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北京清华大学附属中学2025-2026学年下学期八年级期中试卷数学（一）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要使代数式有意义，x的取值应满足（　　）
A. x≥1 B. x＞1 C. x≠1 D. x≠0
2.若最简二次根式与可以合并，则，的值为（）
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.如图，中间的直角三角形由三个正方形的顶点相连构成．则图中三个正方形的面积可能取值为（）
A. 4，5，6 B. 5，7，12 C. 5，9，16 D. 6，12，15
4.如图,在 ABCD中,AD=8,点E,F分别是BD,CD的中点,则EF等于( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
6.如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
7.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）
A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积
C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和
8.等腰三角形中，，记，周长为，定义为这个三角形的坐标．如图所示，直线将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，正确结论的序号是（ ）
①对于任意等腰三角形，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰三角形，其坐标不可能位于区域Ⅳ中；
③若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅱ中；
④图中点所对应等腰三角形的底边比点所对应等腰三角形的底边长．
A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②④
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
9.已知函数是正比例函数，则 ．
10.若，则 x的取值范围是 ．
11.直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为 ．
12.如图，在中，若、，，则 度．
13.《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间（如图），观察、记录数据如下表（未记录完整）：
箭尺读数 1 6 21 31
指示时间 ？
则箭尺读数为时，指示时间应为 ．
14.如图，□ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 ．
15.如图，直线AB的解析式为y=-x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC=3：1．在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与ABC全等，则点D的坐标为 ．
16.如图，在“探索一次函数中与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内且满足，若一次函数图象经过，给出下面四个结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．上述结论中，正确结论的序号有 ．
17.如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为 ．
18.如图，将函数y=2x-1的图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数y=|2x-1|的图象，与直线y=x+b的图象交点的横坐标x均满足-1＜x＜2，则b的取值范围为 .
19.如果，那么的值是 ．
20.如图，在中，若，则面积为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
21.计算：．
四、解答题：本题共9小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题6分)
在中，为边上一点，且，
(1) 求证：；
(2) 若，求的面积．
23.(本小题6分)
已知．
(1) 求的值；
(2) 若的小数部分是，的小数部分是，求的值．
24.(本小题6分)
如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为．
(1) 则 ， ， ；
(2) 关于x，y的二元一次方程组的解为 ；
(3) 求四边形的面积．
25.(本小题6分)
在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
(1) 求绳子的总长度；
(2) 如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
(1) 求的值；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值既不小于函数的值，也不小于函数的值，直接写出的取值范围．
27.(本小题6分)
如图．在中，，点在上，．过点分别作的平行线交于点．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若，求的长．
28.(本小题6分)
某地正在推进“智慧农业”建设，农业科技站为了研究两种不同营养液对某类番茄幼苗生长的影响，选取了若干组长势相近的幼苗进行对比实验．在相同光照、温度和浇水条件下，技术人员发现：幼苗一周后的平均株高增长量与营养液中某种核心成分的浓度有关．设成分的浓度为，甲液对应的平均株高增长量为（单位：），乙液对应的平均株高增长量为（单位：）．实验数据如下：
成分的浓度 20 30 40 50 60 70 80
甲液的平均株高增长量 11 14 20 23 26 29
乙液的平均株高增长量 15 19 21 20 17 12 5
进一步研究发现：与近似满足一次函数关系，也可以用函数刻画与之间的关系．
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 补全表格；
成分的浓度 20 30 40 50 60 70 80
甲液的平均株高增长量 11 14 20 23 26 29
乙液的平均株高增长量 15 19 21 20 17 12 5
(2) 在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(3) 技术人员准备了核心成分共，全部用于配制甲液和乙液，根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
假设两种营养液中核心成分的质量均为，则两种营养液的平均株高增长量之差约为 （结果保留整数）；
经研究发现，在此实验条件下，当使用营养液甲时，环境温度每升高，平均株高增长量会下降．若将配制好的甲液对应的环境温度提高，可使得两种液体对应的番茄幼苗平均株高增长量相同，则乙液中的核心成分的质量约为 （结果保留整数）．
29.(本小题6分)
如图，在正方形中，为边上一点，连接，点为线段的中点，连接、．
(1) 证明：；
(2) 连接与、交于点，过点作交于点，连接，若有，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
30.(本小题6分)
对于平面直角坐标系中的点（不与原点重合），通过点和的直线上的任意一点称为的控制点．设．
(1) 点是中 的控制点（填入所有满足要求的点）；
(2) 若点是线段上一点，点是的控制点，则线段长度的最小值是 ；
(3) 设，将线段向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后得到线段．若存在点在正方形内（含边界），点在线段上，使得是的控制点，直接写出的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】-1
10.【答案】x≤3
11.【答案】x≥1
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】（4，3）或（3，4）
16.【答案】①②
17.【答案】 /0.375
18.【答案】-≤b＜1
19.【答案】
20.【答案】
21.【答案】解：
．

22.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴；
【小题2】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：∵，
∴，
，
∴
．
【小题2】
解：∵，，
∴，
∴小数部分，
，，
∴小数部分，
∴，
∴．

24.【答案】【小题1】
3
-1
2
【小题2】
【小题3】
解：连接，
∵，
∴当时，，
∴，
由（1）知：，
当时，，
∴，
∵，
∴四边形的面积．

25.【答案】【小题1】
解：根据题意可知，，，，
则
故绳子的总长度是．
答：绳子的总长度为；
【小题2】
解：滑块B向左滑动了
，
据（1）知绳子总长为
物体C上升高度为．
答：滑块B向左滑动了，此时物体C升高了

26.【答案】【小题1】
解：∵一次函数过点和，
∴，
解得；
【小题2】
解：由（）得：
，
，
当时，作差比较两个函数的大小：，
∴时，，
∵不小于两个函数，
∴只要满足时，恒成立即可，
整理得：，
∵，
∴，
∴对所有恒成立，
∴．

27.【答案】【小题1】
证明：由题意得：，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【小题2】
解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴，
∵，
∴在中，，
由（1）已证：，
∴，
∴在中，．

28.【答案】【小题1】

【小题2】
解：如图，
【小题3】
2
或

29.【答案】【小题1】
证明：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴是直角三角形，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，，
即，
在和中：
，
∴，
∴；
【小题2】
解：与的数量关系为：，
证明如下：连接分别交于点，交于点，
∵，
∴，
正方形中，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
由()得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵是对角线，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在和中：
，
∴，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵正方形中，对角线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴.即，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．

30.【答案】【小题1】
B、D
【小题2】
【小题3】
解：∵线段向左平移个单位、向上平移个单位，得到线段，
∴，，
对：过的直线为，
点代入，
得，
解得；
点代入，
得，
解得；
∴．
对：过的直线为，
点代入，
得，
解得；
点代入，
得，
解得；
∴；
对：过的直线为，
点代入，
得，
解得；
点代入，
得，
解得；∴．
对：过的直线为，
点代入，
得，
解得；
点代入，
得，
解得；
∴．
综上，的范围是．

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