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专题03 平面直角坐标系
核心考点 复习目标 考情规律
平面直角坐标系 理解坐标系概念，会写点坐标，掌握各象限及坐标轴符号规律； 必考象限符号、坐标轴上点特征，常结合简单坐标判断考查。
用坐标描述简单几何图形 会根据坐标描点画图，能由图形顶点坐标判断形状； 常考多边形顶点坐标书写，判断平行、垂直、对称关系。
用坐标表示地理位置 建立合适坐标系，用坐标准确表示地点相对位置； 以某点为原点建系，常结合方向、距离综合出题。
用坐标表示平移 掌握点平移坐标变化规律，会用坐标表示图形平移； 平移规律必考，左右变横、上下变纵，多结合图形考查。
平面直角坐标系
知识点01
1.概念：如图，在平面内，两条互相垂直且有公共原点的两条数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为轴或横轴；
竖直的数轴称为轴或纵轴；
两坐标轴的交点O为平面直角坐标系的原点.
平面直角坐标系
知识点01
2.各象限内及坐标轴上点的坐标特征
第一象限内的点，横坐标>0，纵坐标>0，即 ；
第二象限内的点，横坐标<0，纵坐标>0，即 ；
第三象限内的点，横坐标<0，纵坐标<0，即；
第四象限内的点，横坐标>0，纵坐标<0，即 。
轴上的点，其纵坐标为0，即 ()；
轴上的点，其横坐标为0，即 ()；
原点的坐标是 (0,0) .
平面直角坐标系
知识点01
例: 指出图中各点的坐标
解：点坐标是（4，5）
点坐标是（-2，3）
点坐标是（-2.5，-2）
点坐标是（4，-2）
点坐标是（0，-4）
1. 描述坐标轴所在的直线
轴上的点的纵坐标为0，所以轴记为直线.
轴上的点的横坐标为0，所以轴记为直线.
用坐标描述简单几何图形
知识点02
2.描述与坐标轴垂直（平行）的直线
与轴平行直线（横平线）上的点，纵坐标都相等；反之纵坐标相等点的连线一定平行于轴；
与轴平行直线（竖直线）上的点，横坐标都相等；反之横坐标相等点的连线一定平行于轴；
3.描述象限的平分线
一三象限平分线上的点，横纵坐标相等（）;
二四象限平分线上的点，横纵坐标相反（）;
用坐标描述简单几何图形
知识点02
4.描述点到坐标轴的距离
点P（）到轴的距离为;
点P（）到轴的距离为;
5.描述直角三角形、正方形等简单的几何图形
（1）归纳：用坐标表达的简单的几何图形分两类
①用坐标表达与坐标轴平行、垂直、重合的直线；
②主要线段与坐标轴平行、垂直或重合的几何图形.它们的面积也要用与坐标轴垂直或平行的线段的乘积来表示.
（2）简单的几何图形上的点的坐标特征见下表
用坐标描述简单几何图形
知识点02
象限点 轴上点
点到轴的距离：||；点到轴的距离：||； 轴上点不属于任何象限； 轴上的点的纵坐标都是0；
轴上的点的横坐标都是0；
横平线上的点 竖直线上的点
横平线上的点纵坐标相等； 如图所示，该直线记作; 竖直线上的点横坐标相等；
如图所示，该直线记作;
一三象限角平分线上的点 二四象限角平分线上的点
横坐标、纵坐标相等 如图所示，该直线记作; 横坐标、纵坐标相反
如图所示，该直线记作;
1. 找准合适位置为坐标原点，分别以正东、正北方向分别为轴轴的正方向；
2. 以合适的距离为单位长度建立直角坐标系；
3. 用坐标表述各物体的位置.
用坐标表示地理位置
知识点03
例：天文学家以流星雨辐射点所在的天空区域中的星座给流星雨命名，如狮子座流星雨就是流星雨辐射点在狮子座中．如图，把狮子座的星座图大致描绘在网格中，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是 ．
解：∵点的坐标是，点的坐标是，
∴建立平面直角坐标系如图，
∴点的坐标是．
故答案为：．
用坐标表示平移
知识点04
1. 点的平移与坐标变化规律
一般地，如果点 M() 沿着与轴或轴平行的方向平移 个单位长度，那么
向右平移所对应的点的坐标为 ;
向左平移所对应的点的坐标为;
向上平移所对应的点的坐标为 ;
向下平移所对应的点的坐标为.
例：根据要求填空
原点坐标 向右平移 2个单位 向左平移 3个单位 向上平移 1个单位 向下平移
4个单位
(3,2) (5,2) (-1,2) (3,3) (3,-2)
(-1,-3) (1,-3) (-4,-3) (0,-3) (-5,-3)
用坐标表示平移
知识点04
2. 图形的平移
（1）图形平移的性质
如果把一个图形向右（或向左）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都加（或减）；
如果把一个图形向上（或向下）平移个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都加（或减）.
（2）图形平移画图
一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来的图形形状、大小完全相同.
用坐标表示平移
知识点04
例：如图，已知△ 三个顶点分别为 (-2,-3)、 (2,-3)、 (1,-1)，将△ 向右平移 4 个单位、再向上平移 3 个单位，得到△ ，画出平移后的图形并写出平移后各顶点的坐标；
解：①算平移后点的坐标
②描点
③连线画图
平面直角坐标系
题型一
解｜题｜技｜巧
解｜题｜技｜巧
先定象限再定坐标，横坐标看左右，纵坐标看上下；
易｜错｜点｜拨
易混淆横纵坐标顺序，注意原点不属于任何象限。
【典例1】（24-25七年级下·全国·期中）若点在平面直角坐标系的x轴上，则点A的坐标为__________．
解：∵点在平面直角坐标系的x轴上，
∴，解得：，
∴，
∴点A的坐标是：．
故答案为：．
【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．点在第二象限
B．点到y轴的距离为2
C．若点中，则点P在x轴上
D．若点在x轴上，则
解：A． 点的横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限，正确；
B． 点到轴的距离为横坐标的绝对值，正确；
C． 若，则或，此时点可能在轴或轴上，选项中仅说明在轴上，不全面，错误；
D． 若点在轴上，则其纵坐标，正确．
故选C．
C
【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点在第__________象限．
解：∵有意义，
∴，
∴，，
∴点在第一象限，
故答案为：一．
一
用坐标描述简单几何图形
题型二
解｜题｜技｜巧
答｜题｜模｜板
先描关键点再连线，对称点坐标按规律直接写；
易｜错｜点｜拨
容易漏看坐标符号，导致图形位置画反。
【典例1】（24-25七年级下·贵州·期中）在平面直角坐标系中，点P的横、纵坐标分别为x，y，已知，．
(1)求点的坐标；
(2)若点P在坐标轴上，点Q是第二象限内的点，轴，且，求出点Q的坐标．
（1）解：∵，，
∴，，
∴或，，
∴点P的坐标为或；
（2）解：∵点P在坐标轴上，
∴点P的坐标为，
∵轴，
∴∵Q的纵坐标为2，
∵点Q是第二象限内的点，且，
∴点Q的横坐标为，
∴点Q的坐标为．
【变式1】（24-25七年级下·黑龙江·期中）已知轴，且，，则点坐标为________________．
解：，当时，
点对应或者
所以坐标或
故答案为：或．
或
【变式2】（24-25七年级下·全国·期中）如图，正方形中，顶点，都在平面直角坐标系的轴上，点在点右侧．若点的坐标为，则点的坐标为______．
解：∵正方形，点的坐标为，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式3】（24-25七年级下·全国·期中）如图，在直角坐标系中，已知三点，其中满足关系式，．
(1)求的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：由，且，得
，，，
∴，，；
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：∵，
又∵，
∴，
解得，
∴存在点，使．
用坐标表示地理位置
题型三
解｜题｜技｜巧
答｜题｜模｜板
先确定原点和正方向，再按比例尺标坐标写位置；
易｜错｜点｜拨
易搞反东西南北与坐标正负，比例尺换算易出错。
【典例1】（24-25七年级下·全国·期中）如图是某市区的部分简图，请建立适当的平面直角坐标系，并分别写出各地的坐标（每一个单位长度相当于100米）．
解：以火车站为原点，向右为x轴正方向，向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，
火车站；体育场；市场；宾馆；文化宫；
医院；超市．
【变式1】（23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，这是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“馬”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解：∵“馬”所在位置的坐标为，
∴点O即是平面直角坐标系的原点，且每一格的单位长度是1，
∴“炮”所在位置的坐标为．
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）如下图，一个小正方形网格的边长表示．同学上学时从家中出发，先向东走，再向北走就到达学校．
(1)以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴
正方向，在图中建立平面直角坐标系．
(2)若以为单位长度，请据图写出B同学家的
坐标：________．
(3)在你所建的平面直角坐标系中，如果C同学家的坐标为，请你在图中描出表示C同学家的位置．
（1）解：以学校为坐标原点，向东为轴正方向，向北为轴正方向，建立平面直角坐标系如图所示．
（2）解：同学家的坐标是，
故答案为：；
（3）解：∵同学家的坐标为，
∴C同学家在平面直角坐标系中如图所示．
用坐标表示平移
题型四
解｜题｜技｜巧
答｜题｜模｜板
右加左减横坐标，上加下减纵坐标，整体平移同加减；
易｜错｜点｜拨
平移方向与坐标加减易记反，图形平移易漏点。
【典例1】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，点B正好落在x轴上，则点B的坐标为________．
解：由题意得
，
点B正好落在轴上，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
【典例2】（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为．
(1)点的坐标为 ；点的坐标为 ．
(2)①画出三角形；
②求出三角形的面积．
（1）解：∵，经平移后对应点为，
∴平移规则为：先向左平移6个单位，再向上平移2个单位，
∵，
∴，即：；
故答案为：
（2）①如图，三角形为所作；
②的面积
．
【变式1】（24-25七年级下·山东滨州·期中）在平面直角坐标系中将M（4，5）先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是( )
A．（1，6） B．（1，4）
C．（7，4） D．（7，6）
解：将M（4，5）先向下平移1个单位，再向左平移3个单位得到的点的坐标为（4-3，5-1）即（1，4），
故选：B．
【变式2】如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别是（ ）．
A． B．
C． D．
解：由坐标系得三个顶点的坐标分别是
，
∵将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴平移后三个顶点的坐标分别是，
故选：C
【变式3】在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为，，．
(1)画出，并将平移后，使点A的对应点为点，点B的对应点为点，点C的对应点为点，画出平移后的，并直接写出点的坐标；
(2)求出的面积．
（1）解：如图所示，、即为所求，；
（2）解：由图知，的面积为．
1. 已知点的坐标为，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：根据题意，
∵的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∴点在第四象限；
故选：D．
期中基础通关练（测试时间：10分钟）
D
2. 在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段，点A(1，2)的对应点的坐标为(-1，-2)，则点B(3，-2)的对应点的坐标为（ ）
A．(1，-6) B．(-1，6) C．(6，-1) D．(-6，1)
A
解：∵线段AB平移后得到线段，点A(1，2)的对应点的坐标为(-1，-2)，
∴将线段AB向左平移2个单位，向下平移4个单位得到线段，
∴点B(3，-2)的对应点的坐标为(3-2，-2-4)，即(1，-6)．
故选A．
3. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，且到轴，轴的距离分别为4、9，则点的横坐标为（ ）
A．4 B．9 C． D．
C
【详解】∵点P在第二象限，且第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0；
∴点P的横坐标小于0，纵坐标大于0
∵点P到x轴的距离等于4，到y轴的距离等于9
∴点P的坐标是（ 9，4）．
∴点的横坐标为-9
故选：C．
4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是第______象限．
解：∵
∴点在第四象限，
故答案为：四．
四
5. 已知点P在x轴的下方，若点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点P的横坐标与纵坐标的和为 _____．
解：∵点P在x轴下方，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，
∴点P的横坐标为±4，纵坐标为-3，
∴点P的坐标为（4，-3）或（-4，-3），
点P的横坐标与纵坐标的和为4-3=1或-4-3=-7．
故答案为：1或-7．
6. 在平面直角坐标系中，将点M（3，-1）沿轴向左平移2个单位，再沿轴向下平移3个单位后得到点N，则点N的坐标为_________．
【详解】将点M（3，-1）沿x轴向左平移2个单位，得，即；
再沿y轴向下平移3个单位后得到点N，得，即
故答案为：．
7. 在平面直角坐标系xOy中，若点P在第四象限，且点P到x轴和y轴距离分别为5和4，则点P的坐标为________________．
解：∵点P在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为5，4，
∴点P的横坐标是4，纵坐标是﹣5，即点P的坐标为（4，﹣5）．
故答案为：（4，﹣5）．
8. 已知点，解答下列各题：
(1)点在轴上，求出点的坐标；
(2)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值．
（1）解：∵点在x轴上，
∴，解得：，
∴，
∴点P的坐标；
（2）解：∵点在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
∴，
解得：，
∴．
9. 如图，假定我们学校南门口的坐标为，4号楼所在位置的坐标为．
(1)请你根据题目条件，画出平面直角坐标系；
(2)写出1号楼、2号楼、3号楼、操场所在位置的坐标．
（1）解：如图所示平面直角坐标系即为所求；
（2）解；由坐标系可知，1号楼的坐标为，2号楼的
坐标为，3号楼的坐标为，操场的坐标为．
10. 综合与实践
如图，向阳中学计划在一块长为、宽为的长方形空地上圈出两小块区域，用来修建花坛，在花坛内分别种植芍药花和蔷薇花，空地内有两条小路和，O为的中点，小悦同学利用平面直角坐标系的知识为学校设计方案如下．
①以两条小路的交点O为原点，平行于空地的长和宽的直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，为一个单位长度，x轴与空地边交于点E，F为的中点．
②在上选取点G，过点G作轴，轴，垂足分别为点M，N，在长方形区域内种植芍药花：在上选取点H，过点H作轴，轴，垂足分别为P，Q，在正方形区域内种植蔷薇花．
学校采用了小悦的方案，请按照她的方法，解答下列问题．
(1)点B的坐标为______，点F的坐标为______．
(2)若Q为的中点，求正方形的面积．
(3)若点G的坐标为，求证：．
（1）解；∵O为的中点，
∴，
∵，
∴；
∵，为的中点，
∴，
又∵轴，
∴；
（2）解：∵Q为的中点，
∴，
∴；
（3）证明：如图所示，连接，
∵轴，轴，点G在第一象限，且点G的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
期中重难突破练（测试时间：10分钟）
C
解：点的横坐标为负数，纵坐标也为负数，
符合第三象限的坐标符号特征，
点位于第三象限．
故选：C．
2. 若点在x轴上，则点P的坐标为______．
解：点在x轴上，则，解得
则点P的坐标为
故答案为：
3. 如图，一只电子蚂蚁P，在平面直角坐标系xOy中按箭头所示方向作折线运动，即，，，，，，…，按照这样的运动规律，的坐标为______；的坐标为______．
解：，，，，，，
通过点的坐标特点可以发现规律，当n为偶数时，
横坐标为前个点的横坐标加2，纵坐标为前一个点的纵坐标减1，当n为奇数时，横坐标为前一个点的横坐标加1，纵坐标为前一个点的纵坐标加2，
则当n为偶数时，的横坐标，
的纵坐标，
当时，，，
，
当时，，，
，
故答案为：；．
4. 如图长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第次相遇点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
解：由题意可得长方形周长为12，
∵甲、乙速度分别为1单位/秒，2单位/秒，
∴两个物体每次相遇时间间隔为秒，
∴两个物体相遇点依次为、、，
∵，
∴第次两个物体相遇位置为，
故选：B．
5. 如图是老北京城一些地点的分布示意图，在图中，分别以正东，正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系．如果表示东直门的点的坐标为，表示宣武门的点的坐标为，那么坐标原点所在的位置是__________．
天安门
6. 平面直角坐标系内有一点A（4，5），将点A向左平移5个单位，再向下平移3个单位得到点B，将点B向左平移2个单位，再向下平移7个单位得到点C．
(1)求点B和点C两点的坐标．
(2)在图中画出三角形ABC，并求出三角形ABC的面积．
（1）解：∵平面直角坐标系内有一点A（4，5），将点A向左平移5个单位，再向下平移3个单位得到点B，
∴点B的坐标为（4-5，5-3）即（-1，2），
∵将点B向左平移2个单位，再向下平移7个单位得到点C，
∴点C的坐标为（-1-2，2-7）即（-3，-5）；
（2）解：如图所示，△ABC即为所求；
；
7. 已知平面直角坐标系中有一点，请计算：
(1)若点P在x轴上，求点P的坐标；
(2)若点P在第二象限，求m的取值范围；
(3)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求m的值；
(4)若点P到x轴的距离为3，求点P的坐标．
（1）∵点 在 轴上
∴点的坐标为
（2）∵点 在第二象限
解得：
（3）∵点在过点 且与 轴平行的直线上
∴，解得
（4）∵点到轴的距离为3
∴，解得 或
当 时，点 的坐标为
当 时，点 的坐标为
∴点的坐标为 或
8. 已知点，轴，垂足为，将线段平移至线段，点，其中点与点对应，点与点对应，、满足．
(1)直接写出、、三点的坐标________，________，________；
(2)如图1，若点在线段上，证明：；
(3)如图2，连接，动点从点开始在轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点从点开始在轴上以每秒1个单位的速度向下
运动，若经过秒，三角形的面积是三角形的
面积的2倍，试求的值及点的坐标．
（1）解：①，
又，，
，，
，，
，，
点A与点对应，点与点对应，
点的横坐标为，纵坐标为，
∴；
（2）证明：如图，连接．
∵，
∴，∴，
（3）解：∵动点从点开始在轴上以每秒2个单位的速度向左运动，
同时点从点开始在轴上以每秒1个单位的速度向下运动．
①当点在线段上时，，，
∵三角形与三角形面积的2倍，
∴
解得：，此时；
②当点在的延长线上时，，，
∵三角形与三角形面积的2倍，
∴
解得；此时；
综上所述，当时，；
当时，．
综上，当时，；当时，．
1. 若点在轴上，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
期中综合拓展练（测试时间：15分钟）
A
解：∵点在y轴上，
∴，
解得：，
故选：A．
2. 在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离恰为到轴距离的2倍，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
A
解：设点的坐标为，
∵点到轴的距离为4，
∴，
∴，
∵点到轴的距离恰为到轴距离的2倍，
∴，
∴，
∵点在第四象限内，
∴，，
即点的坐标为．
故选：A．
3. 如图，是一局象棋残局，若表示棋子“炮”和“車”的点的坐标分别
为，，则表示棋子“馬”的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意可知，棋子“炮”和“車”的点的坐标分别为，，
建立直角坐标系如下：
表示棋子“馬”的点的坐标为，
故选：C．
4. 如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示、如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2022次碰到球桌边时，小球的位置是（ ）
A． B． C． D．
解：由图可得，
点(1，0)第一次碰撞后的点的坐标为(0，1)，
第二次碰撞后的点的坐标为(3，4)，
第三次碰撞后的点的坐标为(7，0)，
第四次碰撞后的点的坐标为(8，1)，
第五次碰撞后的点的坐标为(5，4)，
第六次碰撞后的点的坐标为(1，0)，
2022÷6=3366，
小球第2022次碰到球桌边时，小球的位置是（1，0)，
故选：A．
5. 若点在y轴上，则______．
解：∵点在y轴上，
∴，
解得，，
故答案为：2．
6. 已知点，解答下列各题．
(1)点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标；
(2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．
（1）点的坐标为，直线轴，
，
解得：，
，
点的坐标为；
（2）点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，
，
解得：，
．
7. 已知的，，，将平移到，点平移到点，求点、的坐标．
解：∵点移到点，
∴点向左平移个单位，再向下平移个单位得到，
∴按同样的平移方式来平移点，向左平移个单位，再向下平移个单位得到，
点，向左平移个单位，再向下平移个单位得到．
8. 如图，A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，﹣1），将△ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到△A1B1C1
(1)画出平移后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)在x轴上存在点P，使得△PA1C1面积为，求点P的坐标．
（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积为
（3）设
解得：或
或
9. 在平面直角坐标系中，对于点若点的坐标为，则称点为点A的“级牵挂点”，如点的“级牵挂点”为，即．
(1)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标，并求出点到轴的距离；
(2)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标及所在象限；
(3)如果点的“级牵挂点”在轴上，求点的坐标；
（1）解：点的“级牵挂点”为，
∴的横坐标为：，纵坐标为：，
即
且到轴的距离为；
（2）解：∵点的“级牵挂点”为
设点的坐标为
，解得
点的坐标为，在第四象限．
（3）解：点的“级牵挂点”，
，，
即，
点在轴上，
，
，
则，
的坐标为．

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