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北京理工大学附属中学2025-2026学年度第二学期高二年级数学学科期中练习试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知数列的通项公式为，则下列各数是数列中的项的是( )
A. B. C. D.
2.数列满足，则( )
A. B. C. D.
3.在曲线的图象上取一点及邻近一点，则为( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
5.等差数列的前项和为，若当且仅当时最大，则下面结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
6.为举办某场国际雪联单板滑雪及自由式滑雪世锦赛现从名男生、名女生中选人分别担任单板滑雪、自由式滑雪、雪上技巧项目的志愿者，且至多有名女生被选中，则不同的选择方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.设是等差数列，其前项和为，则“，”是“为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.以下不等式不成立的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9.函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，设是的导函数，则关于的不等式的解集是 ( )
A. B. C. D.
10.已知成等比数列，且若，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.二项式的展开式中，常数项等于 ；二项式系数和为 ．
12.若，，，成等差数列：，，，，成等比数列，则的值等于 ．
13.是曲线的切线，则切线的斜率 ．
14.已知函数，若的单调递减区间为，则实数的值为 ；若在区间内单调递减，则实数的取值范围为 ．
15.已知函数，给出下列四个结论：
当时，函数有最小值；
，使得函数在区间上单调递增；
，使得函数没有最小值；
，使得方程有两个根且两根之和小于．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在等差数列和等比数列中，，，．
Ⅰ求和的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和．
17.已知函数在时取得极大值
求实数，的值；
求函数在区间上的最值点和最值．
18.已知数列中，，点在函数的图象上．
求数列的通项公式；
设，证明：数列是等差数列；
设，求数列的前项和．
19.设函数，曲线在点处的切线方程为
求的解析式；
判断曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积是否为定值，若是求出此定值，若不是说明理由．
20.已知函数，其中为实数
讨论的单调性；
若对任意都有恒成立，求实数的取值范围；
若，试判断的零点个数．
21.对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：；对，，则称数列具有性质．
若数列具有性质，求数列的前项和；
对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式；
若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立．
参考答案
1.
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14.
15.
16.解：Ⅰ设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
依题意，得
解得或舍去，
所以，，
Ⅱ因为，
所以，
，
．
17.由得，
因为在时取得极大值
所以，解得 ．
此时， ，
当 时， ，所以 在上单调递减，
当 时， ，所以 在上单调递增，
当 时， ，所以 在上单调递减，
所以 在 时取得极大值．
所以 ．
由可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，在上单调递减．
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值，最小值为．
故函数在区间上的最大值点为和，最小值点为，最大值为，最小值为．

18.解：因为点在函数的图象上，
所以，即，
因为，所以，所以，
所以是公比的等比数列，
所以；
因为，，
所以，，
，，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
由得，，
所以，

19.解：因为，
所以又根据切线方程可知，解得
所以
设为曲线上任一点，
由知曲线在点处的切线方程为，
即
令得，从而得切线与直线的交点坐标为
令得，从而得切线与直线的交点坐标为
所以
故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此定值为

20.解：定义域：，．
，
在上单调递增，在上单调递减；
，
，
在上单调递增，在上单调递减；
，，因为，所以，在上单调递增；
，
在上单调递增，在上单调递减．
由得，如果，在上单调递增，
当时，，
因为，所以成立；
当，在上单调递减，所以存在；不符合，
当，在上单调递增，在上单调递减；
所以存在，，不符合，
综上，的取值范围是；
由得，若，在上单调递增，在上单调递减．
因为，
当，
，
因为，，所以，
所以，
所以，
又，且在上单调递增，
所以存在，使．
又因为，
当时，，即，，所以．
因为在上单调递减，上单调递增，
所以当时，．
综上，有且只有一个零点．

21.解：由题意得：，，则当为奇数时，，当为偶数时，，所以数列的前项和；
由题意得：，，对于给定的正奇数，，对，，则令，，得：，
，综上：为常数列，由可得：；
要证，只需证，即证，令数列，由于具有性质，即，对，，则，对，，所以具有性质，令，设的最小值为，对，令，，由于具有性质，则有，所以，
所以，所以成立
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