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北京市西城区北京师范大学附属实验中学2025-2026学年度第二学期期中试卷八年级数学
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列长度的3条线段，不能首尾相连构成直角三角形的是（ ）
A. 1，， B. 9，16，25 C. 1，， D. 7，24，25
2.若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是（）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
3.点，，，中，在函数的图象上的点的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.下列关于正比例函数的说法中，正确的是（ ）
A. 自变量的取值范围是 B. 它的图象是一条经过原点的射线
C. 它的图象不经过第三象限 D. 随的增大而增大
5.在平面直角坐标系中，直线可以看作由直线（ ）
A. 向上平移4个单位长度得到 B. 向上平移2个单位长度得到
C. 向下平移4个单位长度得到 D. 向下平移2个单位长度得到
6.如图，平行四边形的顶点坐标分别是，和，则顶点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
7.下列关于图形判定的命题中，正确的是（）
A. 有一组对边平行，有一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有一个内角被对角线平分的平行四边形是菱形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形
D. 有三条边相等，对角线也相等的四边形是正方形
8.如图，以长为1的线段为边分别作直角三角形和等边三角形，其中．连接，则的长的最大值是（ ）
A. B. C. D. 2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
10.平行四边形ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B= .
11.如图，梯形中，，，，，，为边上一点，，则，之间的距离为 ．
12.若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．
13.已知一个等腰三角形的周长为20，写出底边长关于腰长的函数解析式： ，该解析式中自变量的取值范围是 ．
14.若直线和直线相交，且交点在第一象限内，则和的大小关系为 ．（填“”“”或“”）
15.如图，公路和公路在点处交汇，且，某实验室位于公路上的点处，到点的距离是．假设救护车行驶时，周围以内能听到鸣笛声，那么当救护车在公路沿方向以的速度匀速行驶时，在该实验室能听到救护车鸣笛声的持续时间为 ____s．
16.如图，正方形纸片的边长为1，、分别是、边上的点，将纸片的一角沿过点的直线折叠，使点落在上，落点记为，折痕交于点．若、分别是、边的中点，则的长为 ；若、分别是、边上距最近的等分点（，且为整数），则点到直线的距离为 （用含的式子表示）．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.计算：
(1)
(2)
四、解答题：本题共10小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
已知一次函数的图象经过点与．
(1) 求该函数的解析式；
(2) 说明该函数的一条性质，并利用该性质直接写出当时的取值范围．
19.(本小题4分)
尺规作图及证明．
已知：如图，直线和直线外一点．
求作：点关于直线的对称点．
(1) 根据以下作法，在答题卡上完成尺规作图．
作法：先以为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点，；
分别以，为圆心，为半径画弧，
两弧在直线的另一侧交于点，点为所求．
(2) 填空（其中______处填推理的依据）：
证明：（连接必要的线段）根据作图过程，有线段 = = =
四边形为 形.（ ）
，（ ）
且线段 被线段 平分．
点，关于直线对称．
20.(本小题4分)
如图，在四边形中，，，，为的中点，连接．判断四边形的形状，并证明．
21.(本小题4分)
求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.（画出图形，写出已知、求证并证明）
22.(本小题6分)
已知：直线与轴交于点，与轴交于点．
(1) 求点，的坐标；
(2) 画出函数的图象；
(3) 过点作直线交轴于点，且使，直接写出的面积．
23.(本小题4分)
如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 若，，求的长．
24.(本小题6分)
王鹏和李明从学校同时出发沿同一条路到图书馆查阅资料，王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏查完资料，从原路返回到达学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程与所经过的时间（分钟）之间的函数关系．
根据图象回答问题：
(1) 学校与图书馆的距离是 ；王鹏在图书馆停留的时间为 分钟；
(2) 相遇前，二人之间的距离的最大值是 ；
(3) 当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的距离是多少千米？
25.(本小题6分)
如图，在中，，（），是的中点，延长至点使得，连接．是线段上的动点，点在线段上，满足．
(1) 如图1，当且点与重合时，直接写出的长；
(2) 如图2，点不与，重合，判断与的数量关系，并证明；
(3) 若当点为的中点时，点恰为的中点，求的值．
26.(本小题4分)
如图，已知三条平行线，，间的距离为，，间的距离为，点是直线上的一个定点，求作：直线上一点和直线上一点，使得是等腰直角三角形．
(1) 若要求，小明经过探究给出了以下作法：
在直线上，在点的左侧截取，在点的右侧截取；过作的垂线交于点，过作的垂线交于点，则点，为所求．连接，，得到．
判断按此法作出的是否为等腰直角三角形（答“是”或“否”）；
当，时，直接写出的长；
(2) 若要求，在答题纸上完成作图，并说明作法．（若满足条件的不唯一，作出一个即可）
27.(本小题6分)
已知变量是实数，取值范围是，是的函数，部分函数值如下表：
对于给定的条件，在以为自变量、满足条件的所有函数中，能使得函数图象（视为一条曲线）的长度最小的函数称为的“-短函数”．
(1) 当条件为“”时，直接写出的“-短函数”的表达式；
(2) 当条件为“，且存在（）使得当时的值为”时，是的“-短函数”，求此函数图象的长度；
(3) 当条件为“且”时，是的“-短函数”时，直接写出的值．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】x≥2
10.【答案】80°
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】


14.【答案】
15.【答案】6
16.【答案】

17.【答案】【小题1】
．
【小题2】

18.【答案】【小题1】
解：设一次函数的解析式为，
把点与代入函数解析式，得，
解得，
∴；
【小题2】
解：∵，，
∴随的增大而减小，
∵图象过点，
∴当时，．

19.【答案】【小题1】
解：如图所示即为所求；
【小题2】
AM
AN
BM
BN
菱形
四条边都相等的四边形是菱形
菱形的对角线互相垂直

MN

20.【答案】解： E为的中点，且．
又
四边形为平行四边形．
四边形为菱形．

21.【答案】答案见解答过程．
22.【答案】【小题1】
解：当时，；
当时，，解得，
所以，；
【小题2】
解：如图，直线即为所求，
【小题3】
解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵点在轴上，
∴，
当点在点上方时，，
∴的面积为；
当点在点下方时，
∵，
∴点在轴的负半轴上，
∴，
∴的面积为；
∴的面积为或.

23.【答案】【小题1】
证明：∵的中线，交于点O，
∴，，
∵点F，G分别是，的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
【小题2】
解：如图，连接，
∵，是的中线，
∴，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∴．
∵，E分别是，的中点，
∴．

24.【答案】【小题1】
4
15
【小题2】

【小题3】
由（2）得所在直线的函数解析式为，所在直线的函数解析式为，
∴，
解得：，
∴．

25.【答案】【小题1】
解：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
【小题2】
解：，理由如下：
连接，
∵，（），是的中点，
∴垂直平分，
∵是线段上的动点，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
解：延长至点，使，连接，
由（1）可知，
∴，
∵为的中点，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
由（2）知：，
∴设，则，
∵，为的中点，
∴，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．

26.【答案】【小题1】
解：如图，
是等腰直角三角形，
理由：由作图知：，，，，
又，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
同理可证，
又，
∴，
∴，，
又，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
【小题2】
解：如图，即为所求，

27.【答案】【小题1】
解：要使函数图象长度最小，根据“两点之间线段最短”，直接连接点和即可，
设，
∵图象经过点，
∴，
解得：，
即：；
【小题2】
解：要满足条件：，且存在（）使得当时的值为，是的“-短函数”，利用轴对称找最短路径： 把点关于直线对称，得到，
如图所示，
∴连接两点的线段长度为：，
∵要使总长度最小，到走水平线段，长度为最短，
∴函数图象的总长度；
【小题3】
解：令，
由题意得：当时，且线段时，总长度最短，
∴，
解得：，
设直线的解析式为：，
∵解得：，
即：，
当时，.

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