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专题04 二元一次方程组
核心考点 复习目标 考情规律
二元一次方程组概念 理解掌握定义及解的概念，能准确辨析； 多以选择填空考查概念、解的判断与含参计算。
二元一次方程组解法 熟练运用代入、加减消元法灵活解题； 必考解答题，侧重基础计算与含参问题。
三元一次方程组解法 会消元转化为二元一次方程组再求解； 基础解答题，考查转化与消元能力。
一次方程组解法中的数学思想方法 理解消元、转化、整体代入等数学思想； 渗透各类题型，常结合含参、巧算考查 整体代入简化。
一次方程组的应用 会列方程组解行程、工程、利润等应用题； 必考解答大题，分值高。
二元一次方程组概念
知识点01
1. 二元一次方程的概念
像“”含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程．
2. 二元一次方程组的概念
由几个方程组成的一组方程叫作方程组.如果方程组中含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共含有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
3. 二元一次方程组的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解；
一般地，二元一次方程组两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.
1. 消元法
在解二元一次方程组的过程中，用适当的方法消去一个未知数，将二元 一次方程组转化为一元一次方程，这种方法叫作消元法.
二元一次方程组解法
知识点02
2. 代入消元
将二元一次方程组中的一个方程进行适当变形，把一个未知数用另一个未知数表示，就可以用“代入”的方法实现消元，进而求得这个 二元一次方程组的解.
3. 加减消元
将二元一次方程组中的方程进行适当变形，使两个方程中有一个未知数的系数相等或互为相反数，就可以用“加减”的方法实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解.
1. 如果方程组中含有三个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作三元一次方程组.
例如：
三元一次方程组解法
知识点03
2. 解三元一次方程组的基本方法是：
三元一次方程组→二元一次方程组→一元一次方程
消元
消元
一次方程组解法中的思想方法
知识点04
1. 一次方程组的解法看似简单，核心思想是消元，主要方法是代入法和加减法。事实上，学生在实际解题过程中，常常思路不清、过程繁琐。
2. 思想方法应用的常见题型
（1）整体代入法在一次方程组中的应用
（2）整体加减法在一次方程组中的应用
（3）整体换元法在一次方程组中的应用
（4）整体思想在含参数的方程组中的应用
一次方程组的应用
知识点05
1. 解题关键：
从实际问题中找出两个独立的等量关系,并正确设未知数，列出二元一次方程组.
2. 常见题型：
（1）和差、倍分、分配等基础问题；
解答此类应用题的关键是要从“和、差、倍、共、总数”等关键词中找出两个等量关系；
一次方程组的应用
知识点05
（2）数量关系较为隐蔽的复杂问题；
如行程问题、工程问题、利润问题等等，此类题缺少“和、差、倍、共、总数”等关键词，不能直接地发现等量关系，需要通过通过画图、列表来分析隐蔽的等量关系.
（3）图表信息、分段计费、销售问题
生活中的水费、电费、出租车费、商品打折等问题都可以转化为数学问题，都可以用方程组解决。此类题型信息多、来源广解题的关键点是要学会提取信息、处理复杂情境，体会方程组在生活实际中的应用价值。
二元一次方程组概念
题型一
解｜题｜技｜巧
解｜题｜技｜巧
紧扣“二元、一次、整式”三条件，解需满足两方程；
易｜错｜点｜拨
混淆方程/组解；忽略分母含未知数非整式。
【典例1】（24-25七年级下·吉林辽源·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意；
B、含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意；
C、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意；
D、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意；故选：A．
A
【典例2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
解：∵方程组为，
将两方程相加，得，
解得
将代入，得，
解得，
∴方程组的解为，
故选：A．
A
【变式1】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）下列是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
解：A.方程组中，方程不是一次方程，故原方程组不是二元一次方程组，不符合题意；
B.方程组中，方程不是整式方程，故原方程组不是二元一次方程组，不符合题意；
C.方程组是二元一次方程组，符合题意；
D.方程组中含有3个未知数，故原方程组不是二元一次方程组，不符合题意；
C
【变式2】（24-25七年级下·河南新乡·期中）若关于的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（ ）
A． B． C． D．
解：方程组为，其解需同时满足两个方程，
∴假设解为，（满足），代入各选项验证：
A、，不成立，故该选项不符合题意；
B、，不成立，故该选项不符合题意；
C、，成立，故该选项符合题意；
D、，不成立，故该选项不符合题意；故选：C
C
【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）表1为二元一次方程的部分解，表2为二元一次方程的部分解，则方程组的解为 （ ）
A． B． C． D．
解：由表格可知，，是二元一次方程
的解，，是二元一次方程的解，
关于，的二元一次方程组的解为．
故选：C．
C
用坐标描述简单几何图形
题型二
解｜题｜技｜巧
答｜题｜模｜板
系数为±1用代入；系数同/反用加减 消元漏乘、移项不变号；
易｜错｜点｜拨
未化最简即计算 。
【典例1】（24-25七年级下·贵州·期中）解方程组：
解:由①得，, 把 代入② , 得
.
解得.
把 代入①,得 .
所以方程组的解为：
【典例2】（24-25七年级下·南通·期中）用加减法解方程组
解：
，得：，
解得：；
把，代入，得：，
解得：；
∴方程组的解为：．
【变式1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）解方程组
(1) (2)
（1）解：
由
得，
解得，
将代入①得，，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：原方程组整理得，，
由①得，
将代入②得，，
解得，
将代入得，，
∴原方程组的解为．
【变式2】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）解方程组
(1) (2)
（1）解：
由①得，，
将③代入②，得，
解得，
将代入③，得，
所以，原方程组的解是；
（2）解：，
方程整理得，，
，得，
解得，
将代入③，得，
解得，
所以，原方程组的解是．
三元一次方程组解法
题型三
解｜题｜技｜巧
答｜题｜模｜板
先消同一元化二元，再按二元法求解；
易｜错｜点｜拨
消元混乱；漏求第三个未知数；未检验 。
【典例1】（24-25七年级下·全国·期中）解方程组：
解： 将①分别代入②和③,整理得
解这个方程组，得
所以，原方程组的解是
【典例2】（24-25七年级下·扬州·期中）解方程组：；
解：，
由③-①得④
由②④组成方程组
解之得
把入①得，
方程组的解为 ；
【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解方程组
解：，
得，④，
由①、④联立成二元一次方程组
解之得：，
将，代入③得，，
所以方程组的解为．
【变式2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）解方程组：
解：，
得：，
与③组成方程组，
解得：，
将代入①
得：，
解得：，
故原方程组的解为．
一次方程组解法中的思想方法
题型四
解｜题｜技｜巧
答｜题｜模｜板
消元降次化未知为已知 不会整体换元；
易｜错｜点｜拨
转化思路不清致步骤错。
【典例1】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）解方程组
解法一：由①得：
化简，得： ③
把③代入②得：
化简整理，得：
解之，得：
把,代入③式，得
所以，方程组的解为
解法二：由①得：③
把③代入②，得：
解之，得：
把,代入③式，得
所以，方程组的解为
【典例2】（23-24七年级下·全国·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：
解：，得，即．③
，得．④
，得，解得．把代入③，解得，
∴原方程组的解是
(1)请你仿照上面的解法，解方程组：
(2)解关于x，y的二元一次方程组：（）．
（1）解：
，得．③
，得，
解得．
把代入③，得，解得，
∴原方程组的解是
（2）解：
，得．
∵，∴．③
，得，解得．
把代入③，得，解得，
∴原方程组的解是
【典例3】解方程组
解：设
原方程组可华为
解之，得：，即
解之，得：
【变式1】（24-25七年级下·山东·期中）解方程组：
解：
得， 即 ④
①④得
即
得
即
③④得
解得：
∴
【变式2】阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：
解：，得，即．③
，得．④
，得，解得．把代入③，解得，
∴原方程组的解是
(1)请你仿照上面的解法，解方程组：
(2)解关于x，y的二元一次方程组：（）．
（1）解：
，得．③
，得，
解得．
把代入③，得，解得，
∴原方程组的解是
（2）解：
，得．
∵，∴．③
，得，解得．
把代入③，得，解得，
∴原方程组的解是
【变式3】若方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
解：令，，则所求方程组可化为，
∵原方程组 的解为 ，
∴对于方程组，其解为，∴，
解第一个方程得：，即，
解第二个方程得：，
∴所求方程组的解为
一次方程组的应用
题型五
解｜题｜技｜巧
答｜题｜模｜板
找准两个等量关系，合理设元，规范作答 等量找错；
易｜错｜点｜拨
设元不当；解未检验舍负值。
【典例1】某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）
A． B． C． D．
解：根据某年级学生共有246人，则；
男生人数比女生人数的2倍少2人，则．
可列方程组为．
故选：B．
B
【典例2】甲、乙两车分别从相距400km的A、B两地出发，匀速相向而行.如果甲、乙两车同时出发，那么行驶4h后两车相遇；如果甲车比乙车先出发5h,那么在乙车出发2h后两车相遇.求甲、乙两车的速度.
解： 设甲车的速度为km/h,乙车的速度为km/h.根据题意，可得方程组

由①,得③
把③代入②,得.
解得
把代入③,解得
所以，这个方程组的解是
答：甲车的速度为40km/h,乙车的速度为60km/h
【典例3】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用）
已知小王家2024年4月份用水，
交水费83元；5月份用水，
交水费108元．
(1)求的值；
(2)6月份小王家用水，应交水费多少元？
（1）解：根据题意可得，
，
解得，，
即a值为值为4.2；
（2）根据题意知，吨的水费为：，
答：6月份小王家用水，应交水费元．
【变式1】某区全力推进智慧停车项目建设，在某商圈东边设置了一个智能停车场，这个停车场有100个普通车位和60个充电桩车位．已知每个充电桩车位的建设成本是普通车位的3倍，这个停车场充电桩车位比普通车位建设总成本多24万元．
(1)每个普通车位和每个充电桩车位的建设成本分别是多少万元？
(2)为进一步解决该商圈停车难问题，该区计划在商圈西边再新建一个总车位数为120个的智能停车场（包含充电桩车位和普通车位），使得该停车场的建设成本是东边停车场建设成本的，则西边的新建停车场配备了多少个充电桩车位？
（1）解：设每个普通车位的建设成本为万元，则每个充电桩车位的建设成本为万元，
根据题意，列方程为：，
解得，
，
答：每个普通车位的建设成本是0.3万元，每个充电桩车位的建设成本是0.9万元．
（2）解：设西边的新建停车场配备了个充电桩车位，则配备了个普通车位，
根据题意，列方程为：，
解得．
答：西边的新建停车场配备了40个充电桩车位．
【变式2】小敏去相距6千米的外滩游玩，她决定先步行一段路程，之后乘坐观光车前往．整个行程共用时1小时，且在步行与换乘中的耗时忽略不计．已知小敏步行时的平均速度是每小时4千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时12千米．请计算小敏步行和乘坐观光车分别所用的时间．
解：设小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时，
根据题意得，解得，
答：小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时．
【变式3】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示：
(1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，
6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，
求出表格中的a，b的值．
(2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，
求小明家7月份的用电量．
（1）解：依题意得：，
解得：．
答：a的值为，b的值为．
（2）解：若一个月用电量为度，电费为（元），
∵，
∴小明家7月份用电量超过度．
设小明家7月份用电量为x度，
依题意得：，
解得：．
答：小明家7月份的用电量为度．
【变式4】商场销售某种商品，当按定价销售时，每件可获利元；当按定价的九折销售时，销售件所获利润与将定价降低元销售件所获利润相等．
(1)该商品的进价和定价分别是多少元？
(2)商场在元旦期间推出以下优惠活动．
方案一：一次购买件以上所有商品打八折；
方案二：“买四送一”（即每买四件就送一件）．
小明的爸爸计划购买该商品件，选择哪种方案比较合算？比另一种方案节省多少元？
（1）解：设该商品的进价为元，定价为元，
根据题意得：，
解得：
答：该商品的进价为元，定价为元；
（2）解：方案一：∵，
∴此时该商品的单价为：，
∴总费用为：（元）；
方案二：件中包含完整的“买四送一”组数：，
需支付的件数为：，
∴总费用为：（元）；
∵，
∴方案一更合算，节省金额为：（元），
答：选择方案一比较合算，比方案二节省元．
1．（24-25七年级下·山东·期中）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）．
A． B． C． D．
解：A.含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故选项错误，不符合题意；
B.符合二元一次方程组的定义，故本项符合题意；
C.第二个方程的未知数的最高次数是2，不符合二元一次方程组的定义，故选项错误，不符合题意；
D.第二个方程含未知数的项的最高次数是2，不符合二元一次方程组的定义，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
期中基础通关练（测试时间：10分钟）
B
2．（24-25七年级下·甘肃·期末）已知方程组与方程组的解相同，则a，b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
C
解：解方程组
得：，
∵方程组与方程组的解相同，
∴把代入方程组
得：，
解得：，
故选：C
3．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）解下列方程组：
(1) (2)
（1）解：，
将①代入②得，
解得；
将代入①得；
二元一次方程组的解为；
（2）解：，
由①②得，解得；
将代入①得；
二元一次方程组的解为．
4．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：．
解：，
把③代入①，得，
整理得：，
，得，解得：，
把代入③，得，
把代入④，得，
∴原方程组的解为
5．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：
解：，
，得，
，得，
，得，
解得：，
把代入④，得10-y=11，解得：，
把代入③，得，解得：，
∴原方程组的解为．
6．（2024·陕西西安·三模）历史社团组织学生外出参观博物馆，计划将学生分若干小组管理，每个小组由一位教师带领若每位教师带名学生，则剩余名学生；若每位教师带名学生，则最后一位教师只需带人求此次带队的教师人数．
解：设此次带队的教师人数为人，学生由人，
由题意得：，
解得：，
答：此次带队的教师人数为人．
7．（24-25八年级上·全国·课后作业）星期天，七（6），七（8）两班部分同学相约去某公园玩碰碰车或划船，已知玩碰碰车的同学每人租用一辆车，划船的同学每4人合租一条船，两班各花了115元，活动人数如下表：
试求：每辆碰碰车的租金是多少元？
每条游船的租金是多少元？
解：设每辆碰碰车的租金为x元，
每条游船的租金为y元，由题意得
，
解得：，
答：每辆碰碰车的租金是5元，每辆游船的租金是15元．
8．（24-25七年级下·吉林·期中）【知识累计】解方程组
解：设，，原方程组可变为
解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法．
(1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组：
(2)【能力运用】已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为______．
（1）解：设、
，
原方程组可变为，
解得：，
所以，
解得；
（2）解：设、，
原方程组可变为，
关于，的方程组的解为，
，
解得，
方程组的解为．
1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
期中重难突破练（测试时间：40分钟）
D
解：A．含二次项，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意；
B．含三个未知数，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意；
C．中不是整式方程，故该选项不符合题意；
D．是二元一次方程组，故该选项符合题意．
故选：D．
2．（24-25七年级下·广东珠海·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
B
解：A、方程组含有三个未知数（、、），故不符合题意；
B、方程组含有两个未知数（、），且每个方程均为一次方程，符合题意；
C、第一个方程中的次数为2，不是一次方程，故不符合题意；
D、第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不符合题意；
故选：B．
3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）下列不是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
解：A、把代入方程的左边，可得，右边，左边=右边，所以该选项是方程的解，不符合题意；
B、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项是方程的解，不符合题意；
C、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项是方程的解，不符合题意；
D、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项不是方程的解，符合题意．故选：D．
D
4．（23-24七年级下·浙江金华·月考）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为，
将分别代入A.B.C.D，D项符合题意；
故选：D．
5．（24-25七年级下·四川乐山·期中）写出一个以为解的二元一次方程组：_______．
解：由题意，可以构造的方程组为：
；
故答案为：（答案不唯一）．
6．（2023七年级下·全国·专题练习）解方程组
(1) (2)
（1）解：
将①代入②得：
解得，
将代入①得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：
由得：
解得，
将代入①得：，
解得，
∴原方程组的解为．
7．（七年级下·湖南张家界·期中）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得．
(1)求正确的的值．
(2)求原方程组的正确解．
（1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得，
∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③；
∵小童看错了①中的，解得，
∴该解满足方程②，将代入②得：，即，
解得；
将代入③得：，解得；
故正确的；
（2）解：将代入原方程组，得，
由①得③，
将③代入②得：，解得；
将代入③得：；
∴原方程组的正确解为．
8．（23-24八年级上·山西运城·期末）下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：，由①，得． 第一步
把③代入②，得． 第二步
整理得． 第三步
解得，即． 第四步
把代入③，得．
则方程组的解为 第五步
任务一：
（1）①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”）
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
任务二：
（2）该方程组的正确解为______．
任务三：
（3）请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议．
（1）解：①以上求解过程中，小林用了代入消元法，
故答案为：代入；
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时没有变号，把整理得应该为．
故答案为：三，去括号时没有变号；
（2）解：，由①，得．
把③代入②，得．
整理得．
解得，即．
把代入③，得．
则方程组的解为
（3）去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号（合理即可）．
9．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将关于x、y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为．
(1)二元一次方程的“相伴系数对”为 ；
(2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程为 ；
(3)已知关于x、y的二元一次方程的“相伴系数对”为，请求出的值．
（1）解：∵，
∴，
∴二元一次方程的“相伴系数对”为；
（2）由题意可知：，把代入，得：
，解得：，
∴；
（3）∵，
∴，
∵“相伴系数对”为，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）（1）解方程组；
（2）解不等式组．
解：（1），
得，④，
得，，
将代入①得，，
将，代入③得，，
所以方程组的解为．
（2），
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集为．
11．（24-25七年级下·山东威海·期中）解方程组：
(1)
(2)
(3)
（1）解：，
把①代入②，得：，解得：，
把代入①，得：；
∴；
11．（24-25七年级下·山东威海·期中）解方程组：
(1)
(2)
(3)
（2）原方程组可化为：，
，得：，解得：；
把代入①，得：，解得：；
∴；
11．（24-25七年级下·山东威海·期中）解方程组：
(1)
(2)
(3)
（3），
，得：，解得：；
，得：，解得：；
把，代入①，得：，解得：；
∴．
12．阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目．
解方程组：．
观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题．
设，则原方程组可化为，
解关于的方程组，得，
所以
解方程组，得．
(1)材料中运用的数学思想是___________；
A．数形结合思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．类比思想
(2)运用上述方法，解方程组；
(3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解．
B
（2）解：设，，
则原方程组可化为，解得：，
，解得：；
（3）解：整理方程组，
可得：，
可得方程组的解为，解得：．
（4）解：∵
∴
∴
∴
13. 邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于年，中国邮政于年月日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票种．已知枚《跃马添福》邮票的面值为元，枚《鸿运驰春》邮票的面值为元．学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多枚，且所购两种邮票总面值为元，求该社团购买两种邮票的数量．
解：设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚，
根据题意，得，
解这个方程组，得，
答：该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚．
14. 为庆祝永州队斩获湘超联赛冠军，学校以“学习湘超拼搏精神，师生共练健身体魄”为主题开展体育器材采购活动，七年级（1）班计划购买篮球、足球若干个．已知该体育用品店对篮球和足球实行相同折扣销售：
打折前，买3个篮球和2个足球共需480元，买2个篮球和3个足球共需470元；班长为响应活动，按此折扣购买了5个篮球和4个足球，总共花费688元．
(1)求打折前篮球、足球的单价各为多少元？
(2)该体育用品店对篮球和足球打几折销售？
（1）解：设打折前，篮球的单价为x元，足球的单价为y元．
根据题意，得． 解得．
答：打折前，篮球的单价为100元，足球的单价为90元．
（2）解：设篮球和足球打m折出售．
由题意，得．
解得．
答：篮球和足球打8折出售．
15. 骏马奔腾，新春吉祥，探亲访友之际，常备缤纷礼盒，满载幸福与甜蜜．某超市主打两款礼盒：坚果礼盒每盒150元，糖果礼盒每盒120元．为吸引顾客，该超市推出以下优惠活动：
(1)若购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，求优惠后应支付的费用．
(2)小李爸爸购买了540元的礼盒，其中坚果礼盒的总价比糖果礼盒的总价多60元．
①求小李爸爸每种礼盒的购买数量．
②小李妈妈在下班途中也去该超市购买了一些礼盒，小李看到优惠政策后发现，爸爸妈妈支付的费用之和超过了1200元，因此若是他一个人去买这些礼盒还可以节省204元，求妈妈单独购买礼盒时支付的费用．
（1）解：购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒的费用为：（元）
超过700元，不超过1200元
∴（元）
答：购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，优惠后应支付的费用为元
（2）①设购买坚果礼盒盒，糖果礼盒盒，根据题意得：
，
解得，
答：坚果礼盒2盒，糖果礼盒2盒，
②设妈妈购买礼盒总费用（未优惠）为元，支付了元，
由于总费用超过1200元，小李一个人购买可享8折优惠，节省204元，
说明合并后享受8折优惠（9折最多节省元，不足204元），
，
当时，，解得：，
而，不符合题意；
当时，，
即，
解得：元，
妈妈支付元，
当时，无解；
答：妈妈单独购买礼盒时支付的费用为元
16. 2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元．
(1)求、两种型号智能机器人的单价；
(2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买
、两种型号智能机器人共10台．已知型机器人每台每天
可分拣22万件；型机器人每台每天可分拣18万件，则企业
要购买型和型机器人各几台？
（1）解：设种型号智能机器人的单价为万元，种型号智能机器人的单价为万元，
由题意得，
解得，
答：种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设该企业要购买型机器人台，型机器人台，
由题意得，
解得，
答：该企业要购买型机器人5台，型机器人5台．

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