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2026年广东省中山市小榄中学高二上学期数学三段考
一、单选题
1.在空间直角坐标系中，已知向量 若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.经过点 且倾斜角为 的直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
3.圆 ： 与圆 的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
4.总体由编号为 00，01，…，59的 60个个体组成．利用下面的随机数表选取 6个个体，选
取方法是从随机数表第 1行的第 6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 3
个个体的编号为（ ）
5044664421 6606580562 6165543502 4235489632
1452415248 2266221586 2663754199 5842367224
A．42 B．16 C．56 D．06
5.方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6.关于方程 所表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于 对称 D．关于原点中心对
称
7.已知椭圆 的两个焦点为 ，过 的直线与 交于 两点.若
， ，且 的面积为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
8.设 是 一 个随机试验中的两个事件，记 为事件 的对立事件，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
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9.直线 过抛物线 的焦点 ，且与 交于 ， 两点，则下列说法正
确的是（ ）
A．抛物线 的焦点坐标为 B． 的最小值为
C．对任意的直线 ， D．以 为直径的圆与抛物线 的准线相切
10.如图，在平行六面体 中， ， ，底面 为菱形，
， 与 所成的角均为 （ ）
A． B．四边形 为矩形
C． D．如果 ，那么点 在平面 内
11.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale）设计
的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知
识付费用户数量（单位：亿人次，数据为年末数据），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所
示），根据此图，以下说法正确的是（ ）
A．2016年至 2023年，知识付费用户数量逐年增加
B．2017年至 2023年，知识付费用户数量逐年增加量 2018年最多
C．2017年至 2023年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增
D．2023年知识付费用户数量超过 2016年知识付费用户数量的 10倍
三、填空题
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12.点 为圆 上的动点，则 的取值范围为________．
13.已知双曲线 的一条渐近线的方程为 ，则 的离心率
的值为________．
14.正方形 的边长为 ，其内有 两点，点 到边 ， 的距离分别为 和 ，点
到边 ，的距离也分别为 和 ．现将正方形卷成一个圆柱，使得 和 重合（如图），
则此时 两点间的距离为________．
四、解答题
15.已知圆 ，直线 ．
(1)求直线 恒过定点的坐标；
(2)求直线 被圆 截得的弦长最短时 的值以及最短弦长．
16.已知椭圆 的离心率 ，且椭圆的长轴长为 4．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点，且 ，求直线 的方程．
17.如图所示，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，侧
面 底面 ，且 ， 为 中点．
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(1)求证： ；
(2)求二面角 的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
18.某高校在 2017年的自主招生考试成绩中随机抽取 100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，
得到的频率分布表如下所示．
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(1)请先求出频率分布表中① ②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；
(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3 4 5组中用分层抽样抽取 6名
学生进入第二轮面试，求第 3 4 5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；
(3)在（2）的前提下，学校决定在 6名学生中随机抽取 2名学生接受 A考官进行面试，求：
第 4组至少有一名学生被考官 A面试的概率．
19.已知双曲线 ，上顶点为 ，直线 与双曲线 的两支分别交于 两点 ( 在第
一象限），与 轴交于点 ．设直线 的倾斜角分别为 .
(1)若 ，
(i) 若 ，求 ；
(ii) 求证： 为定值；
(2)若 ，直线 与 轴交于点 ，求 与 的外接圆半径之比的最大值．
参考答案与试题解析
1.D
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【解析】由 ，得 ,
解之可得 ．
故选：D．
2.C
【解析】由倾斜角为 知，直线的斜率 ，
因此，其直线方程为 ，即
故选：C
3.A
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ； ，
则圆 的圆心为 ，半径为 .
两圆心之间的距离 ，
且满足 ，可知两圆相交.
故选：A．
4.C
【解析】略
5.D
【解析】由 表示焦点在 轴上的椭圆，解得 ，
故选：D．
6.D
【解析】对于 A，用 换方程中的 ，得 ，方程发生变化，
即曲线关于 轴不对称，A错误；
对于 B，用 换方程中的 ，得 ，方程发生变化，
即曲线关于 轴不对称，B错误；
对于 C，用 换 ， 换 ，得 ，方程发生变化，
即曲线关于 轴不对称，C错误；
对于 D，将点 代入原方程仍为 ，
因此曲线关于原点中心对称，D正确.
故选：D．
7.A
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【解析】设 ，则 ，
，故 ，
由椭圆的定义可知 ，
所 以 ， 故 ， ， ，
，
如图，在 中，
，
则 ，所以 ，
在 中，
，
即 ，整理得 ，
因为 的面积为 ，
故 ，即 ，
得 ，故 ， ，
所以椭圆 的方程为 ，
故选：A．
8.D
【解析】因为 ，所以 ．
又
所以 ．
故 ．
故选：D．
9.B,D
【解析】抛物线 的 ，焦点 ，A选项错误；
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抛物线的焦点弦中，通径最短，故 的最小值为 ，B选项正确；
由题意直线 斜率存在，设 的方程为 ，
代入抛物线方程得 ，则 ，C选项错误；
如图 的中点为M，过 分别作准线的垂线，垂足分别为 ,
则 ，
可知以 为直径的圆与抛物线 的准线相切，D选项正确.
故选：BD
10.A,B,D
【解析】选项 A：在平行六面体 中，
，A正确；
选项 B：由平行六面体的性质知 为平行四边形，
【方法一】向量法：
，
，即四边形 为矩形．
【方法二】几何法：设 ，
因为 ，
，
又 ， 与 所成的角均为 ，
所以 ，又 为 中点，则 ，
又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
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由于 平面 ，故 ，
由于 ，则 ，所以四边形 为矩形．
B正确；
选项 C：因为四边形 为菱形， ，所以 ，
所以 ，即 是等腰三角形，
又 ，
故 ,
所以 ，即 ，C错误；
选项 D，若 ，由于 ，
所以 四点共面，故点 在平面 内，D正确．
故选：ABD．
11.A,B
【解析】对于 A，由图可知，2016年至 2023年，知识付费用户数量逐年增加，故 A正确．
对于 B和 C，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2017年， ；2018年，
；2019年， ；2020年， ；2021年，
；2022年， ；2023年： ．则知识付费用
户数量逐年增加量 2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故 B正确，
C错误．
对于 D，由 ，则 2023年知识付费用户数量未超过 2016年知识付费用户数量
的 10倍，故 D错误．
故选：AB．
12.
【解析】圆 即 ，圆心坐标为 ，半径为 ，
的几何意义为圆上的动点 与定点 连线的斜率，
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设过 的圆的切线方程为 ，即 ．
由圆心 到切线的距离等于半径 ，得 ，解得 ．
故 的取值范围是 ．
13.
【解析】因为双曲线 的一条渐近线的方程为 ，即 ，
所以 ， 的离心率为 ．
14.
【解析】
如图，设过点 且平行底面的截面圆心分别为 , ，
设圆柱底面半径为 ，则 ，即 ，故 ，
因为 ，所以
，
所以 两点间的距离为 ．
15.
(1)定点的坐标为 ；
【解析】直线 ，
可化为 ，
联立 解得 ，
故直线 恒过定点 ．
(2)弦长最短时 ，最短弦长为 ．
【解析】由 ，配方得 ，
所以圆心 ，半径为 ，直线 恒过定点 ，
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如图所示，当直线 时，直线 被圆截得的弦长最短．
因为直线 的斜率为 ，
故直线 的斜率为 ，解得 ．
此时圆心 到直线 的距离为 ，
所以最短弦长为 ．
16.
(1)【答案】(1)
【解析】【详解】（1）由题可知， ， ，
又 ，且 ，解得 ， ，
则椭圆 的方程为 ．
(2)【答案】(2) 或
【解析】法一：
①当直线 斜率为 0时， ，不符合题意．
②当直线 斜率不为 0时，设直线 方程为 ，
联立 ，得 ， ，
设 ，则 ．
由题意， ，
即 ，解得 ．
故直线 的方程为： 或 ．
法二：①当直线 斜率不存在时， ，不符合题意.
②设直线 方程为 ，
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联立 ，得 ， ，
设 ，则 ，
由 ，得 ，
即 ，解得 ．
故直线 的方程为 或 ．
17.
(1)证明见解析；
【解析】取 中点 ，连接 ，由 ，得 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，过 作 ，
由 ，得 ，
而 平面 ，则 ，
以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系如图：
由 ， ， 得
，
中点 ，则 ，
因此 ，即 ，
所以 ．
(2) ；
【解析】由 (1) 知， ，
设平面 的法向量 ，则 ，
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令 ，得 ，
设平面 的法向量 ，令 ，得 ，
设二面角 的大小为 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值 ．
(3) ．
【解析】由 (1) (2) 知， ，平面 的法向量 ，
所以点 C到平面 的距离 ．
18.
【解析】
18.
(1)①35，② ，作图见解析
【解析】①由题可知，第 2组的频数为 0.35×100=35人，②第 3组的频率为 ，
频率分布直方图如图所示，
(2)第 3 4 5组分别抽取 3人 2人 1人进入第二轮面试
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【解析】因为第 3,4,5组共有 60名学生，所以利用分层抽样在 60名学生中抽取 6名学生进
入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：
第 3组： 人，
第 4组： 人，
第 5组： 人，
所以第 3,4,5组分别抽取 3人,2人,1人进入第二轮面试
(3)
【解析】设第 3组的 3位同学为 ，第 4组的 2位同学为 ，第 5组的 1位同学
为 ， 则 从 这 六 位 同 学 中 抽 取 两 位 同 学 有 ，
，
,共 15种
其中第 4组的 2位同学 中至少有一位同学入选的有： ，
， ， ,共 9种
所以第 4组至少一名学生被考官 A面试的概率为
19.
(1)（i） ；（ii）证明见解析.
【解析】 (i) 由 的坐标得 ，所以直线 ．
联立 与曲线 得 ，解得 或 ，故 ，
又上顶点为 ，所以 ，从而 ；
(ii) 【方法一】设点斜式联立
①当直线 斜率存在时，可设 的方程为 ，
设 ， ，得 ，
所以 ．
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当 时，由 (i) 可得 ；
当 时，设 的斜率分别为 ，
．
则 ,
．
所以 ．
由 在第一象限得 ．
②当直线 斜率不存在时，可得 ，
可得 ，
所以 ，同理可得 ．
综上所述， 为定值 得证．
【方法二】齐次化联立
① 时，由 (i) 可得 ；
② 时，设 的斜率分别为 ．
设 ， 化为 ，
联立可得 ，
即 ，
则 就是方程 的两根．
所以 ，
又由 在直线上得 ，
故 ，
由 在第一象限得 ，故 ，所以 ．
综上所述， 为定值 得证．
(2)半径之比的最大值为 ．
【解析】由 (1) 可得 时， ．
①当 不存在，则 ，由 (1) (i) 得 ，
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故 ，所以 ．
②当 不存在，则 ， ，此时 ，
由图可得 ．
③若 和 均存在，先求 与 ：
【方法一】设线解点
设 ，则
与双曲线联立可得 ．
所以 ．
故 ，
所以 ．
【方法二】设点，向量共线
设 ，则 ．
由 三点共线可得 ．
所以 ，
则 ．
所以
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．
所以 ，则 ．
【方法三】承接 (1) (ii) 中齐次化方法：
设 ，则 ，
则 ．
记直线 的倾斜角为 ，则 ，故
所以 ．
再由正弦定理求半径比：
设 与 的外接圆半径分别为 ，从而
，等号当且仅当 时取到.
所 与 的外接圆半径之比的最大值为 ．
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