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(共70张PPT)
专题02 实数
核心考点 复习目标 考情规律
平方根 理解平方根概念，掌握性质，会求非负数平方根，区分正负平方根； 选择填空必考，常考概念辨析、求数的平方根，难度基础。
算术平方根 掌握算术平方根定义与非负性，会求算术平方根，会简单应用； 高频考点，侧重非负性、计算，常与绝对值、平方结合出题。
立方根 理解立方根概念，掌握性质，会求任意实数的立方根； 选择填空常考，考查计算与性质，正负立方根均存在。
实数及其简单运算 认识实数分类，理解无理数概念，掌握实数运算与性质； 综合考查，选择填空判断无理数，解答题考运算与大小比较。
平方根
知识点01
1.定义：一般地，如果一个数的平方等于,即，那么叫做这个数的平方；这个数叫作的平方根或二次方根。求一个数的平方根的运算，叫作开平方。
平方运算和开平方运算是互逆关系。
例：求下列各数的平方根：
（1）100；（2）；（3）0；（4）。
解：（1）∵ (±10) =100， ∴ 100 的平方根是±10；
（2）∵ () =， ∴ 的平方根是；
（3）∵ =， ∴ 0的平方根是；
（4）∵任何数的平方都不会是负数，∴没有平方根。
平方根
知识点01
2.平方根的符号记法：一个正数有两个平方根，记作:，其中叫做　的正的平方根,“” ；叫做a的负的平方根；
3.平方根的性质
（1）正数有两个平方根，它们是互为相反数；
（2） 0 的平方根是０；
（3）负数没有平方根.
因为负数没有平方根，所以 有意义的条件是.
1.定义：正数 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 的算术平方根。
规定：0的算术平方根是0．0的算术平方根也记为．
算术平方根
知识点02
例 求下列各数的算术平方根：
(1)100;(2)64;(3)0.0001.
解：（1）；y
（2）；
（3）01
总结：从例题可以看出——被开方数越大，对应的算术平方根就越大，这是实数比较大小的依据，也是求无理数近似值的依据。
1. 定义:一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根,记作：；求一个数的立方根的运算，叫做开立方；
立方根
知识点03
2. 立方根的性质:互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。
3. 立方根的小数点移动规律
例：用计算器计算求,,,,,…,你能发现什么规律
解： =0.06
=0.6
=6
=60
总结：被开方数的小数点向左（右）移动三位，立方根的小数点相应地向左（右）移动一位。
实数及其简单的运算
知识点04
1. 实数的概念及分类
（1）相关概念：无限不循环小数叫作无理数，有理数与无理数统称实数。
（2）实数的分类
实数及其简单的运算
知识点04
（3）实数与数轴上点的对应关系
实数与数轴上的点一一对应，在数轴上右边的数总大于左边的数。（这是实数大小比较的依据）
2. 实数的运算
（1）实数的相反数
数 的相反数是 .
如：（）=.
实数及其简单的运算
知识点04
（2）绝对值
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
例：因为 ，
所以，||（） （负数的绝对值等于它的相反数）
实数及其简单的运算
知识点04
（3）加减乘除运算法则
有理数的运算法则及运算律同样适用于实数.
3可以省略“”，写成“3”.
例：32（32）5 （乘法分配律）
易错题： （不属于乘法分配律）
实数及其简单的运算
知识点04
（4）实数的乘方、开方运算
因为 的平方是 ，所以 是 的算术平方根；
因为 3 的平方是 ，所以 是 的算术平方根，记作：；
反之，因为 是 的算术平方根，所以 ；
因为 是 3 的算术平方根，所以 3；
归纳： ()，；
同理：，.
平方根
题型一
解｜题｜技｜巧
解｜题｜技｜巧
先判断数非负，再找平方等于该数的数，注意正负两个根；
易｜错｜点｜拨
1. 易漏负平方根，负数无平方根，勿与算术平方根混淆。
平方根
题型一
【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　）
A． B． C． D．
解：“的平方根是”，用式子表示为．
故选：C．
C
【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴的平方根是，
故选：B．
B
【变式2】（24-25七年级下·全国·期中）36的平方根是（ ）
A． B． C．6 D．
解：∵，
∴36的平方根是，
故选：A．
A
算术平方根
题型二
解｜题｜技｜巧
答｜题｜模｜板
结果为非负数，直接找正的平方根，利用非负性列方程求解；
易｜错｜点｜拨
结果只能为非负，易误写为正负值，混淆与平方根的范围。
【典例1】（24-25七年级上·全国·期中）的算术平方根是______．
解：，
∴的算术平方根是，
故答案为：2．
2
【典例2】（24-25七年级下·四川·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
故选：D．
D
【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）4的算术平方根是（　　）
A． B．2 C． D．
解：的算术平方根是：，
故选：B．
B
【变式2】（24-25七年级下·全国·期中）学完平方根后，老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况：①0的平方根是0；②16的平方根是；③9的算术平方根是3；④的平方根是．嘉嘉做对了几道题（ ）
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道
解：①根据平方根的定义，0的平方根只有0，故①正确；
②平方根包括正负两个值，16的平方根是，故②正确；
③算术平方根为非负数，9的算术平方根为，故③正确；
④由，5的平方根应为，而非，故④错误；
综上，嘉嘉做对了①、②、③，共3道题．
故选：C．
C
立方根
题型三
解｜题｜技｜巧
答｜题｜模｜板
根据立方运算求根，正数、负数、0均有唯一立方根；
易｜错｜点｜拨
易与平方根性质混淆，忽略负数有立方根，计算符号出错。
【典例1】（24-25七年级下·福建·期中）若，则的立方根为_______．
-1
解：∵，
且，
解得：，，
则，
则的立方根为；
故答案为：．
【典例2】（24-25七年级下·黑龙江·期中）求下列x的值
(1)
(2)
(3)
（1）解：，
∴
∴
∴，
解得：；
（2）解：，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
则或
∴或．
【变式1】（24-25七年级下·江西赣州·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们解答以下问题：
(1)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根：
① ；② ；
(2)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则
(3)知识联系与迁移：请求出下列方程中x的值
①
②
（1）解：∵，
∴，
∴；
故答案为：0.1435，14.35；
（2）解：类比算术平方根中被开方数的小数点变化规律，可得：被开方数扩大或缩小倍，立方根就相应的扩大或缩小倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则立方根的小数点就向左或向右移动位．即有：
，
．故答案为：
（3）解：移项得
即
得或；
②原方程移项得，
即，
解得．
实数的运算
题型四
解｜题｜技｜巧
答｜题｜模｜板
先化简再运算，按有理数运算法则计算，区分有理无理数；
易｜错｜点｜拨
误判带根号数为无理数，运算时符号、运算法则出错。
【典例1】（2024七年级下·河南·专题练习）在下列实数中，无理数是（ ）
A．0.151515… B． C． D．
B
解：0.151515…、、是有理数，是无理数；
故选：B.
【典例2】（24-25七年级下·全国·期中）的相反数是______ ，绝对值是______．
解：的相反数是；
的绝对值是．
故答案为：，．
【典例3】（24-25七年级下·全国·期中）比较大小：_______2．(填“>”“<”或“=”)
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．．
故答案为：<．
<
【典例4】（24-25七年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)．
（1）解：
；
（2）解：
．
（1）解：，，
∴整数有：、、0；
（2）解：分数有：、；
（3）解：无理数有：、、（每两个1之间依次多一个0）．
【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）把下列各数分别填在相应的括号内：
，，，，0，，，（每两个1之间依次增加一个0）．
(1)整数：{　 …}；
(2)分数：{　 　…}；
(3)无理数：{　 　…}．
【变式2】（24-25七年级下·湖南·期中）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．和 B．和 C．和3 D．和
解：A、由，得3和不互为相反数，故A选项不符合题意；
B、由，得和不互为相反数，故B选项不符合题意；
C、由，得和3互为相反数，故C选项符合题意；
D、由，得和不互为相反数，故D选项不符合题意；
故选：C．
C
【变式3】（24-25七年级下·广东·期中）如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧），则点所表示的数为_____．
解：∵正方形的面积为3，
；
∵以A点为圆心，为半径，和数轴交于E点，
；
∴点E所表示的数为，
故答案为：．
【变式4】（24-25七年级下·贵州·期中）如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数．
(1)填空： ， ， ；
(2)先化简，再求值：
解： （1）根据数轴可得
∵是的一个平方根，
∴
根据数轴可得
∴，
的立方根为，则，
∵是的相反数
∴，
故答案是：，，；
【变式4】（24-25七年级下·贵州·期中）如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数．
(1)填空： ， ， ；
(2)先化简，再求值：
（2）∵
∴，
∴
当，时，
原式
【变式5】（24-25七年级下·全国·期中）材料：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如．是因为，所以的整数部分是2，小数部分是．
根据上述材料，回答下列问题：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)若的整数部分是a，小数部分是b，求的值．
（1）解；∵，
∴，
∴的整数部分是4，
∴小数部分是，
故答案为：4；；
【变式5】（24-25七年级下·全国·期中）材料：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如．是因为，所以的整数部分是2，小数部分是．
根据上述材料，回答下列问题：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)若的整数部分是a，小数部分是b，求的值．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分，
∴的小数部分，
∴．
1. 下列各数是无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．
解：A、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、π是无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
期中基础通关练（测试时间：10分钟）
D
2. 规定：把不超过实数的最大整数记作，例如：，，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
A
解：根据的意义得，
，
故选：A．
3. 下列说法中，正确的是（　　）
A．的立方根是 B．的平方根是
C．平方根等于本身的数有， D．的立方根是
D
解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意；
、的平方根是，原选项说法错误，不符合题意；
、平方根等于本身的数有，原选项说法错误，不符合题意；
、的立方根是，原选项说法正确，符合题意；
故选：．
4. 下列说法：①；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③任何实数不是有理数就是无理数；④两个无理数的和还是无理数，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①，故此选项不符合题意；
②数轴上的点与实数成一一对应关系，故此选项符合题意；
③任何实数不是有理数就是无理数，故此选项符合题意；
④两个无理数的和不一定是无理数，故此选项不符合题意；
即：正确的有②③，共2个．
故选：B．
B
5. 的相反数为_____．
解：的相反数为，
故答案为：．
6. 按照如图所示的操作步骤，若输入的值为6，则输出的值为_______．
解：输入的值为6时，按程序图计算为：，
开平方后为3时，，取相反数为，，
开平方后为时，， ，
故输出的值为，
故答案为：．
7. 求59319的立方根，解答如下：
①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________．
解：，
又，
，
∴能确定314432的立方根是个两位数．
314432的个位数是2，
又，
∴能确定314432的立方根的个位数是8．
划去314432后面的三位432得到数314，而，则，
可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6，
因此314432的立方根是68，
故答案为68．
8. 计算：．
解：
．
9. 已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？
解：第一个正方体水箱的体积为，
所以第二个正方体水箱的体积为，
所以第二个正方体水箱的棱长为，
所以需要铁皮为．
答：第二个水箱需要铁皮．
1. 在、、、这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．1 C． D．
期中重难突破练（测试时间：10分钟）
C
解：在0，1，，这四个数中，最小的数是：．
故选：C．
2. 观察下列各式：
①；②；③．根据上面三个等式，猜想的结果为（ ）
A． B． C． D．
C
解：根据题意，第n个等式为
＝
∴＝＝
故选择：C．
3. 计算：_______．
0
解：
．
故答案为：0．
4. 下列实数，0.57557，，，中，其中无理数是_________．
解：，分数，是有理数；
0.57557，有限小数，是有理数；
＝－2，整数，是有理数；
、是无限不循环小数，是无理数．
故答案为：和．
5. 比较大小：7______．
解：∵ ，且49＞44，
∴，
∴7＞，
故答案为：＞．
6. （1）计算：
（2）求的值：
解：（1）原式
=4；
（2）移项，得，
，
直接开平方得．
7. 图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．
(1)图1中拼成的正方形的面积是________，它的边长是_________．
(2)如图2所示，点A表示的数是________．
(3)网格中有一个由8个小正方形组成的图形（加粗部分），请仿照图1，将它剪开并拼成一个正方形，在网格中画出示意图． 再将数轴补充完整，并在数轴上表示．（保留作图痕迹）
（1）解：∵图1中拼成的正方形是由五个边长为1的小正方形组成的，
∴图1中拼成的正方形的面积是5，
∴图1中拼成的正方形的边长为，
故答案为：5，；
（2）解：由图1可知，边长为的正方形是由4个直角边为1，2的直角三角形组成的，
∴此直角三角形的斜边长为，
同理可得，
∴点A表示的数为，
故答案为：；
（3）解：如图所示，即为所求．
8. 动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为2：1．
(1)“混天绫”的总长度是多少米？
(2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由．
（1）解：因为，
所以正方形的边长为．
所以正方形的周长为．
答：混天绫的总长度是．
（2）设宽为，则长为．
可得：，
解得：（因为长度为正，舍去负根），
长为：，
，
．
答：混天绫长度足够完成新阵法．
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A．不带根号的数一定是有理数 B．实数和数轴上的点一一对应
C．无限小数都是无理数 D．算术平方根等于它本身的数是0和
期中综合拓展练（测试时间：15分钟）
B
解：A、不带根号的数不一定是有理数，例如不带根号，但它是无理数，该选项错误；
B、根据实数与数轴的关系，实数和数轴上的点是一一对应的，该选项正确；
C、无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，该选项错误；
D、算术平方根等于它本身的数是0和，负数没有算术平方根，该选项错误．
故选：B．
2. 比较三个数： 的大小，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
D
解：∵，，，
又∵，
∴．
故选：D．
3. 比较大小：______，______；
解：，，
故答案为：，
4. 若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为___．
解：∵即时，，此时n=1，2，3，
∴；
∵即时，，此时n=4，5，6，7，8，
∴；
∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15，
∴=；
由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，
4. 若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为___．
∵，，
∴即时，，
∴，
∴
，
故答案为：．
5. 若的整数部分为a，小数部分为b．
(1)求a，b的值；
(2)求的值．
（1）解：∵，
∴，
∴，；
（2）解：由（1）得，，
∴．
6. 计算：
解：
；
7. 长方形画纸的面积为，长与宽的比为．王芳想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？
解：设长方形画纸的长为厘米，则宽为厘米，
由题意得：，
解得：或 (舍去)，
长方形的宽为，
，
又，半径为的圆形画纸其直径为，
不能裁出半径为的圆形画纸，王芳的想法不可行．
8. 在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网．
(1)方格网中格点正方形的面积是 ，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点B表示的数为 ；
(2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长．
（1）解：由题意，方格网中格点正方形的面积是，则，
∴，
∴点B表示的数为，
故答案为：．
（2）解：如图，构造为边的格点正方形，
则格点正方形的面积为，则，
∴．
9. 阅读下面一段材料，并解答材料后的问题：
我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑：，的整数部分为3，小数部分为．再如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
(1)若的整数部分为m，小数部分为n，则__________，__________；
(2)已知．
①若x是整数，且，求的值；
②若x，y分别是一张长方形纸片的
长和宽，将该纸片按如下图方式先折一下，然后剪开，可以得到一个正方形和一个长方形，已知．求证：．
解：（1），
，
的整数部分为4，小数部分为，
即，
故答案为：；
（2）①，即，
的整数部分为1，小数部分为，
∴，
∵x是整数，且，
∴，
∴；
②由题意得，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

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