大公约数
相同
低
知识要点
3. 定义：逆用乘法对加法的______律，可以把
_______写在括号外边，作为积的一个_____，这
种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.
分配
公因式
因式
知识要点
三、公式法 —— 平方差公式
1. 因式分解中的平方差公式
a2－b2＝　 　 ；
2. 多项式的特征：(1) 可化为个____整式；
(2) 两项符号______；
(3) 每一项都是整式的______.
3. 注意事项：(1) 有公因式时，先提出公因式；
(2) 进行到每一个多项式都不能再分解为止.
(a＋b)(a－b)
两
相反
平方
知识要点
四、公式法 —— 完全平方公式
1. 完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( )2
a2 - 2ab + b2 = ( )2
2. 完全平方式的特征：(1) 三项式；
(2) 有两项是两个数 (或式) 的_______的形式；
(3) 另一项是这两个数 (或式) 的______的_____倍.
3. 注意事项：有公因式时，应先提出_______.
a + b
a - b
平方和
乘积
±2
公因式
知识梳理
提：有公因式的先提公因式
套：套用公式
检查：检查因式分解的结果是否彻底
先提公因式，再用公式法
把下列各式因式分解：
(1) 16a2(x-y) +9b2(y-x)
解：16a2(x-y) +9b2(y-x)
=16a2(x-y) -9b2(x-y)
=(x-y)(16a2-9b2)
=(x-y)(4a+3b)(4a-3b)
(3) 9(a-b)2+36b(b-a)+36b2
解：9(a-b)2+36b(b-a)+36b2
=9[(a-b)2-4b(a-b)+4b2]
=9[(a-b)-2b]2
=9(a-3b)2
(2) -2a3+12a2-18a
解：-2a3+12a2-18a
=-2a(a2-6a+9)
=-2a(a-3)2
多项式第一项前有“–”时，先提出“-”号，注意多项式的各项要变号
先展开，再因式分解
把下列各式因式分解：
(1) (x+3)(x-7)+21
解：(x+3)(x-7)+21
= x2-7x+3x-21+21
=x2-4x
=x(x-4)
(2) (x-y)2-4(x-y-1)
解：(x-y)2-4(x-y-1)
=(x-y)2-4(x-y)+4
=(x-y-2)2
因式分解的应用
1.先因式分解，再计算求值：
(1) (4x+y)2-9y2，其中x+y=2，y-2x=3；
解：(1)原式=(4x+y+3y)(4x+y-3y)
=4(x+y)·2(2x-y)
=8(x+y)(2x-y)。
当x+y=2，y-2x=3 时，
原式=8×2×(-3)=-48。
2.如果一个三角形的三边a，b，c满足ab+bc=b2+ac，那么这个三角形一定是（ ）
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.不等边三角形 D.直角三角形
B
ab+bc=b2+ac
ab+bc-b2-ac=0
=ab-ac+bc-b2
=a(b-c)+b(c-b)
=a(b-c)-b(b-c)
=(a-b)(b-c)
(a-b)(b-c)=0
a=b或b=c
3. 求证：当n为自然数时，(n+7)2-(n-5)2 能被24整除。
证明：(n+7)2-(n-5)2
=[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)]
=(2n+2)×12
=2×12×(n+1)
=24(n+1)。
因为n为自然数，所以24(n+1)能被24整除，
即(n+7)2-(n-5)2能被24整除。
例3 计算：
(1) 39×37－13×91；
(2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
考点三 利用提公因式法求值
解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91
＝ 13×(3×37－91)＝13×20＝260；
(2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14
＝ 20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.
课堂小结
因式分解
定义
提公因式法
公式法
平方差公式
完全平方公式
1.先因式分解，再计算求值：
(2) a2b+ab2-a-b，其中a+b=-5，ab=5。
(2)原式=ab(a+b)-(a+b)
=(a+b)(ab-1)。
当a+b=-5，ab=5 时，
原式=(-5)×(5-1)=(-5)×4=-20。
2. 已知 a＋b＝5，ab＝10，求 a3b＋a2b2＋ ab3的值.
解： a3b＋a2b2＋ ab3＝ ab(a2＋2ab＋b2)
＝ ab(a＋b)2.
当 a＋b＝5，ab＝10 时，
原式＝ ×10×52＝125.
3. 已知 x2－y2＝－1，x＋y＝ ，求 x－y 的值.
解：∵ x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1，
x＋y＝ ，
∴ x－y＝－2.
4. 如图，100 个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为 100 cm，向里依次为 99 cm，98 cm，…，1 cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积
的差，而正方形的面积是其边长的平方，
则 S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)
＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050．
答：所有阴影部分的面积和是 5050 cm2.
5. 已知 a＋b＝5，ab＝10，求 a3b＋a2b2＋ ab3的值.
解： a3b＋a2b2＋ ab3＝ ab(a2＋2ab＋b2)
＝ ab(a＋b)2.
当 a＋b＝5，ab＝10 时，
原式＝ ×10×52＝125.
再见

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